Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 8:00 + 1:00 = 9:00 Uhr
Ergebnis:
9:00 Uhr
●40
Rechne um: 9 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 9 · 60 = 540 min
Ergebnis:
540 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 2.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 217 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 7 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 7 Spiele.
2. 15 − 7 = 8
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 451 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 6 €.
2. 22 · 6 € = 132 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:20 Uhr.
Von 6:54 bis 7:20 Uhr sind es 26 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:20 Uhr.
Von 6:54 bis 7:20 Uhr sind es 26 Minuten.

Ergebnis:

26 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 8:20 Uhr. Welchen Bus M29 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 8:20 Uhr: 7:17, 7:37, 7:57, 8:17 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:20 Uhr: 7:17, 7:37, 7:57, 8:17 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:17 Uhr an.
3. Er fährt um 7:54 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:54 Uhr
●5
Can ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:02 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:39 Uhr an.
3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 80 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 80 : 10 = 8
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
8 + 1 = 9

Abstände: 80 : 10 = 8
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
8 + 1 = 9

Ergebnis:

9 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lea sagt: „Ein Zaun von 8 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
8 : 2 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 8 : 2 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 8 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 8 Zaunpfähle haben 7 Abstände dazwischen.
2. 7 · 4 m = 28 m
Ergebnis:
28 m
★9
Um ein Beet mit 120 m Umfang werden rundherum alle 6 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 120 : 6 = 20
Ergebnis:
20 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 23 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 23 Minuten früher: 15:46 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 23 Minuten früher: 15:46 Uhr.

Ergebnis:

15:46 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Noah braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:03 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 15:29 Uhr.
Ergebnis:
15:29 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Noah braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:50 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr
★12
Lea kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lea 4 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 4 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 10 € = 24 €
Ergebnis:
24 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 7 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 5 Dreiräder: 2 · 2 + 5 · 3 = 19

Ergebnis:

5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
Ergebnis:
7 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 2 Kaninchen: 8 · 2 + 2 · 4 = 24
Ergebnis:
2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 14 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 10 Hühner und 4 Kaninchen: 10 · 2 + 4 · 4 = 36
Ergebnis:
4 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 3,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 3,80 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Packung: 3,80 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 4,20 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 58,00 €. Zeynep fährt im Monat 28-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 28 · 3,00 € = 84,00 €
2. Monatskarte: 58,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 29 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 116 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 116 € : 29 = 4 €
4 € + 4 € = 8 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 116 € : 29 = 4 €
4 € + 4 € = 8 €

Ergebnis:

8 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 369 €. Der Förderverein gibt 116 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 369 € + 116 € = 485 €; Kosten: 26 · 5 € = 130 €
3. 485 € − 130 € = 355 €
Ergebnis:
355 €
●20
Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 150 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 150 € : 30 = 5 €
3. 5 € + 6 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
★21
In der Klassenkasse sind 466 €. Der Förderverein gibt 57 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 3 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 466 € + 57 € = 523 €; Kosten: 24 · 3 € = 72 €
3. 523 € − 72 € = 451 €
Ergebnis:
451 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
(A) 4 + 14 · 2
(B) 4 · 14 + 2
(C) 4 · (14 + 2)

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 4 · 14 + 2 = 58
Richtig ist B.

Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 4 · 14 + 2 = 58
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 4 · 14 + 2

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(A) 7 · 15 + 2
(B) 7 + 15 · 2
(C) 7 · (15 + 2)
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend: 7 · (15 + 2) = 119
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 7 · (15 + 2)
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 13 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
(B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 5 €.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 7 · 13 + 5 = 96
Ergebnis:
A, 96 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
(A) 8 + 13 · 7
(B) 8 · (13 + 7)
(C) 8 · 13 + 7
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 8 · 13 + 7 = 111
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 8 · 13 + 7

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 5 Böden mit je 28 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 5 · 28 = 140.
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B, 140 Bücher
●27
Jonas ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:57 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 2 m = 24 m
Ergebnis:
24 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 14. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Milan, dahinter 12 Kinder.
2. 13 + 1 + 12 = 26
Ergebnis:
26 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 33 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
2. Noch 33 Minuten früher: 14:46 Uhr.
Ergebnis:
14:46 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 344 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
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Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
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Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
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Ergebnis:
25 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 5 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
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Ergebnis:
8 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
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Lea kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Lea 12 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
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Ergebnis:
35 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
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Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
5 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
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Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
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Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
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In der Klassenkasse sind 382 €. Der Förderverein gibt 77 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
270 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
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Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 3 €.“
(A) 3 · (7 + 3)
(B) 3 + 7 · 3
(C) 3 · 7 + 3
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Ergebnis:
A: 3 · (7 + 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
132 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:54 Uhr
8 Minuten
den um 7:11 Uhr
Nein, 5 Pfähle
28 m
20 Pfähle
15:29 Uhr
16:26 Uhr
24 €
7 Dreiräder
2 Kaninchen
4 Kaninchen
0,80 €
einzeln
Ja
355 €
11 €
451 €
C: 7 · (15 + 2)
A, 96 €
C: 8 · 13 + 7
Der Beginn des Films fehlt
B, 140 Bücher
11 Minuten
24 m
26 Kinder
14:46 Uhr
Die Tore im Finale fehlen
25 Minuten
8 m
35 €
5 Kaninchen
einzeln
270 €
A: 3 · (7 + 3)
9:00 Uhr
540 min