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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 7:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 7:15 + 1:30 = 8:45 Uhr
    Ergebnis:
    8:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 6 h in min.
    Lösung zeigen
    1. 1 h = 60 min
    2. 6 · 60 = 360 min
    Ergebnis:
    360 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 419 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
6 Spiele14 Tore419 Zuschauer15 Spielen
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 6 Spiele.
  2. 15 − 6 = 9
  3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
  1. Gebraucht: 6 Spiele.
  2. 15 − 6 = 9
  3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 465 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    8 Spiele32 Tore465 Zuschauer15 Spielen
    So fängst du an:
    Gebraucht: 8 Spiele.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 8 Spiele.
    2. 15 − 8 = 7
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 373 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele20 Tore373 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 164 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele32 Tore164 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:33 Uhr. Welchen Bus X34 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:437:026:537:127:037:227:137:32
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:33 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:33 Uhr: 7:02, 7:12, 7:22, 7:32 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:32 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:13 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:13 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:23 Uhr. Welchen Bus M29 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:446:576:547:077:047:177:147:27
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:23 Uhr: 6:57, 7:07, 7:17 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:23 Uhr: 6:57, 7:07, 7:17 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:04 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:04 Uhr
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus X34 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:467:107:017:257:167:407:317:55
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:10, 7:25, 7:40 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:16 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:16 Uhr
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:477:116:577:217:077:317:177:41
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:11 Uhr.
    2. Von 6:47 bis 7:11 Uhr sind es 24 Minuten.
    Ergebnis:
    24 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 36 m lang. Alle 6 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 36 : 6 = 6
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 6 + 1 = 7
  1. Abstände: 36 : 6 = 6
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 6 Bäume im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    So fängst du an:
    6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 3 m = 15 m
    Ergebnis:
    15 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 5 m = 60 m
    Ergebnis:
    60 m
  3. ★9
    Hanna sagt: „Ein Zaun von 132 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 22 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 132 : 6 = 22 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 23.
    Ergebnis:
    Nein, 23 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Can kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Can 8 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
?− 17 €+ 8 €10 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 8 € = 2 €
  2. Dann den Kauf: 2 € + 17 € = 19 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 8 € = 2 €
  2. Dann den Kauf: 2 € + 17 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:45 Uhr.
    Ergebnis:
    15:45 Uhr
  2. ●11
    Tom kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Tom 7 € geschenkt und hat jetzt 32 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
    ?− 9 €+ 7 €32 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 32 € − 7 € = 25 €
    2. Dann den Kauf: 25 € + 9 € = 34 €
    Ergebnis:
    34 €
  3. ★12
    Noah verschenkt 6 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Noah noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 54. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 54 − 6 = 48
    2. Verdoppeln rückgängig: 48 : 2 = 24
    3. Verschenken rückgängig: 24 + 6 = 30
    Ergebnis:
    30 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
  2. Das passt genau.
  3. 5 Fahrräder und 5 Dreiräder: 5 · 2 + 5 · 3 = 25
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
  2. Das passt genau.
  3. 5 Fahrräder und 5 Dreiräder: 5 · 2 + 5 · 3 = 25
Ergebnis:
5 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 30 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 7 Kaninchen: 1 · 2 + 7 · 4 = 30
    Ergebnis:
    7 Kaninchen
  2. ●14
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 23 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 4 Fahrräder und 5 Dreiräder: 4 · 2 + 5 · 3 = 23
    Ergebnis:
    5 Dreiräder
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 17 Fahrzeuge mit 43 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 8 Fahrräder und 9 Dreiräder: 8 · 2 + 9 · 3 = 43
    Ergebnis:
    9 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
einzeln1 Tennisball1,80 €Packung6 Bällen11,40 €
Schritt für Schritt
  1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
  2. Packung: 11,40 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
  2. Packung: 11,40 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Emma fährt im Monat 26-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,60 €Monatskartebeliebig oft40,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 26 · 2,60 € = 67,60 €
    2. Monatskarte: 40,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 279 €. Der Förderverein gibt 105 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
279 €105 €9 €29 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 279 € + 105 € = 384 €; Kosten: 29 · 9 € = 261 €
  3. 384 € − 261 € = 123 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 279 € + 105 € = 384 €; Kosten: 29 · 9 € = 261 €
  3. 384 € − 261 € = 123 €
Ergebnis:
123 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 30 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 210 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern210 €5 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 210 € : 30 = 7 €
    3. 7 € + 5 € = 12 €
    Ergebnis:
    12 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 296 €. Der Förderverein gibt 94 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    296 €94 €7 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 296 € + 94 € = 390 €; Kosten: 20 · 7 € = 140 €
    3. 390 € − 140 € = 250 €
    Ergebnis:
    250 €
  3. ★21
    Tom läuft an 4 Tagen in der Woche je 4 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    4 Tagen4 Runden3004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 4 · 300 m = 1200 m; eine Woche: 4 · 1200 m = 4800 m
    3. 4 Wochen: 19.200 m = 19,2 km
    Ergebnis:
    19,2 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(A) 6 + 15 · 9
(B) 6 · 15 + 9
(C) 6 · (15 + 9)
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend: 6 · (15 + 9) = 144
  3. Richtig ist C.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend: 6 · (15 + 9) = 144
  3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 6 · (15 + 9)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 7 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 4 €.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 5 · 7 + 4 = 39
    Ergebnis:
    A, 39 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 8 €.“
    (A) 8 · (10 + 8)
    (B) 8 · 10 + 8
    (C) 8 + 10 · 8
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend: 8 · (10 + 8) = 144
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 8 · (10 + 8)
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 13 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 3 €.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 4 · 13 + 3 = 55
    Ergebnis:
    A, 55 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 16 Tore geschossen. Zum Finale kamen 255 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele16 Tore255 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 32 Schafe und 18 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    32 Schafe18 Ziegen
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus M29 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:557:177:057:277:157:377:257:47
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 7:17, 7:27, 7:37, 7:47 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:47 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:25 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:25 Uhr
  4. ●28
    Lina sagt: „Ein Zaun von 44 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 44 : 4 = 11 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
    Ergebnis:
    Nein, 12 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 9. Stelle von vorn und an 7. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    97
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 8 Kinder, dann Emma, dahinter 6 Kinder.
    2. 8 + 1 + 6 = 15
    Ergebnis:
    15 Kinder
  6. ●30
    Jonas kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Jonas 8 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 8 €+ 8 €24 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 8 € = 16 €
    2. Dann den Kauf: 16 € + 8 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 276 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele29 Tore276 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:31 Uhr. Welchen Bus X34 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:457:066:557:167:057:267:157:36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:05 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Milan sagt: „Ein Zaun von 10 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Lea kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Lea 3 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
    ?− 6 €+ 3 €24 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,50 €Packung4 Bleistiften5,40 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 302 €. Der Förderverein gibt 116 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 3 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    302 €116 €3 €28 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    334 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · 7 + 3? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
    (B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 3 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 45 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. den um 7:04 Uhr
  5. den um 7:16 Uhr
  6. 24 Minuten
  7. 15 m
  8. 60 m
  9. Nein, 23 Pfähle
  10. 15:45 Uhr
  11. 34 €
  12. 30 Karten
  13. 7 Kaninchen
  14. 5 Dreiräder
  15. 9 Dreiräder
  16. 1,67 €
  17. 0,80 €
  18. Ja
  19. 12 €
  20. 250 €
  21. 19,2 km
  22. A, 39 €
  23. A: 8 · (10 + 8)
  24. A, 55 €
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:25 Uhr
  28. Nein, 12 Pfähle
  29. 15 Kinder
  30. 24 €
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. den um 7:05 Uhr
  33. Nein, 6 Pfähle
  34. 27 €
  35. 6 Kaninchen
  36. die Packung
  37. 334 €
  38. A, 45 €
  39. 8:45 Uhr
  40. 360 min