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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 8:00 + 1:30 = 9:30 Uhr
    Ergebnis:
    9:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 4 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 4 · 10 = 40 dm
    Ergebnis:
    40 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 189 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
8 Spiele26 Tore189 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 450 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    12 Spiele29 Tore450 Zuschauer15 Spielen
    So fängst du an:
    Gebraucht: 12 Spiele.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 12 Spiele.
    2. 15 − 12 = 3
    3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
    Ergebnis:
    3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 259 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    8 Spiele28 Tore259 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 319 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele14 Tore319 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:56 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:487:067:037:217:187:367:337:51
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:56 Uhr: 7:06, 7:21, 7:36, 7:51 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:33 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:56 Uhr: 7:06, 7:21, 7:36, 7:51 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:51 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:33 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:33 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:37 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:436:587:037:187:237:387:437:58
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:37 Uhr: 6:58, 7:18 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:37 Uhr: 6:58, 7:18 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:03 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:03 Uhr
  2. ●5
    Lea ist um 6:58 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus X34?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:517:197:117:397:317:597:518:19
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:11 Uhr.
    2. Von 6:58 bis 7:11 Uhr sind es 13 Minuten.
    Ergebnis:
    13 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 8:36 Uhr. Welchen Bus 248 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:547:227:147:427:348:027:548:22
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:36 Uhr: 7:22, 7:42, 8:02, 8:22 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 8:22 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:54 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:54 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 6 Bäume im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
  2. 5 · 6 m = 30 m
  1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
  2. 5 · 6 m = 30 m
Ergebnis:
30 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 10 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    So fängst du an:
    10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 10 Laternen haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 2 m = 18 m
    Ergebnis:
    18 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 10 Bäume im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 10 Bäume haben 9 Abstände dazwischen.
    2. 9 · 2 m = 18 m
    Ergebnis:
    18 m
  3. ★9
    Emma sagt: „Ein Zaun von 24 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 24 : 6 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
    Ergebnis:
    Nein, 5 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?15:30 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:18 Uhr.
  2. Noch 16 Minuten früher: 15:02 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:18 Uhr.
  2. Noch 16 Minuten früher: 15:02 Uhr.
Ergebnis:
15:02 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Paul braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
    2. Noch 31 Minuten früher: 14:50 Uhr.
    Ergebnis:
    14:50 Uhr
  2. ●11
    Mia kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Mia 8 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
    ?− 14 €+ 8 €13 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 8 € = 5 €
    2. Dann den Kauf: 5 € + 14 € = 19 €
    Ergebnis:
    19 €
  3. ★12
    Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 6 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
    ?− 10 €+ 6 €28 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 6 € = 22 €
    2. Dann den Kauf: 22 € + 10 € = 32 €
    Ergebnis:
    32 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Ben 10 Fahrzeuge und 21 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
  1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
  2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
  3. 9 Fahrräder und 1 Dreirad: 9 · 2 + 1 · 3 = 21
Ergebnis:
9 Fahrräder, 1 Dreirad

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 6 Hühner und 3 Kaninchen: 6 · 2 + 3 · 4 = 24
    Ergebnis:
    3 Kaninchen
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 38 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 5 Vierertische und 3 Sechsertische: 5 · 4 + 3 · 6 = 38
    Ergebnis:
    3 Sechsertische
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 16 Fahrzeuge mit 34 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 8 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 40 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 14 Fahrräder und 2 Dreiräder: 14 · 2 + 2 · 3 = 34
    Ergebnis:
    2 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
  2. Packung: 15,60 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
  2. Packung: 15,60 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  2. ●17
    Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 9,00 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift2,50 €Packung4 Bleistiften9,00 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
    2. Packung: 9,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Noah fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,40 €Monatskartebeliebig oft45,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 17 · 2,40 € = 40,80 €
    2. Monatskarte: 45,00 €
    3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
    Ergebnis:
    Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 138 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
23 Kindern138 €6 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 138 € : 23 = 6 €
  3. 6 € + 6 € = 12 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 138 € : 23 = 6 €
  3. 6 € + 6 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 431 €. Der Förderverein gibt 63 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 3 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    431 €63 €3 €27 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 431 € + 63 € = 494 €; Kosten: 27 · 3 € = 81 €
    3. 494 € − 81 € = 413 €
    Ergebnis:
    413 €
  2. ●20
    Die 5c mit 23 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 92 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern92 €3 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 92 € : 23 = 4 €
    3. 4 € + 3 € = 7 €
    Ergebnis:
    7 €
  3. ★21
    Die 5c mit 21 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    21 Kindern189 €6 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 189 € : 21 = 9 €
    3. 9 € + 6 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 € und je ein Getränk für 8 €.“
(A) 3 · 13 + 8
(B) 3 · (13 + 8)
(C) 3 + 13 · 8
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend: 3 · (13 + 8) = 63
  3. Richtig ist B.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
  2. Passend: 3 · (13 + 8) = 63
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 3 · (13 + 8)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (8 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
    (B) „6 Kinder kaufen je einen Ball für 8 € und je eine Pumpe für 5 €.“
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    2. Passend ist B.
