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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 7:15 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 7:15 + 1:00 = 8:15 Uhr
    Ergebnis:
    8:15 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 12 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 12 · 10 = 120 mm
    Ergebnis:
    120 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
29 Kinder3 Lehrkräfte6 km5 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 3.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 3.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    23 Kindern7 €120 Minuten
    So fängst du an:
    Gebraucht: 23 Kinder und 7 € je Karte.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 7 € je Karte.
    2. 23 · 7 € = 161 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    161 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    26 Kindern9 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 26 Kinder und 9 € je Karte.
    2. 26 · 9 € = 234 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 22 Tore geschossen. Zum Finale kamen 419 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele22 Tore419 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Mia ist um 6:45 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus 248?
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:416:537:017:137:217:337:417:53
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
  2. Von 6:45 bis 7:01 Uhr sind es 16 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
  2. Von 6:45 bis 7:01 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:447:046:597:197:147:347:297:49
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:04, 7:19, 7:34 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:48 Uhr: 7:04, 7:19, 7:34 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:34 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:14 Uhr
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus 100 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:497:057:047:207:197:357:347:50
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:35 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:19 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:19 Uhr
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:31 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:447:037:047:237:247:437:448:03
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:31 Uhr: 7:03, 7:23 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:23 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:04 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:04 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Eine Allee ist 54 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 54 : 6 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
  1. Abstände: 54 : 6 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Bäume

