Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 10:30 + 1:30 = 12:00 Uhr
Ergebnis:
12:00 Uhr
●40
Rechne um: 4 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 4 · 60 = 240 min
Ergebnis:
240 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 21 Tore geschossen. Zum Finale kamen 177 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 7 Spiele.
15 − 7 = 8
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 7 Spiele.
15 − 7 = 8
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

8 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 19 Tore geschossen. Zum Finale kamen 254 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 8 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 6 € je Karte.
2. 23 · 6 € = 138 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
138 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:24 Uhr: 6:59, 7:14 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:14 Uhr an.
Er fährt um 6:53 Uhr ab.

Ankunft vor 7:24 Uhr: 6:59, 7:14 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:14 Uhr an.
Er fährt um 6:53 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 6:53 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Sofia ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
2. Von 6:44 bis 6:55 Uhr sind es 11 Minuten.
Ergebnis:
11 Minuten
●5
Hanna ist um 7:03 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
2. Von 7:03 bis 7:08 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
★6
Lina ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:56 bis 7:00 Uhr sind es 4 Minuten.
Ergebnis:
4 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 20 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 20 : 2 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Abstände: 20 : 2 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Ergebnis:

11 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
2. 9 · 4 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
●8
Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 2 = 12
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 12 + 1 = 13
Ergebnis:
13 Zaunpfähle
★9
Entlang eines Weges stehen 15 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 15 Zaunpfähle haben 14 Abstände dazwischen.
2. 14 · 10 m = 140 m
Ergebnis:
140 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Aylin braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 14:59 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
Noch 26 Minuten früher: 14:59 Uhr.

Ergebnis:

14:59 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Can braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 28 Minuten früher: 16:25 Uhr.
Ergebnis:
16:25 Uhr
●11
Milan kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Milan 11 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 11 € = 18 €
2. Dann den Kauf: 18 € + 15 € = 33 €
Ergebnis:
33 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Paul braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 34 Minuten früher: 15:17 Uhr.
Ergebnis:
15:17 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Aylin 7 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30

Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30

Ergebnis:

6 Vierertische, 1 Sechsertisch

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 48 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 4 Sechsertische: 6 · 4 + 4 · 6 = 48
Ergebnis:
4 Sechsertische
●14
In der Mensa zählt Lea 7 Tische und 38 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 5 Sechsertische: 2 · 4 + 5 · 6 = 38
Ergebnis:
2 Vierertische, 5 Sechsertische
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 14 Tiere mit 54 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Huhn und 13 Kaninchen: 1 · 2 + 13 · 4 = 54
Ergebnis:
13 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 5,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 208 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 208 € : 26 = 8 €
8 € + 8 € = 16 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 208 € : 26 = 8 €
8 € + 8 € = 16 €

Ergebnis:

16 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 24 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 216 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 216 € : 24 = 9 €
3. 9 € + 8 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
●20
Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 110 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 110 € : 22 = 5 €
3. 5 € + 3 € = 8 €
Ergebnis:
8 €
★21
In der Klassenkasse sind 385 €. Der Förderverein gibt 82 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 7 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 385 € + 82 € = 467 €; Kosten: 28 · 7 € = 196 €
3. 467 € − 196 € = 271 €
Ergebnis:
271 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 3 €.“
(A) 6 + 6 · 3
(B) 6 · 6 + 3
(C) 6 · (6 + 3)

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Passend: 6 · (6 + 3) = 54
Richtig ist C.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Passend: 6 · (6 + 3) = 54
Richtig ist C.

Ergebnis:

C: 6 · (6 + 3)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (12 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 2 €.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend ist B.
3. 8 · (12 + 2) = 112
Ergebnis:
B, 112 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 14 € und je eine Mappe für 5 €.“
(A) 4 · (14 + 5)
(B) 4 + 14 · 5
(C) 4 · 14 + 5
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. Passend: 4 · (14 + 5) = 76
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 4 · (14 + 5)
★24
Erfinde zu 4 · (12 + 6) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. „4 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 6 €.“
3. 4 · (12 + 6) = 72
Ergebnis:
72 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
In der Klasse sind 24 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 24 : 5 = 4 Rest 4
2. 4 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 4
●27
Elias ist um 6:50 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:50 bis 6:57 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten
●28
Paul sagt: „Ein Zaun von 110 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 110 : 10 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Lina an 5. Stelle von vorn und an 6. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 4 Kinder, dann Lina, dahinter 5 Kinder.
2. 4 + 1 + 5 = 10
Ergebnis:
10 Kinder
●30
Tom kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Tom 11 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 11 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 8 € = 10 €
Ergebnis:
10 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
232 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Noah ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 20 m lang. Alle 5 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
5 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:38 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Can 10 Fahrzeuge und 29 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Fahrrad, 9 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 6,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 446 €. Der Förderverein gibt 67 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
397 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (12 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 5 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
A, 68 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
138 €, die Filmdauer brauche ich nicht
11 Minuten
5 Minuten
4 Minuten
36 m
13 Zaunpfähle
140 m
16:25 Uhr
33 €
15:17 Uhr
4 Sechsertische
2 Vierertische, 5 Sechsertische
13 Kaninchen
die Packung
1,67 €
einzeln
17 €
8 €
271 €
B, 112 €
A: 4 · (14 + 5)
72 €
Der Beginn des Films fehlt
lösbar, 4
7 Minuten
Nein, 12 Pfähle
10 Kinder
10 €
232 €, die Filmdauer brauche ich nicht
2 Minuten
5 Laternen
15:38 Uhr
1 Fahrrad, 9 Dreiräder
einzeln
397 €
A, 68 €
12:00 Uhr
240 min