Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 9:45 + 1:00 = 10:45 Uhr
Ergebnis:
10:45 Uhr
●40
Rechne um: 8 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 8 · 1.000 = 8.000 m
Ergebnis:
8.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 282 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 7 € je Karte.
2. 24 · 7 € = 168 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:34 Uhr. Welchen Bus 248 muss Zeynep spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:07, 7:17, 7:27 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:27 Uhr an.
Er fährt um 7:05 Uhr ab.

Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:07, 7:17, 7:27 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:27 Uhr an.
Er fährt um 7:05 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:05 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:05 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:48 Uhr, an 7:05 Uhr.
2. Von 6:48 bis 7:05 Uhr sind es 17 Minuten.
Ergebnis:
17 Minuten
●5
Aylin ist um 6:39 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:48 Uhr.
2. Von 6:39 bis 6:48 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
★6
Emma ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus 248?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:06 Uhr.
2. Von 6:52 bis 7:06 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Zaun ist 48 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?

Schritt für Schritt

Abstände: 48 : 4 = 12
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
12 + 1 = 13

Abstände: 48 : 4 = 12
An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
12 + 1 = 13

Ergebnis:

13 Zaunpfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Lea sagt: „Ein Zaun von 42 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
●8
Ein Weg ist 12 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 12 : 2 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Laternen
★9
Entlang eines Weges stehen 22 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 22 Zaunpfähle haben 21 Abstände dazwischen.
2. 21 · 10 m = 210 m
Ergebnis:
210 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
Noch 24 Minuten früher: 15:29 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 15:53 Uhr.
Noch 24 Minuten früher: 15:29 Uhr.

Ergebnis:

15:29 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Noah kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Noah 4 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 4 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 4 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 6 € = 26 €
Ergebnis:
26 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:54 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 16:35 Uhr.
Ergebnis:
16:35 Uhr
★12
Can kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Can 9 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 18 € − 9 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 17 € = 26 €
Ergebnis:
26 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Paul 8 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23

Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23

Ergebnis:

1 Fahrrad, 7 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Elias 10 Fahrzeuge und 28 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 8 Dreiräder: 2 · 2 + 8 · 3 = 28
Ergebnis:
2 Fahrräder, 8 Dreiräder
●14
Auf einem Hof zählt Hanna 5 Tiere und 14 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
2. Das passt genau.
3. 3 Hühner und 2 Kaninchen: 3 · 2 + 2 · 4 = 14
Ergebnis:
3 Hühner, 2 Kaninchen
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 14 Tiere mit 32 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 12 Hühner und 2 Kaninchen: 12 · 2 + 2 · 4 = 32
Ergebnis:
2 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 14,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 2,50 € = 15,00 €
2. Packung: 14,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 2,60 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Elias fährt im Monat 30-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 30 · 2,60 € = 78,00 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 132 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 132 € : 22 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 132 € : 22 = 6 €
6 € + 4 € = 10 €

Ergebnis:

10 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 30 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 240 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 240 € : 30 = 8 €
3. 8 € + 4 € = 12 €
Ergebnis:
12 €
●20
In der Klassenkasse sind 278 €. Der Förderverein gibt 109 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 9 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 278 € + 109 € = 387 €; Kosten: 23 · 9 € = 207 €
3. 387 € − 207 € = 180 €
Ergebnis:
180 €
★21
Die 5c mit 24 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 192 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 192 € : 24 = 8 €
3. 8 € + 3 € = 11 €
Ergebnis:
11 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 3 €.“
(A) 8 · 13 + 3
(B) 8 · (13 + 3)
(C) 8 + 13 · 3

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Passend: 8 · (13 + 3) = 128
Richtig ist B.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Passend: 8 · (13 + 3) = 128
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 8 · (13 + 3)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 6 · (11 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 7 €.“
(B) „6 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend ist A.
3. 6 · (11 + 7) = 108
Ergebnis:
A, 108 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 15 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 5 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 5 · 15 + 5 = 80
Ergebnis:
B, 80 €
★24
Erfinde zu 6 · (10 + 9) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 9 €.“
3. 6 · (10 + 9) = 114
Ergebnis:
114 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
●26
Ein Regal hat 7 Böden mit je 26 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viel kostet ein Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 7 · 26 = 182.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 182 Bücher
●27
Noah ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:12 Uhr.
2. Von 6:57 bis 7:12 Uhr sind es 15 Minuten.
Ergebnis:
15 Minuten
●28
Ein Zaun ist 20 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 20 : 2 = 10
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 10 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Zaunpfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Tom an 11. Stelle von vorn und an 10. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Tom, dahinter 9 Kinder.
2. 10 + 1 + 9 = 20
Ergebnis:
20 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 35 Minuten früher: 15:20 Uhr.
Ergebnis:
15:20 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:26 Uhr. Welchen Bus M29 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:09 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 14 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
15:33 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Ben 8 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Hühner, 1 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 7,50 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 392 €. Der Förderverein gibt 80 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
342 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 7 €.“
(A) 7 + 9 · 7
(B) 7 · (9 + 7)
(C) 7 · 9 + 7
Lösung zeigen
Ergebnis:
B: 7 · (9 + 7)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Beginn des Films fehlt
Die Tore im Finale fehlen
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
17 Minuten
9 Minuten
14 Minuten
Nein, 8 Pfähle
7 Laternen
210 m
26 €
16:35 Uhr
26 €
2 Fahrräder, 8 Dreiräder
3 Hühner, 2 Kaninchen
2 Kaninchen
0,80 €
die Packung
Ja
12 €
180 €
11 €
A, 108 €
B, 80 €
114 €
Der Beginn des Films fehlt
A, 182 Bücher
15 Minuten
11 Zaunpfähle
20 Kinder
15:20 Uhr
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:09 Uhr
8 Laternen
15:33 Uhr
7 Hühner, 1 Kaninchen
einzeln
342 €
B: 7 · (9 + 7)
10:45 Uhr
8.000 m