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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 7:45 + 1:00 = 8:45 Uhr
    Ergebnis:
    8:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 3 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 3 · 10 = 30 dm
    Ergebnis:
    30 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 201 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
8 Spiele30 Tore201 Zuschauer15 Spielen
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 8 Spiele.
  2. 15 − 8 = 7
  3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
  1. Gebraucht: 8 Spiele.
  2. 15 − 8 = 7
  3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    26 Kinder3 Lehrkräfte13 km5 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 26 Kinder und 5 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 26 Kinder und 5 €.
    2. 26 · 5 € = 130 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    130 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 191 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    8 Spiele33 Tore191 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 268 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    10 Spiele20 Tore268 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 10 Spiele.
    2. 15 − 10 = 5
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:416:536:517:037:017:137:117:23
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 6:53 Uhr.
  2. Von 6:41 bis 6:53 Uhr sind es 12 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 6:53 Uhr.
  2. Von 6:41 bis 6:53 Uhr sind es 12 Minuten.
Ergebnis:
12 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:517:197:017:297:117:397:217:49
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
    2. Von 6:55 bis 7:01 Uhr sind es 6 Minuten.
    Ergebnis:
    6 Minuten
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:57 Uhr. Welchen Bus 248 muss Hanna spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:447:066:597:217:147:367:297:51
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:57 Uhr: 7:06, 7:21, 7:36, 7:51 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:29 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:29 Uhr
  3. ★6
    Hanna ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:016:527:117:027:217:127:31
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:52 Uhr.
    2. Von 6:43 bis 6:52 Uhr sind es 9 Minuten.
    Ergebnis:
    9 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
  2. 7 · 10 m = 70 m
  1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
  2. 7 · 10 m = 70 m
Ergebnis:
70 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Paul sagt: „Ein Zaun von 18 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    So fängst du an:
    18 : 2 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 18 : 2 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  2. ●8
    Elias sagt: „Ein Zaun von 90 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 90 : 10 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  3. ★9
    Jonas sagt: „Ein Zaun von 115 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 23 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 115 : 5 = 23 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 24.
    Ergebnis:
    Nein, 24 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Can kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Can 4 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
?− 5 €+ 4 €23 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 4 € = 19 €
  2. Dann den Kauf: 19 € + 5 € = 24 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 4 € = 19 €
  2. Dann den Kauf: 19 € + 5 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Jonas kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Jonas 11 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 9 €+ 11 €32 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 11 € = 21 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 11 € = 21 €
    2. Dann den Kauf: 21 € + 9 € = 30 €
    Ergebnis:
    30 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Can braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
    2. Noch 32 Minuten früher: 16:16 Uhr.
    Ergebnis:
    16:16 Uhr
  3. ★12
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
    2. Noch 27 Minuten früher: 15:38 Uhr.
    Ergebnis:
    15:38 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Ben 10 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
  1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 4 Hühner und 6 Kaninchen: 4 · 2 + 6 · 4 = 32
Ergebnis:
4 Hühner, 6 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof zählt Lea 5 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
    Ergebnis:
    2 Hühner, 3 Kaninchen
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 4 Vierertische und 2 Sechsertische: 4 · 4 + 2 · 6 = 28
    Ergebnis:
    2 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 19 Tiere mit 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 10 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 56 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 18 Hühner und 1 Kaninchen: 18 · 2 + 1 · 4 = 40
    Ergebnis:
    1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 17,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    2. Packung: 17,40 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 299 €. Der Förderverein gibt 84 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
299 €84 €9 €30 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 299 € + 84 € = 383 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
  3. 383 € − 270 € = 113 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 299 € + 84 € = 383 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
  3. 383 € − 270 € = 113 €
Ergebnis:
113 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 281 €. Der Förderverein gibt 117 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 5 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    281 €117 €5 €29 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 281 € + 117 € = 398 €; Kosten: 29 · 5 € = 145 €
    3. 398 € − 145 € = 253 €
    Ergebnis:
    253 €
  2. ●20
    Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    27 Kindern189 €4 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 189 € : 27 = 7 €
    3. 7 € + 4 € = 11 €
    Ergebnis:
    11 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 435 €. Der Förderverein gibt 71 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    435 €71 €6 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 435 € + 71 € = 506 €; Kosten: 20 · 6 € = 120 €
    3. 506 € − 120 € = 386 €
    Ergebnis:
    386 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (7 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 7 €.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend ist B.
  3. 6 · (7 + 7) = 84
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend ist B.
  3. 6 · (7 + 7) = 84
Ergebnis:
B, 84 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 14 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
    (A) 6 + 14 · 8
    (B) 6 · (14 + 8)
    (C) 6 · 14 + 8
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 6 · 14 + 8 = 92
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 6 · 14 + 8
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 6 €.“
    (A) 3 + 8 · 6
    (B) 3 · (8 + 6)
    (C) 3 · 8 + 6
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
    2. Passend: 3 · (8 + 6) = 42
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 3 · (8 + 6)
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 9 · (13 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „9 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 6 €.“
    (B) „9 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 9.
    2. Passend ist A.
    3. 9 · (13 + 6) = 171
    Ergebnis:
    A, 171 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    25 Kinder3 Lehrkräfte16 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 25 Kinder und 7 €.
    2. 25 · 7 € = 175 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    175 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 31 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    31 Schafe10 Ziegen
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    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Lina ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:457:117:057:317:257:517:458:11
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 7:05 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  4. ●28
    Eine Allee ist 70 m lang. Alle 10 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 70 : 10 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Bäume
  5. ●29
    Im Kino sitzt Mia auf Platz 5 von links. Zwischen Mia und Ben sitzen 2 Kinder, Ben sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Ben?
    52 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 5 ist Mia, dann 2 Plätze dazwischen.
    2. 5 + 2 + 1 = 8
    Ergebnis:
    Platz 8
  6. ●30
    Elias kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Elias 4 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
    ?− 10 €+ 4 €18 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
    2. Dann den Kauf: 14 € + 10 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    25 Kinder2 Lehrkräfte10 km5 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 8:35 Uhr. Welchen Bus 100 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:537:207:137:407:338:007:538:20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:53 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Milan sagt: „Ein Zaun von 20 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14:42 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 56 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 7,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel1,80 €Packung4 Riegeln7,80 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 24 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 96 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    24 Kindern96 €4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
    (A) 8 · 9 + 5
    (B) 8 · (9 + 5)
    (C) 8 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 8 · 9 + 5

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 130 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. 5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  4. 6 Minuten
  5. den um 7:29 Uhr
  6. 9 Minuten
  7. Nein, 10 Pfähle
  8. Nein, 10 Pfähle
  9. Nein, 24 Pfähle
  10. 30 €
  11. 16:16 Uhr
  12. 15:38 Uhr
  13. 2 Hühner, 3 Kaninchen
  14. 2 Sechsertische
  15. 1 Kaninchen
  16. die Packung
  17. 1,00 €
  18. 1,33 €
  19. 253 €
  20. 11 €
  21. 386 €
  22. C: 6 · 14 + 8
  23. B: 3 · (8 + 6)
  24. A, 171 €
  25. 175 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. 13 Minuten
  28. 8 Bäume
  29. Platz 8
  30. 24 €
  31. 125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. den um 7:53 Uhr
  33. Nein, 6 Pfähle
  34. 14:42 Uhr
  35. 8 Sechsertische
  36. einzeln
  37. 8 €
  38. A: 8 · 9 + 5
  39. 8:45 Uhr
  40. 30 dm