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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 10:00 + 1:30 = 11:30 Uhr
    Ergebnis:
    11:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 6 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 6 · 1.000 = 6.000 m
    Ergebnis:
    6.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
25 Kindern9 €110 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    24 Kinder2 Lehrkräfte17 km5 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●2
    24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    24 Kinder3 Lehrkräfte13 km5 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
    2. 24 · 5 € = 120 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Der Film beginnt um 9:00 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
    26 Kindern8 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. 105 Minuten sind 1 Stunde und 45 Minuten.
    2. 9:00 Uhr plus 105 Minuten: 10:45 Uhr
    3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
    Ergebnis:
    10:45 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:25 Uhr. Welchen Bus 100 muss Mia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 100Hauptstraße abSchule an6:456:597:057:197:257:397:457:59
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:25 Uhr: 6:59, 7:19 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:19 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:25 Uhr: 6:59, 7:19 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:19 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:05 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:05 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:37 Uhr. Welchen Bus M29 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:447:006:547:107:047:207:147:30
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:37 Uhr: 7:00, 7:10, 7:20, 7:30 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:37 Uhr: 7:00, 7:10, 7:20, 7:30 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:30 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:14 Uhr
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:396:596:497:096:597:197:097:29
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:59 Uhr.
    2. Von 6:39 bis 6:59 Uhr sind es 20 Minuten.
    Ergebnis:
    20 Minuten
  3. ★6
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:487:117:037:267:187:417:337:56
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:11 Uhr.
    2. Von 6:48 bis 7:11 Uhr sind es 23 Minuten.
    Ergebnis:
    23 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 54 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 54 : 6 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
  1. Abstände: 54 : 6 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Allee ist 14 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    2 m2 m2 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 14 : 2 = 7
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 14 : 2 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Bäume
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 3 m = 15 m
    Ergebnis:
    15 m
  3. ★9
    Um ein Beet mit 84 m Umfang werden rundherum alle 6 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 84 : 6 = 14
    Ergebnis:
    14 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Sofia braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:15 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
  2. Noch 21 Minuten früher: 15:48 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
  2. Noch 21 Minuten früher: 15:48 Uhr.
Ergebnis:
15:48 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zeynep kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Zeynep 7 € geschenkt und hat jetzt 10 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
    ?− 12 €+ 7 €10 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 7 € = 3 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 10 € − 7 € = 3 €
    2. Dann den Kauf: 3 € + 12 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €
  2. ●11
    Hanna kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Hanna 10 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
    ?− 11 €+ 10 €25 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 10 € = 15 €
    2. Dann den Kauf: 15 € + 11 € = 26 €
    Ergebnis:
    26 €
  3. ★12
    Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 4 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
    ?− 15 €+ 4 €19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 4 € = 15 €
    2. Dann den Kauf: 15 € + 15 € = 30 €
    Ergebnis:
    30 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 28 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
  1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 4 Sechsertische: 1 · 4 + 4 · 6 = 28
Ergebnis:
4 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 30 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Vierertisch und 5 Sechsertische: 1 · 4 + 5 · 6 = 34
    Ergebnis:
    5 Sechsertische
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 42 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 3 Vierertische und 5 Sechsertische: 3 · 4 + 5 · 6 = 42
    Ergebnis:
    5 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof zählt Tom 18 Tiere und 70 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Hühner und 9 Kaninchen ergeben 54 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 17 Kaninchen: 1 · 2 + 17 · 4 = 70
    Ergebnis:
    1 Huhn, 17 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
  2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,80 €Packung4 Bleistiften6,60 €
    So fängst du an:
    4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
    2. Packung: 6,60 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Ein Tennisball kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 24,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball2,50 €Packung10 Bällen24,70 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
    2. Packung: 24,70 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Ben fährt im Monat 20-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt2,60 €Monatskartebeliebig oft50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 20 · 2,60 € = 52,00 €
    2. Monatskarte: 50,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 399 €. Der Förderverein gibt 73 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
399 €73 €9 €22 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 399 € + 73 € = 472 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
  3. 472 € − 198 € = 274 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 399 € + 73 € = 472 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
  3. 472 € − 198 € = 274 €
Ergebnis:
274 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 23 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 115 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern115 €4 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 115 € : 23 = 5 €
    3. 5 € + 4 € = 9 €
    Ergebnis:
    9 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 462 €. Der Förderverein gibt 66 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 4 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    462 €66 €4 €25 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 462 € + 66 € = 528 €; Kosten: 25 · 4 € = 100 €
    3. 528 € − 100 € = 428 €
    Ergebnis:
    428 €
  3. ★21
    Die 5c mit 25 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern200 €6 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 200 € : 25 = 8 €
    3. 8 € + 6 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 €. Dazu kommt ein Getränk für 8 € für alle.“
(A) 7 + 9 · 8
(B) 7 · 9 + 8
(C) 7 · (9 + 8)