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Milan sagt: „Ein Zaun von 54 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    So fängst du an:
    54 : 6 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 54 : 6 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  2. ●8
    Emma sagt: „Ein Zaun von 90 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 90 : 10 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
    2. 4 · 10 m = 40 m
    Ergebnis:
    40 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Can braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:15 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
  2. Noch 20 Minuten früher: 15:50 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
  2. Noch 20 Minuten früher: 15:50 Uhr.
Ergebnis:
15:50 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lea kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Lea 5 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
    ?− 12 €+ 5 €14 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 5 € = 9 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 5 € = 9 €
    2. Dann den Kauf: 9 € + 12 € = 21 €
    Ergebnis:
    21 €
  2. ●11
    Noah kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Noah 9 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
    ?− 18 €+ 9 €24 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 9 € = 15 €
    2. Dann den Kauf: 15 € + 18 € = 33 €
    Ergebnis:
    33 €
  3. ★12
    Elias verschenkt 6 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Elias noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 58. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 58 − 4 = 54
    2. Verdoppeln rückgängig: 54 : 2 = 27
    3. Verschenken rückgängig: 27 + 6 = 33
    Ergebnis:
    33 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 6 Hühner und 3 Kaninchen: 6 · 2 + 3 · 4 = 24
  1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 6 Hühner und 3 Kaninchen: 6 · 2 + 3 · 4 = 24
Ergebnis:
3 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Das passt genau.
    3. 5 Fahrräder und 5 Dreiräder: 5 · 2 + 5 · 3 = 25
    Ergebnis:
    5 Dreiräder
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 30 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    2. Das passt genau.
    3. 3 Vierertische und 3 Sechsertische: 3 · 4 + 3 · 6 = 30
    Ergebnis:
    3 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof zählt Aylin 16 Tiere und 50 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 8 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 48 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 7 Hühner und 9 Kaninchen: 7 · 2 + 9 · 4 = 50
    Ergebnis:
    7 Hühner, 9 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
einzeln1 Bleistift0,90 €Packung4 Bleistiften4,20 €
Schritt für Schritt
  1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
  2. Packung: 4,20 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
  2. Packung: 4,20 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €
  2. ●17
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
    2. Packung: 9,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Sofia fährt im Monat 27-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt3,00 €Monatskartebeliebig oft45,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 27 · 3,00 € = 81,00 €
    2. Monatskarte: 45,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
30 Kindern210 €6 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
  3. 7 € + 6 € = 13 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
  3. 7 € + 6 € = 13 €
Ergebnis:
13 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 453 €. Der Förderverein gibt 46 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    453 €46 €6 €22 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 453 € + 46 € = 499 €; Kosten: 22 · 6 € = 132 €
    3. 499 € − 132 € = 367 €
    Ergebnis:
    367 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 271 €. Der Förderverein gibt 64 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 3 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    271 €64 €3 €27 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 271 € + 64 € = 335 €; Kosten: 27 · 3 € = 81 €
    3. 335 € − 81 € = 254 €
    Ergebnis:
    254 €
  3. ★21
    In der Klassenkasse sind 408 €. Der Förderverein gibt 94 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 9 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    408 €94 €9 €25 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 408 € + 94 € = 502 €; Kosten: 25 · 9 € = 225 €
    3. 502 € − 225 € = 277 €
    Ergebnis:
    277 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 13 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 7 €.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 3 · 13 + 7 = 46
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 3 · 13 + 7 = 46
Ergebnis:
A, 46 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (7 + 4)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
    (B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 4 €.“
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend ist B.
    3. 8 · (7 + 4) = 88
    Ergebnis:
    B, 88 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
    (A) 4 · (13 + 6)
    (B) 4 · 13 + 6
    (C) 4 + 13 · 6
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 4 · 13 + 6 = 58
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 4 · 13 + 6
  3. ★24
    Erfinde zu 6 · 23 + 9 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 23 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
    3. 6 · 23 + 9 = 147
    Ergebnis:
    147 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    25 Kindern9 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 25 Kinder und 9 € je Karte.
    2. 25 · 9 € = 225 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    In der Klasse sind 21 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    21 Kinder5
    Lösung zeigen
    1. 21 : 5 = 4 Rest 1
    2. 1 Kind pfeift.
    Ergebnis:
    lösbar, 1
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:387:026:487:126:587:227:087:32
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:38 Uhr, an 7:02 Uhr.
    2. Von 6:38 bis 7:02 Uhr sind es 24 Minuten.
    Ergebnis:
    24 Minuten
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 11 Zaunpfähle im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 11 Zaunpfähle haben 10 Abstände dazwischen.
    2. 10 · 2 m = 20 m
    Ergebnis:
    20 m
  5. ●29
    Im Kino sitzt Hanna auf Platz 6 von links. Zwischen Hanna und Zeynep sitzen 1 Kinder, Zeynep sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Zeynep?
    61 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 6 ist Hanna, dann 1 Plätze dazwischen.
    2. 6 + 1 + 1 = 8
    Ergebnis:
    Platz 8
  6. ●30
    Ben kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Ben 8 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
    ?− 11 €+ 8 €25 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 8 € = 17 €
    2. Dann den Kauf: 17 € + 11 € = 28 €
    Ergebnis:
    28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    28 Kinder3 Lehrkräfte13 km6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:42 Uhr. Welchen Bus M29 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:066:527:167:027:267:127:36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:12 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Entlang eines Weges stehen 8 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35 m

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Jonas kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Jonas 12 € geschenkt und hat jetzt 36 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 15 €+ 12 €36 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift2,50 €Packung4 Bleistiften10,60 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 29 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 203 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    29 Kindern203 €7 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
    (A) 4 · (14 + 5)
    (B) 4 · 14 + 5
    (C) 4 + 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B: 4 · 14 + 5

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 161 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. 234 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. den um 7:14 Uhr
  5. den um 7:19 Uhr
  6. den um 7:04 Uhr
  7. Nein, 10 Pfähle
  8. Nein, 10 Pfähle
  9. 40 m
  10. 21 €
  11. 33 €
  12. 33 Karten
  13. 5 Dreiräder
  14. 3 Sechsertische
  15. 7 Hühner, 9 Kaninchen
  16. 0,67 €
  17. einzeln
  18. Ja
  19. 367 €
  20. 254 €
  21. 277 €
  22. B, 88 €
  23. B: 4 · 13 + 6
  24. 147 €
  25. 225 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. lösbar, 1
  27. 24 Minuten
  28. 20 m
  29. Platz 8
  30. 28 €
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. den um 7:12 Uhr
  33. 35 m
  34. 39 €
  35. 5 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 14 €
  38. B: 4 · 14 + 5
  39. 8:15 Uhr
  40. 120 mm