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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 9:30 + 1:00 = 10:30 Uhr
    Ergebnis:
    10:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 2 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 2 · 100 = 200 cm
    Ergebnis:
    200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
24 Kindern9 €110 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    23 Kindern4 €120 Minuten
    So fängst du an:
    Gebraucht: 23 Kinder und 4 € je Karte.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 4 € je Karte.
    2. 23 · 4 € = 92 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    92 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 191 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele15 Tore191 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 8:30 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
    26 Kindern9 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
    2. 8:30 Uhr plus 110 Minuten: 10:20 Uhr
    3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
    Ergebnis:
    10:20 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:487:106:587:207:087:307:187:40
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:10 Uhr.
  2. Von 6:48 bis 7:10 Uhr sind es 22 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:10 Uhr.
  2. Von 6:48 bis 7:10 Uhr sind es 22 Minuten.
Ergebnis:
22 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus 100 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:557:087:057:187:157:287:257:38
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:08, 7:18 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:08, 7:18 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:05 Uhr
  2. ●5
    Mia ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:487:096:587:197:087:297:187:39
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
    2. Von 6:56 bis 6:58 Uhr sind es 2 Minuten.
    Ergebnis:
    2 Minuten
  3. ★6
    Aylin ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:426:596:577:147:127:297:277:44
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
    2. Von 6:53 bis 6:57 Uhr sind es 4 Minuten.
    Ergebnis:
    4 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Mia sagt: „Ein Zaun von 90 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 90 : 10 = 9 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
  1. 90 : 10 = 9 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lea sagt: „Ein Zaun von 12 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    3 m3 m3 m…?
    So fängst du an:
    12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
    Ergebnis:
    Nein, 5 Pfähle
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 7 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 7 Bäume haben 6 Abstände dazwischen.
    2. 6 · 2 m = 12 m
    Ergebnis:
    12 m
  3. ★9
    Ein Zaun ist 48 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 48 : 4 = 12
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 12 + 1 = 13
    Ergebnis:
    13 Zaunpfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Elias kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Elias 4 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
?− 18 €+ 4 €13 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 4 € = 9 €
  2. Dann den Kauf: 9 € + 18 € = 27 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 4 € = 9 €
  2. Dann den Kauf: 9 € + 18 € = 27 €
Ergebnis:
27 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Sofia kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Sofia 8 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
    ?− 8 €+ 8 €19 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
    2. Dann den Kauf: 11 € + 8 € = 19 €
    Ergebnis:
    19 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
    2. Noch 17 Minuten früher: 16:31 Uhr.
    Ergebnis:
    16:31 Uhr
  3. ★12
    Noah verschenkt 9 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Noah noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 34. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 34 − 4 = 30
    2. Verdoppeln rückgängig: 30 : 2 = 15
    3. Verschenken rückgängig: 15 + 9 = 24
    Ergebnis:
    24 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 18 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 6 Fahrräder und 2 Dreiräder: 6 · 2 + 2 · 3 = 18
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 6 Fahrräder und 2 Dreiräder: 6 · 2 + 2 · 3 = 18
Ergebnis:
2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 8 Vierertische und 2 Sechsertische: 8 · 4 + 2 · 6 = 44
    Ergebnis:
    2 Sechsertische
  2. ●14
    Auf einem Hof zählt Jonas 10 Tiere und 28 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
    Ergebnis:
    6 Hühner, 4 Kaninchen
  3. ★15
    In der Mensa zählt Zeynep 17 Tische und 88 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Vierertische und 8 Sechsertische ergeben 84 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 7 Vierertische und 10 Sechsertische: 7 · 4 + 10 · 6 = 88
    Ergebnis:
    7 Vierertische, 10 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift2,50 €Packung6 Bleistiften15,60 €
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Jonas fährt im Monat 30-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,60 €Monatskartebeliebig oft40,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 30 · 2,60 € = 78,00 €
    2. Monatskarte: 40,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 30 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
30 Kindern180 €9 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 180 € : 30 = 6 €
  3. 6 € + 9 € = 15 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 180 € : 30 = 6 €
  3. 6 € + 9 € = 15 €
Ergebnis:
15 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 460 €. Der Förderverein gibt 97 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 3 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    460 €97 €3 €22 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 460 € + 97 € = 557 €; Kosten: 22 · 3 € = 66 €
    3. 557 € − 66 € = 491 €
    Ergebnis:
    491 €
  2. ●20
    Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 150 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern150 €7 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 150 € : 30 = 5 €
    3. 5 € + 7 € = 12 €
    Ergebnis:
    12 €
  3. ★21
    Tom läuft an 3 Tagen in der Woche je 6 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    3 Tagen6 Runden2504 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 6 · 250 m = 1500 m; eine Woche: 3 · 1500 m = 4500 m
    3. 4 Wochen: 18.000 m = 18 km
    Ergebnis:
    18 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (14 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 3 €.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
