Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:30 + 0:45 = 8:15 Uhr
Ergebnis:
8:15 Uhr
●40
Rechne um: 3 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 3 · 60 = 180 min
Ergebnis:
180 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 22 Kinder und 3 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 3 €.
2. 22 · 3 € = 66 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
66 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 4 €.
2. 23 · 4 € = 92 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
92 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 110 Minuten sind 1 Stunde und 50 Minuten.
2. 9:00 Uhr plus 110 Minuten: 10:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:15 Uhr.
Von 6:50 bis 7:15 Uhr sind es 25 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:15 Uhr.
Von 6:50 bis 7:15 Uhr sind es 25 Minuten.

Ergebnis:

25 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Lea ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:02 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●5
Jonas ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:52 bis 7:00 Uhr sind es 8 Minuten.
Ergebnis:
8 Minuten
★6
Aylin ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:59 bis 7:02 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
5 · 4 m = 20 m

6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
5 · 4 m = 20 m

Ergebnis:

20 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Noah sagt: „Ein Zaun von 120 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
●8
Mia sagt: „Ein Zaun von 120 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 120 : 10 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
★9
Eine Allee ist 100 m lang. Alle 5 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 100 : 5 = 20
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21 Bäume

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Mia kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Mia 11 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
Dann den Kauf: 6 € + 15 € = 21 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
Dann den Kauf: 6 € + 15 € = 21 €

Ergebnis:

21 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Lea kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lea 9 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 9 € = 11 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 9 € = 11 €
2. Dann den Kauf: 11 € + 10 € = 21 €
Ergebnis:
21 €
●11
Paul kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 3 € = 14 €
2. Dann den Kauf: 14 € + 16 € = 30 €
Ergebnis:
30 €
★12
Ben kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Ben 6 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 6 € = 4 €
2. Dann den Kauf: 4 € + 17 € = 21 €
Ergebnis:
21 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Paul 5 Fahrzeuge und 14 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14

Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14

Ergebnis:

1 Fahrrad, 4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 2 Kaninchen: 6 · 2 + 2 · 4 = 20
Ergebnis:
2 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Emma 9 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 5 Sechsertische: 4 · 4 + 5 · 6 = 46
Ergebnis:
4 Vierertische, 5 Sechsertische
★15
In der Mensa zählt Mia 13 Tische und 54 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 64 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 12 Vierertische und 1 Sechsertisch: 12 · 4 + 1 · 6 = 54
Ergebnis:
12 Vierertische, 1 Sechsertisch

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 4,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 4,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 5,10 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 324 €. Der Förderverein gibt 116 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 324 € + 116 € = 440 €; Kosten: 28 · 6 € = 168 €
440 € − 168 € = 272 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 324 € + 116 € = 440 €; Kosten: 28 · 6 € = 168 €
440 € − 168 € = 272 €

Ergebnis:

272 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 21 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 105 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 105 € : 21 = 5 €
3. 5 € + 3 € = 8 €
Ergebnis:
8 €
●20
Die 5c mit 24 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 96 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 96 € : 24 = 4 €
3. 4 € + 6 € = 10 €
Ergebnis:
10 €
★21
Elias läuft an 3 Tagen in der Woche je 8 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 8 · 250 m = 2000 m; eine Woche: 3 · 2000 m = 6000 m
3. 4 Wochen: 24.000 m = 24 km
Ergebnis:
24 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (11 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 8 €.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Passend ist B.
6 · (11 + 8) = 114

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Passend ist B.
6 · (11 + 8) = 114

Ergebnis:

B, 114 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (10 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 2 €.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist B.
3. 5 · (10 + 2) = 60
Ergebnis:
B, 60 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (12 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 9 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist B.
3. 5 · (12 + 9) = 105
Ergebnis:
B, 105 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 20 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 7 · 20 + 6
(B) 7 · (20 + 6)
(C) 7 + 20 · 6
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 7 · 20 + 6 = 146
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 7 · 20 + 6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
In der Klasse sind 23 Kinder. Sie spielen in 4 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 23 : 4 = 5 Rest 3
2. 3 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 3
●27
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:19 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:19 Uhr sind es 28 Minuten.
Ergebnis:
28 Minuten
●28
Zeynep sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 100 : 10 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Ben auf Platz 6 von links. Zwischen Ben und Hanna sitzen 4 Kinder, Hanna sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Hanna?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Ben, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 6 + 4 + 1 = 11
Ergebnis:
Platz 11
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Ben braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 15:33 Uhr.
Ergebnis:
15:33 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
88 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus X34 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 6:57 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 9 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
Ergebnis:
32 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Paul kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Paul 8 € geschenkt und hat jetzt 31 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
37 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 26 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 175 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
11 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(A) 7 · 15 + 8
(B) 7 · (15 + 8)
(C) 7 + 15 · 8
Lösung zeigen
Ergebnis:
A: 7 · 15 + 8

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

66 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
92 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
10:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
15 Minuten
8 Minuten
3 Minuten
Nein, 13 Pfähle
Nein, 13 Pfähle
21 Bäume
21 €
30 €
21 €
2 Kaninchen
4 Vierertische, 5 Sechsertische
12 Vierertische, 1 Sechsertisch
1,00 €
die Packung
die Packung
8 €
10 €
24 km
B, 60 €
B, 105 €
A: 7 · 20 + 6
Der Preis für Erwachsene fehlt
lösbar, 3
28 Minuten
Nein, 11 Pfähle
Platz 11
15:33 Uhr
88 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 6:57 Uhr
32 m
37 €
6 Kaninchen
1,67 €
11 €
A: 7 · 15 + 8
8:15 Uhr
180 min