Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:30 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 9:30 + 1:00 = 10:30 Uhr
Ergebnis:
10:30 Uhr
●40
Rechne um: 12 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 12 · 1.000 = 12.000 m
Ergebnis:
12.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 307 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 8 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 8 € je Karte.
2. 26 · 8 € = 208 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 359 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 15 Tore geschossen. Zum Finale kamen 165 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 165, so viele wie Zuschauer.
2. 165 · 3 € = 495 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
165 Karten, 495 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Aylin ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Aylin auf den nächsten Bus 248?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
Von 7:04 bis 7:08 Uhr sind es 4 Minuten.

Der nächste fährt um 7:08 Uhr.
Von 7:04 bis 7:08 Uhr sind es 4 Minuten.

Ergebnis:

4 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:12 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:51 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:51 bis 7:12 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:06 Uhr.
2. Von 6:41 bis 7:06 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten
★6
Lina ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lina auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:52 bis 6:57 Uhr sind es 5 Minuten.
Ergebnis:
5 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 6 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
5 · 2 m = 10 m

6 Laternen haben 5 Abstände dazwischen.
5 · 2 m = 10 m

Ergebnis:

10 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Eine Allee ist 40 m lang. Alle 10 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
So fängst du an:
Abstände: 40 : 10 = 4
Lösung zeigen
1. Abstände: 40 : 10 = 4
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 4 + 1 = 5
Ergebnis:
5 Bäume
●8
Aylin sagt: „Ein Zaun von 48 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 48 : 6 = 8 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle
★9
Eine Allee ist 78 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 78 : 6 = 13
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 13 + 1 = 14
Ergebnis:
14 Bäume

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Sofia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Sofia 11 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 11 € = 12 €
Dann den Kauf: 12 € + 16 € = 28 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 11 € = 12 €
Dann den Kauf: 12 € + 16 € = 28 €

Ergebnis:

28 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lina braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 16:07 Uhr.
2. Noch 18 Minuten früher: 15:49 Uhr.
Ergebnis:
15:49 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Hanna braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 31 Minuten früher: 16:15 Uhr.
Ergebnis:
16:15 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 15:28 Uhr.
Ergebnis:
15:28 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Zeynep 9 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Hühner und 6 Kaninchen: 3 · 2 + 6 · 4 = 30

Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Hühner und 6 Kaninchen: 3 · 2 + 6 · 4 = 30

Ergebnis:

3 Hühner, 6 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Sofia 9 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 8 Hühner und 1 Kaninchen: 8 · 2 + 1 · 4 = 20
Ergebnis:
8 Hühner, 1 Kaninchen
●14
Im Hof der Kita zählt Can 7 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
Ergebnis:
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
★15
Im Hof der Kita zählt Sofia 15 Fahrzeuge und 36 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 9 Fahrräder und 6 Dreiräder: 9 · 2 + 6 · 3 = 36
Ergebnis:
9 Fahrräder, 6 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 9,60 €
Einzeln ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Packung: 9,60 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 2,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 2,60 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 6,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,80 € = 7,20 €
2. Packung: 6,20 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Emma fährt im Monat 17-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 17 · 3,00 € = 51,00 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 25 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 8 € = 12 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 8 € = 12 €

Ergebnis:

12 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 30 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 270 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 270 € : 30 = 9 €
3. 9 € + 8 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
●20
In der Klassenkasse sind 294 €. Der Förderverein gibt 42 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 294 € + 42 € = 336 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
3. 336 € − 175 € = 161 €
Ergebnis:
161 €
★21
In der Klassenkasse sind 395 €. Der Förderverein gibt 46 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 395 € + 46 € = 441 €; Kosten: 28 · 7 € = 196 €
3. 441 € − 196 € = 245 €
Ergebnis:
245 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (14 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 5 €.“
(B) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend ist A.
7 · (14 + 5) = 133

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend ist A.
7 · (14 + 5) = 133

Ergebnis:

A, 133 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 5 €.“
(A) 8 · 8 + 5
(B) 8 + 8 · 5
(C) 8 · (8 + 5)
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend: 8 · (8 + 5) = 104
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 8 · (8 + 5)
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 6 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(A) 3 · (6 + 6)
(B) 3 · 6 + 6
(C) 3 + 6 · 6
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 3 · 6 + 6 = 24
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 3 · 6 + 6
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (19 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 19 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 19 € und je ein Getränk für 9 €.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
2. Passend ist B.
3. 4 · (19 + 9) = 112
Ergebnis:
B, 112 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 6 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 6 = 54.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 54 Bücher
●27
Der Unterricht beginnt um 7:36 Uhr. Welchen Bus 100 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:36 Uhr: 6:57, 7:12, 7:27 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:27 Uhr an.
3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:14 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 11 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 11 Zaunpfähle haben 10 Abstände dazwischen.
2. 10 · 4 m = 40 m
Ergebnis:
40 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Sofia an 9. Stelle von vorn und an 3. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 8 Kinder, dann Sofia, dahinter 2 Kinder.
2. 8 + 1 + 2 = 11
Ergebnis:
11 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Noah braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:46 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 15:25 Uhr.
Ergebnis:
15:25 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Hanna ist um 7:07 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Eine Allee ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
9 Bäume
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Noah braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Noah spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
16:23 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 52 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 25,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 355 €. Der Förderverein gibt 90 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
295 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
(A) 3 · 13 + 4
(B) 3 + 13 · 4
(C) 3 · (13 + 4)
Lösung zeigen
Ergebnis:
A: 3 · 13 + 4

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
165 Karten, 495 €
21 Minuten
25 Minuten
5 Minuten
5 Bäume
Nein, 9 Pfähle
14 Bäume
15:49 Uhr
16:15 Uhr
15:28 Uhr
8 Hühner, 1 Kaninchen
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
9 Fahrräder, 6 Dreiräder
die Packung
die Packung
Ja
17 €
161 €
245 €
C: 8 · (8 + 5)
B: 3 · 6 + 6
B, 112 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
C, 54 Bücher
den um 7:14 Uhr
40 m
11 Kinder
15:25 Uhr
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
3 Minuten
9 Bäume
16:23 Uhr
8 Sechsertische
einzeln
295 €
A: 3 · 13 + 4
10:30 Uhr
12.000 m