    3. 6 · (8 + 5) = 78
    Ergebnis:
    B, 78 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
    (A) 6 · 15 + 6
    (B) 6 · (15 + 6)
    (C) 6 + 15 · 6
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 6 · 15 + 6 = 96
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 6 · 15 + 6
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „9 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 €. Dazu kommt ein Getränk für 8 € für alle.“
    (A) 9 + 15 · 8
    (B) 9 · (15 + 8)
    (C) 9 · 15 + 8
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 9-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 9 · 15 + 8 = 143
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 9 · 15 + 8

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 309 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    6 Spiele27 Tore309 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    Ein Regal hat 3 Böden mit je 21 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
    3 Böden21 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 21 = 63.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B, 63 Bücher
  3. ●27
    Aylin ist um 6:55 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus X34?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:406:587:007:187:207:387:407:58
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:00 Uhr.
    2. Von 6:55 bis 7:00 Uhr sind es 5 Minuten.
    Ergebnis:
    5 Minuten
  4. ●28
    Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
    2. 4 · 4 m = 16 m
    Ergebnis:
    16 m
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 5. Stelle von vorn und an 11. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    511
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 4 Kinder, dann Emma, dahinter 10 Kinder.
    2. 4 + 1 + 10 = 15
    Ergebnis:
    15 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
    2. Noch 21 Minuten früher: 15:40 Uhr.
    Ergebnis:
    15:40 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    25 Kindern4 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:40 Uhr. Welchen Bus 100 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:427:036:577:187:127:337:277:48
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:12 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Elias sagt: „Ein Zaun von 30 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 7 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Zeynep kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Zeynep 12 € geschenkt und hat jetzt 37 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
    ?− 18 €+ 12 €37 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 42 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 25,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel2,50 €Packung10 Riegeln25,30 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 135 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    27 Kindern135 €6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (12 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 3 € für alle.“
    (B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 3 €.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 120 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. Die Tore im Finale fehlen
  4. den um 7:03 Uhr
  5. 13 Minuten
  6. den um 7:54 Uhr
  7. 18 m
  8. 18 m
  9. Nein, 5 Pfähle
  10. 14:50 Uhr
  11. 19 €
  12. 32 €
  13. 3 Kaninchen
  14. 3 Sechsertische
  15. 2 Dreiräder
  16. 1,00 €
  17. die Packung
  18. Nein
  19. 413 €
  20. 7 €
  21. 15 €
  22. B, 78 €
  23. A: 6 · 15 + 6
  24. C: 9 · 15 + 8
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. B, 63 Bücher
  27. 5 Minuten
  28. 16 m
  29. 15 Kinder
  30. 15:40 Uhr
  31. Der Beginn des Films fehlt
  32. den um 7:12 Uhr
  33. Nein, 7 Pfähle
  34. 43 €
  35. 5 Sechsertische
  36. einzeln
  37. 11 €
  38. B, 120 €
  39. 9:30 Uhr
  40. 40 dm