Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
Ergebnis:
8:45 Uhr
●40
Rechne um: 4 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 4 · 1.000 = 4.000 m
Ergebnis:
4.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 26 Kinder und 5 € je Karte.
26 · 5 € = 130 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Gebraucht: 26 Kinder und 5 € je Karte.
26 · 5 € = 130 €
Nicht gebraucht: die Filmdauer.

Ergebnis:

130 €, die Filmdauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 271 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 271, so viele wie Zuschauer.
2. 271 · 3 € = 813 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
271 Karten, 813 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:45 bis 7:08 Uhr sind es 23 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:45 Uhr, an 7:08 Uhr.
Von 6:45 bis 7:08 Uhr sind es 23 Minuten.

Ergebnis:

23 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:14 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:53 Uhr, an 7:14 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:14 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:20 Uhr. Welchen Bus 100 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:20 Uhr: 7:07, 7:17 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
3. Er fährt um 6:50 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:50 Uhr
★6
Tom ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:02 Uhr sind es 7 Minuten.
Ergebnis:
7 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 90 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 90 : 10 = 9
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
9 + 1 = 10

Abstände: 90 : 10 = 9
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
9 + 1 = 10

Ergebnis:

10 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Zaun ist 16 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
So fängst du an:
Abstände: 16 : 4 = 4
Lösung zeigen
1. Abstände: 16 : 4 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Zaunpfähle
●8
Aylin sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 36 : 3 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
★9
Um ein Beet mit 39 m Umfang werden rundherum alle 3 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 39 : 3 = 13
Ergebnis:
13 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Zeynep kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Zeynep 11 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 9 € = 31 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
Dann den Kauf: 22 € + 9 € = 31 €

Ergebnis:

31 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 15:16 Uhr.
Ergebnis:
15:16 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 4 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 4 € = 8 €
2. Dann den Kauf: 8 € + 15 € = 23 €
Ergebnis:
23 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 16 Minuten früher: 16:30 Uhr.
Ergebnis:
16:30 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Paul 8 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Das passt genau.
4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Das passt genau.
4 Vierertische und 4 Sechsertische: 4 · 4 + 4 · 6 = 40

Ergebnis:

4 Vierertische, 4 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Milan 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad
●14
Im Hof der Kita zählt Paul 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
2. Das passt genau.
3. 3 Fahrräder und 2 Dreiräder: 3 · 2 + 2 · 3 = 12
Ergebnis:
3 Fahrräder, 2 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Elias 15 Fahrzeuge und 38 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 7 Fahrräder und 8 Dreiräder: 7 · 2 + 8 · 3 = 38
Ergebnis:
7 Fahrräder, 8 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
Packung: 6,60 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 9,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 15,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 24 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 144 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 144 € : 24 = 6 €
6 € + 6 € = 12 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 144 € : 24 = 6 €
6 € + 6 € = 12 €

Ergebnis:

12 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
3. 7 € + 3 € = 10 €
Ergebnis:
10 €
●20
Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 200 € : 25 = 8 €
3. 8 € + 9 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
★21
In der Klassenkasse sind 448 €. Der Förderverein gibt 71 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 8 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 448 € + 71 € = 519 €; Kosten: 20 · 8 € = 160 €
3. 519 € − 160 € = 359 €
Ergebnis:
359 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 9 €.“
(A) 7 · (9 + 9)
(B) 7 · 9 + 9
(C) 7 + 9 · 9

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (9 + 9) = 126
Richtig ist A.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (9 + 9) = 126
Richtig ist A.

Ergebnis:

A: 7 · (9 + 9)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 5 €.“
(A) 3 · (7 + 5)
(B) 3 + 7 · 5
(C) 3 · 7 + 5
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend: 3 · (7 + 5) = 36
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 3 · (7 + 5)
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 12 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 3 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 5 · 12 + 3 = 63
Ergebnis:
B, 63 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 9 · (23 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „9 Kinder kaufen je einen Ball für 23 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
(B) „9 Kinder kaufen je einen Ball für 23 € und je eine Pumpe für 9 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 9.
2. Passend ist B.
3. 9 · (23 + 9) = 288
Ergebnis:
B, 288 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 5 Böden. Auf jedem stehen 5 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: 5 Böden, 5 Bücher je Boden.
2. Über die Seiten steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Tom ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
2. Von 6:55 bis 7:00 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten
●28
Ein Zaun ist 12 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 12 : 2 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Zaunpfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Can an 3. Stelle von vorn und an 13. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 2 Kinder, dann Can, dahinter 12 Kinder.
2. 2 + 1 + 12 = 15
Ergebnis:
15 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:47 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 15:28 Uhr.
Ergebnis:
15:28 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Zaun ist 8 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
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Ergebnis:
5 Zaunpfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
16:25 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Aylin 6 Fahrzeuge und 15 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
3 Fahrräder, 3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
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Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 403 €. Der Förderverein gibt 48 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 3 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
373 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (7 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 5 €.“
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Ergebnis:
B, 72 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
Der Preis für Erwachsene fehlt
271 Karten, 813 €
21 Minuten
den um 6:50 Uhr
7 Minuten
5 Zaunpfähle
Nein, 13 Pfähle
13 Pfähle
15:16 Uhr
23 €
16:30 Uhr
9 Fahrräder, 1 Dreirad
3 Fahrräder, 2 Dreiräder
7 Fahrräder, 8 Dreiräder
einzeln
einzeln
1,00 €
10 €
17 €
359 €
A: 3 · (7 + 5)
B, 63 €
B, 288 €
Der Beginn des Films fehlt
nicht lösbar
5 Minuten
7 Zaunpfähle
15 Kinder
15:28 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
20 Minuten
5 Zaunpfähle
16:25 Uhr
3 Fahrräder, 3 Dreiräder
einzeln
373 €
B, 72 €
8:45 Uhr
4.000 m