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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 9:15 + 1:30 = 10:45 Uhr
    Ergebnis:
    10:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 5 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 5 · 10 = 50 dm
    Ergebnis:
    50 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 429 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
9 Spiele15 Tore429 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 105 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kindern9 €105 Minuten
    So fängst du an:
    Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 105 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 471 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    6 Spiele15 Tore471 Zuschauer15 Spielen
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 6 Spiele.
    2. 15 − 6 = 9
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
    30 Kindern6 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
    2. 8:15 Uhr plus 95 Minuten: 9:50 Uhr
    3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
    Ergebnis:
    9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:527:157:077:307:227:457:378:00
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:15 Uhr.
  2. Von 6:52 bis 7:15 Uhr sind es 23 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:15 Uhr.
  2. Von 6:52 bis 7:15 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:58 Uhr. Welchen Bus X34 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:547:167:097:317:247:467:398:01
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:16, 7:31, 7:46 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:16, 7:31, 7:46 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:46 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:24 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:24 Uhr
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 8:06 Uhr. Welchen Bus 248 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:507:087:057:237:207:387:357:53
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:06 Uhr: 7:08, 7:23, 7:38, 7:53 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:53 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:35 Uhr
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:396:586:547:137:097:287:247:43
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:58 Uhr.
    2. Von 6:39 bis 6:58 Uhr sind es 19 Minuten.
    Ergebnis:
    19 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Hanna sagt: „Ein Zaun von 20 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
2 m2 m2 m…?
Schritt für Schritt
  1. 20 : 2 = 10 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
  1. 20 : 2 = 10 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lina sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    So fängst du an:
    100 : 10 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 100 : 10 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle
  2. ●8
    Eine Allee ist 24 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 24 : 6 = 4
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 4 + 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Bäume
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 15 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 15 Zaunpfähle haben 14 Abstände dazwischen.
    2. 14 · 10 m = 140 m
    Ergebnis:
    140 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Ben kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Ben 9 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
?− 12 €+ 9 €24 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 9 € = 15 €
  2. Dann den Kauf: 15 € + 12 € = 27 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 9 € = 15 €
  2. Dann den Kauf: 15 € + 12 € = 27 €
Ergebnis:
27 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lina kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Lina 5 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
    ?− 17 €+ 5 €25 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 5 € = 20 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 5 € = 20 €
    2. Dann den Kauf: 20 € + 17 € = 37 €
    Ergebnis:
    37 €
  2. ●11
    Ben kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Ben 9 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 18 €+ 9 €20 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 9 € = 11 €
    2. Dann den Kauf: 11 € + 18 € = 29 €
    Ergebnis:
    29 €
  3. ★12
    Jonas kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Jonas 6 € geschenkt und hat jetzt 8 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 12 €+ 6 €8 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 8 € − 6 € = 2 €
    2. Dann den Kauf: 2 € + 12 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Das passt genau.
  3. 4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Das passt genau.
  3. 4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20
Ergebnis:
3 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Lina 5 Fahrzeuge und 14 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14
    Ergebnis:
    1 Fahrrad, 4 Dreiräder
  2. ●14
    Im Hof der Kita zählt Zeynep 6 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
    2. Das passt genau.
    3. 3 Fahrräder und 3 Dreiräder: 3 · 2 + 3 · 3 = 15
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 3 Dreiräder
  3. ★15
    Auf einem Hof zählt Mia 14 Tiere und 54 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 13 Kaninchen: 1 · 2 + 13 · 4 = 54
    Ergebnis:
    1 Huhn, 13 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
  2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
  2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 4,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
    2. Packung: 4,40 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 17,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,80 €Packung10 Bällen17,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
    2. Packung: 17,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,20 €Packung10 Bällen11,00 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
    2. Packung: 11,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 346 €. Der Förderverein gibt 111 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
346 €111 €5 €30 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 346 € + 111 € = 457 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
  3. 457 € − 150 € = 307 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 346 € + 111 € = 457 €; Kosten: 30 · 5 € = 150 €
  3. 457 € − 150 € = 307 €
Ergebnis:
307 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 474 €. Der Förderverein gibt 75 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    474 €75 €9 €26 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 474 € + 75 € = 549 €; Kosten: 26 · 9 € = 234 €
    3. 549 € − 234 € = 315 €
    Ergebnis:
    315 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 477 €. Der Förderverein gibt 76 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 8 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    477 €76 €8 €24 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 477 € + 76 € = 553 €; Kosten: 24 · 8 € = 192 €
    3. 553 € − 192 € = 361 €
    Ergebnis:
    361 €
  3. ★21
    Hanna läuft an 3 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    3 Tagen4 Runden4004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 4 · 400 m = 1600 m; eine Woche: 3 · 1600 m = 4800 m
    3. 4 Wochen: 19.200 m = 19,2 km
    Ergebnis:
    19,2 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (12 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 3 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend ist A.