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 7 · 9 + 8 = 71
  3. Richtig ist B.
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 7 · 9 + 8 = 71
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 7 · 9 + 8

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 8 €.“
    (A) 8 + 6 · 8
    (B) 8 · (6 + 8)
    (C) 8 · 6 + 8
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend: 8 · (6 + 8) = 112
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 8 · (6 + 8)
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 9 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 9 €.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 5 · 9 + 9 = 54
    Ergebnis:
    B, 54 €
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 3 €.“
    (A) 7 · 15 + 3
    (B) 7 + 15 · 3
    (C) 7 · (15 + 3)
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend: 7 · (15 + 3) = 126
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 7 · (15 + 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kindern6 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●26
    Ein Regal hat 4 Böden. Auf jedem stehen 29 Bücher. Wie viele Seiten hat ein Buch?
    4 Böden29 Bücher
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: 4 Böden, 29 Bücher je Boden.
    2. Über die Seiten steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:47 Uhr. Welchen Bus X34 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:426:566:577:117:127:267:277:41
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:47 Uhr: 6:56, 7:11, 7:26, 7:41 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:27 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:27 Uhr
  4. ●28
    Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 24 : 3 = 8
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Zaunpfähle
  5. ●29
    Im Kino sitzt Mia auf Platz 8 von links. Zwischen Mia und Can sitzen 2 Kinder, Can sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Can?
    82 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 8 ist Mia, dann 2 Plätze dazwischen.
    2. 8 + 2 + 1 = 11
    Ergebnis:
    Platz 11
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Ben braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:22 Uhr.
    2. Noch 26 Minuten früher: 14:56 Uhr.
    Ergebnis:
    14:56 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    30 Kindern7 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Hanna ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:467:106:567:207:067:307:167:40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Jonas sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Aylin braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15:25 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Noah 5 Fahrzeuge und 12 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 2 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 7,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 104 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    26 Kindern104 €3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (12 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 6 €.“
    (B) „3 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 54 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. 120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  3. 10:45 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
  4. den um 7:14 Uhr
  5. 20 Minuten
  6. 23 Minuten
  7. 8 Bäume
  8. 15 m
  9. 14 Pfähle
  10. 15 €
  11. 26 €
  12. 30 €
  13. 5 Sechsertische
  14. 5 Sechsertische
  15. 1 Huhn, 17 Kaninchen
  16. die Packung
  17. die Packung
  18. Ja
  19. 9 €
  20. 428 €
  21. 14 €
  22. B: 8 · (6 + 8)
  23. B, 54 €
  24. C: 7 · (15 + 3)
  25. Der Beginn des Films fehlt
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:27 Uhr
  28. 9 Zaunpfähle
  29. Platz 11
  30. 14:56 Uhr
  31. Der Beginn des Films fehlt
  32. 9 Minuten
  33. Nein, 11 Pfähle
  34. 15:25 Uhr
  35. 3 Fahrräder, 2 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 7 €
  38. A, 54 €
  39. 11:30 Uhr
  40. 6.000 m