Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:45 + 0:45 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 5 cm in mm.
Lösung zeigen
1. 1 cm = 10 mm
2. 5 · 10 = 50 mm
Ergebnis:
50 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 340 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 8 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 5 €.
2. 25 · 5 € = 125 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Jonas ist um 7:06 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
Von 7:06 bis 7:15 Uhr sind es 9 Minuten.

Der nächste fährt um 7:15 Uhr.
Von 7:06 bis 7:15 Uhr sind es 9 Minuten.

Ergebnis:

9 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 8:03 Uhr. Welchen Bus 100 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 8:03 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35, 7:50 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:03 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35, 7:50 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:50 Uhr an.
3. Er fährt um 7:31 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:31 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:00 Uhr.
2. Von 6:42 bis 7:00 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
★6
Zeynep ist um 7:00 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Zeynep auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:05 Uhr.
2. Von 7:00 bis 7:05 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 100 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 100 : 10 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Abstände: 100 : 10 = 10
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
10 + 1 = 11

Ergebnis:

11 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Zaun ist 54 m lang. Alle 6 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
So fängst du an:
Abstände: 54 : 6 = 9
Lösung zeigen
1. Abstände: 54 : 6 = 9
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Zaunpfähle
●8
Ben sagt: „Ein Zaun von 16 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 16 : 4 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
★9
Um ein Beet mit 20 m Umfang werden rundherum alle 5 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 20 : 5 = 4
Ergebnis:
4 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Noah braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:05 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
Noch 19 Minuten früher: 15:05 Uhr.

Ergebnis:

15:05 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Lea kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Lea 3 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 3 € = 13 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 3 € = 13 €
2. Dann den Kauf: 13 € + 16 € = 29 €
Ergebnis:
29 €
●11
Sofia kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Sofia 9 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 9 € = 16 €
2. Dann den Kauf: 16 € + 8 € = 24 €
Ergebnis:
24 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Tom braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 14:43 Uhr.
Ergebnis:
14:43 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Hühner und 4 Kaninchen: 2 · 2 + 4 · 4 = 20

Probieren: 3 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 18 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Hühner und 4 Kaninchen: 2 · 2 + 4 · 4 = 20

Ergebnis:

4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Emma 10 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Hühner und 7 Kaninchen: 3 · 2 + 7 · 4 = 34
Ergebnis:
3 Hühner, 7 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Tom 7 Tische und 32 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Vierertische und 2 Sechsertische: 5 · 4 + 2 · 6 = 32
Ergebnis:
5 Vierertische, 2 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 11 Fahrzeuge mit 27 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
2. Das passt genau.
3. 6 Fahrräder und 5 Dreiräder: 6 · 2 + 5 · 3 = 27
Ergebnis:
5 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 6,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 3,80 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
2. Packung: 3,80 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 10,20 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
2. Packung: 10,20 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Zeynep fährt im Monat 29-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 29 · 2,60 € = 75,40 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 332 €. Der Förderverein gibt 78 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 332 € + 78 € = 410 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
410 € − 84 € = 326 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 332 € + 78 € = 410 €; Kosten: 21 · 4 € = 84 €
410 € − 84 € = 326 €

Ergebnis:

326 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 30 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 240 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 240 € : 30 = 8 €
3. 8 € + 7 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
●20
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 150 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 150 € : 25 = 6 €
3. 6 € + 7 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Jonas läuft an 3 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 4 · 400 m = 1600 m; eine Woche: 3 · 1600 m = 4800 m
3. 4 Wochen: 19.200 m = 19,2 km
Ergebnis:
19,2 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
(A) 6 · (12 + 7)
(B) 6 · 12 + 7
(C) 6 + 12 · 7

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 6 · 12 + 7 = 79
Richtig ist B.

Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 6 · 12 + 7 = 79
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 6 · 12 + 7

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 10 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(A) 6 · (10 + 6)
(B) 6 + 10 · 6
(C) 6 · 10 + 6
So fängst du an:
Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 6 · 10 + 6 = 66
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 6 · 10 + 6
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (6 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (6 + 9) = 75
Ergebnis:
A, 75 €
★24
Erfinde zu 11 · (12 + 7) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 11.
2. „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 7 €.“
3. 11 · (12 + 7) = 209
Ergebnis:
209 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 16 Tore geschossen. Zum Finale kamen 318 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Ein Regal hat 6 Böden mit je 13 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 6 · 13 = 78.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 78 Bücher
●27
Paul ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
2. Von 6:56 bis 6:58 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten
●28
Hanna sagt: „Ein Zaun von 30 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 30 : 5 = 6 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
Ergebnis:
Nein, 7 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 8 von links. Zwischen Noah und Milan sitzen 4 Kinder, Milan sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Milan?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 8 ist Noah, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 8 + 4 + 1 = 13
Ergebnis:
Platz 13
●30
Paul kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 5 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 5 € − 3 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 7 € = 9 €
Ergebnis:
9 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
156 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Jonas ist um 7:05 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 90 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
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Ergebnis:
10 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Emma braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
14:56 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 24 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
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Ergebnis:
6 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
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Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 342 €. Der Förderverein gibt 54 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
242 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(A) 4 + 14 · 4
(B) 4 · 14 + 4
(C) 4 · (14 + 4)
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Ergebnis:
C: 4 · (14 + 4)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
125 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:31 Uhr
18 Minuten
5 Minuten
10 Zaunpfähle
Nein, 5 Pfähle
4 Pfähle
29 €
24 €
14:43 Uhr
3 Hühner, 7 Kaninchen
5 Vierertische, 2 Sechsertische
5 Dreiräder
die Packung
die Packung
Ja
15 €
13 €
19,2 km
C: 6 · 10 + 6
A, 75 €
209 €
Die Tore im Finale fehlen
A, 78 Bücher
2 Minuten
Nein, 7 Pfähle
Platz 13
9 €
156 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
10 Minuten
10 Laternen
14:56 Uhr
6 Dreiräder
einzeln
242 €
C: 4 · (14 + 4)
8:30 Uhr
50 mm