  3. 3 · (12 + 3) = 45
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend ist A.
  3. 3 · (12 + 3) = 45
Ergebnis:
A, 45 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (13 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 2 €.“
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend ist B.
    3. 4 · (13 + 2) = 60
    Ergebnis:
    B, 60 €
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 15 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 9 €.“
    (B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 6 · 15 + 9 = 99
    Ergebnis:
    B, 99 €
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 22 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
    (A) 8 + 22 · 6
    (B) 8 · (22 + 6)
    (C) 8 · 22 + 6
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 8 · 22 + 6 = 182
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 8 · 22 + 6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    27 Kindern6 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 27 Kinder und 6 € je Karte.
    2. 27 · 6 € = 162 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    162 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 8 Böden mit je 30 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
    8 Böden30 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 8 · 30 = 240.
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A, 240 Bücher
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:29 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:487:137:037:287:187:437:337:58
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:29 Uhr: 7:13, 7:28 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:28 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:03 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:03 Uhr
  4. ●28
    Eine Allee ist 40 m lang. Alle 5 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 40 : 5 = 8
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Bäume
  5. ●29
    Im Kino sitzt Lea auf Platz 6 von links. Zwischen Lea und Jonas sitzen 2 Kinder, Jonas sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Jonas?
    62 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 6 ist Lea, dann 2 Plätze dazwischen.
    2. 6 + 2 + 1 = 9
    Ergebnis:
    Platz 9
  6. ●30
    Tom kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Tom 5 € geschenkt und hat jetzt 26 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
    ?− 17 €+ 5 €26 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 26 € − 5 € = 21 €
    2. Dann den Kauf: 21 € + 17 € = 38 €
    Ergebnis:
    38 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 36 Tore geschossen. Zum Finale kamen 143 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    6 Spiele36 Tore143 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Sofia ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:557:127:057:227:157:327:257:42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Noah sagt: „Ein Zaun von 40 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15:39 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa zählt Zeynep 7 Tische und 34 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Vierertische, 3 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel2,50 €Packung6 Riegeln14,40 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 310 €. Der Förderverein gibt 42 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    310 €42 €4 €25 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    252 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 3 €.“
    (A) 4 · (12 + 3)
    (B) 4 + 12 · 3
    (C) 4 · 12 + 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 4 · (12 + 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Beginn des Films fehlt
  2. 9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  3. 9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
  4. den um 7:24 Uhr
  5. den um 7:35 Uhr
  6. 19 Minuten
  7. Nein, 11 Pfähle
  8. 5 Bäume
  9. 140 m
  10. 37 €
  11. 29 €
  12. 14 €
  13. 1 Fahrrad, 4 Dreiräder
  14. 3 Fahrräder, 3 Dreiräder
  15. 1 Huhn, 13 Kaninchen
  16. die Packung
  17. die Packung
  18. die Packung
  19. 315 €
  20. 361 €
  21. 19,2 km
  22. B, 60 €
  23. B, 99 €
  24. C: 8 · 22 + 6
  25. 162 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. A, 240 Bücher
  27. den um 7:03 Uhr
  28. 9 Bäume
  29. Platz 9
  30. 38 €
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. 7 Minuten
  33. Nein, 11 Pfähle
  34. 15:39 Uhr
  35. 4 Vierertische, 3 Sechsertische
  36. die Packung
  37. 252 €
  38. A: 4 · (12 + 3)
  39. 10:45 Uhr
  40. 50 dm