  2. Passend ist B.
  3. 5 · (14 + 3) = 85
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
  2. Passend ist B.
  3. 5 · (14 + 3) = 85
Ergebnis:
B, 85 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 6 €.“
    (A) 8 + 12 · 6
    (B) 8 · 12 + 6
    (C) 8 · (12 + 6)
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend: 8 · (12 + 6) = 144
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 8 · (12 + 6)
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 7 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 6 €.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 4 · 7 + 6 = 34
    Ergebnis:
    A, 34 €
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 10 · 10 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „10 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 3 €.“
    (B) „10 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 10-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 10 · 10 + 3 = 103
    Ergebnis:
    B, 103 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 398 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    9 Spiele36 Tore398 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 9 Spiele.
    2. 15 − 9 = 6
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 8 Böden mit je 20 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
    8 Böden20 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 8 · 20 = 160.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C, 160 Bücher
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:38 Uhr. Welchen Bus 100 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:147:117:347:317:547:518:14
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:38 Uhr: 7:14, 7:34 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:34 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:11 Uhr
  4. ●28
    Sofia sagt: „Ein Zaun von 25 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle
  5. ●29
    Im Kino sitzt Mia auf Platz 8 von links. Zwischen Mia und Emma sitzen 3 Kinder, Emma sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Emma?
    83 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 8 ist Mia, dann 3 Plätze dazwischen.
    2. 8 + 3 + 1 = 12
    Ergebnis:
    Platz 12
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Can braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
    2. Noch 15 Minuten früher: 15:36 Uhr.
    Ergebnis:
    15:36 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 158 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele23 Tore158 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 8:12 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:037:117:237:317:437:518:03
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:51 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 60 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Zeynep kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Zeynep 7 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
    ?− 8 €+ 7 €24 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Lina 6 Fahrzeuge und 14 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 2 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 14,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 394 €. Der Förderverein gibt 47 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 8 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    394 €47 €8 €30 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    201 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
    (A) 6 · (7 + 2)
    (B) 6 · 7 + 2
    (C) 6 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B: 6 · 7 + 2

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 92 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. 10:20 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
  4. den um 7:05 Uhr
  5. 2 Minuten
  6. 4 Minuten
  7. Nein, 5 Pfähle
  8. 12 m
  9. 13 Zaunpfähle
  10. 19 €
  11. 16:31 Uhr
  12. 24 Karten
  13. 2 Sechsertische
  14. 6 Hühner, 4 Kaninchen
  15. 7 Vierertische, 10 Sechsertische
  16. einzeln
  17. 1,00 €
  18. Ja
  19. 491 €
  20. 12 €
  21. 18 km
  22. C: 8 · (12 + 6)
  23. A, 34 €
  24. B, 103 €
  25. 6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  26. C, 160 Bücher
  27. den um 7:11 Uhr
  28. Nein, 6 Pfähle
  29. Platz 12
  30. 15:36 Uhr
  31. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  32. den um 7:51 Uhr
  33. 11 Laternen
  34. 25 €
  35. 4 Fahrräder, 2 Dreiräder
  36. die Packung
  37. 201 €
  38. B: 6 · 7 + 2
  39. 10:30 Uhr
  40. 200 cm