Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:15 + 1:00 = 9:15 Uhr
Ergebnis:
9:15 Uhr
●40
Rechne um: 15 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 15 · 100 = 1.500 cm
Ergebnis:
1.500 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 27 Kinder und 8 € je Karte.
27 · 8 € = 216 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 27 Kinder und 8 € je Karte.
27 · 8 € = 216 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

216 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
★3
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Sofia ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 248?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
Von 6:50 bis 6:54 Uhr sind es 4 Minuten.

Der nächste fährt um 6:54 Uhr.
Von 6:50 bis 6:54 Uhr sind es 4 Minuten.

Ergebnis:

4 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Lina ist um 6:48 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
2. Von 6:48 bis 6:53 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●5
Lina ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:05 Uhr sind es 10 Minuten.
Ergebnis:
10 Minuten
★6
Mia braucht 12 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:12 Uhr nehmen. Wann muss Mia spätestens los, und wann ist Mia an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 12 Minuten vor 7:12 Uhr, also 7:00 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:33 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:00 Uhr, an um 7:33 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 6 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 24 : 6 = 4
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
4 + 1 = 5

Abstände: 24 : 6 = 4
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
4 + 1 = 5

Ergebnis:

5 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 10 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 10 Zaunpfähle haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 5 m = 45 m
Ergebnis:
45 m
●8
Ein Weg ist 55 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 55 : 5 = 11
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 11 + 1 = 12
Ergebnis:
12 Laternen
★9
Entlang eines Weges stehen 8 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 8 Bäume haben 7 Abstände dazwischen.
2. 7 · 6 m = 42 m
Ergebnis:
42 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Mia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Mia 3 € geschenkt und hat jetzt 9 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 9 € − 3 € = 6 €
Dann den Kauf: 6 € + 16 € = 22 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 9 € − 3 € = 6 €
Dann den Kauf: 6 € + 16 € = 22 €

Ergebnis:

22 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 14:55 Uhr.
Ergebnis:
14:55 Uhr
●11
Mia kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Mia 4 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 4 € = 12 €
2. Dann den Kauf: 12 € + 11 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
★12
Jonas kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Jonas 11 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 11 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 5 € = 14 €
Ergebnis:
14 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Lina 7 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40

Ergebnis:

1 Vierertisch, 6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 4 Sechsertische: 2 · 4 + 4 · 6 = 32
Ergebnis:
4 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 5 Fahrzeuge mit 12 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12
Ergebnis:
2 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Jonas 20 Fahrzeuge und 43 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Fahrräder und 10 Dreiräder ergeben 50 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 17 Fahrräder und 3 Dreiräder: 17 · 2 + 3 · 3 = 43
Ergebnis:
17 Fahrräder, 3 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Sofia fährt im Monat 24-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 24 · 2,40 € = 57,60 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 184 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 184 € : 23 = 8 €
8 € + 7 € = 15 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 184 € : 23 = 8 €
8 € + 7 € = 15 €

Ergebnis:

15 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 161 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 161 € : 23 = 7 €
3. 7 € + 7 € = 14 €
Ergebnis:
14 €
●20
Die 5c mit 30 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 270 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 270 € : 30 = 9 €
3. 9 € + 4 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Die 5c mit 20 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 80 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 80 € : 20 = 4 €
3. 4 € + 9 € = 13 €
Ergebnis:
13 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 14 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 14 € und je eine Mappe für 8 €.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 14 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
8 · 14 + 8 = 120

Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist B.
8 · 14 + 8 = 120

Ergebnis:

B, 120 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 14 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 4 · (14 + 6)
(B) 4 · 14 + 6
(C) 4 + 14 · 6
So fängst du an:
Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 4 · 14 + 6 = 62
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 4 · 14 + 6
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (15 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 8 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend ist A.
3. 3 · (15 + 8) = 69
Ergebnis:
A, 69 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (18 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 18 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 18 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend ist A.
3. 7 · (18 + 3) = 147
Ergebnis:
A, 147 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 3 €.
2. 27 · 3 € = 81 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
81 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 25 Kinder. Sie spielen in 4 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 25 : 4 = 6 Rest 1
2. 1 Kind pfeift.
Ergebnis:
lösbar, 1
●27
Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 6:50, 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:35 Uhr an.
3. Er fährt um 7:23 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:23 Uhr
●28
Tom sagt: „Ein Zaun von 55 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 55 : 5 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Aylin auf Platz 6 von links. Zwischen Aylin und Elias sitzen 3 Kinder, Elias sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Elias?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Aylin, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 6 + 3 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 15:34 Uhr.
Ergebnis:
15:34 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Aylin ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Hanna sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:28 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa zählt Aylin 5 Tische und 26 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Vierertische, 3 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 8 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 3 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 51 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Der Beginn des Films fehlt
Der Preis für Erwachsene fehlt
5 Minuten
10 Minuten
los um 7:00 Uhr, an um 7:33 Uhr
45 m
12 Laternen
42 m
14:55 Uhr
23 €
14 €
4 Sechsertische
2 Dreiräder
17 Fahrräder, 3 Dreiräder
0,67 €
1,00 €
Ja
14 €
13 €
13 €
B: 4 · 14 + 6
A, 69 €
A, 147 €
81 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
lösbar, 1
den um 7:23 Uhr
Nein, 12 Pfähle
Platz 10
15:34 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
6 Minuten
Nein, 11 Pfähle
16:28 Uhr
2 Vierertische, 3 Sechsertische
1,00 €
8 €
B, 51 €
9:15 Uhr
1.500 cm