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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 8:00 + 1:00 = 9:00 Uhr
    Ergebnis:
    9:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 12 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 12 · 1.000 = 12.000 m
    Ergebnis:
    12.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
29 Kinder3 Lehrkräfte8 km7 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 29 Kinder und 7 €.
  2. 29 · 7 € = 203 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
  1. Gebraucht: 29 Kinder und 7 €.
  2. 29 · 7 € = 203 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
203 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 204 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele31 Tore204 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 25 Tore geschossen. Zum Finale kamen 418 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    7 Spiele25 Tore418 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    30 Kinder2 Lehrkräfte18 km6 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 30 Kinder und 6 €.
    2. 30 · 6 € = 180 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    180 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Sofia ist um 6:47 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Sofia auf den nächsten Bus X34?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:467:147:017:297:167:447:317:59
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
  2. Von 6:47 bis 7:01 Uhr sind es 14 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
  2. Von 6:47 bis 7:01 Uhr sind es 14 Minuten.
Ergebnis:
14 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus 100 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:547:097:097:247:247:397:397:54
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:39 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:24 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:24 Uhr
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:467:087:017:237:167:387:317:53
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:46 Uhr, an 7:08 Uhr.
    2. Von 6:46 bis 7:08 Uhr sind es 22 Minuten.
    Ergebnis:
    22 Minuten
  3. ★6
    Elias braucht 6 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:13 Uhr nehmen. Wann muss Elias spätestens los, und wann ist Elias an der Schule?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:537:107:037:207:137:307:237:40
    Lösung zeigen
    1. Los: 6 Minuten vor 7:13 Uhr, also 7:07 Uhr.
    2. Ankunft laut Fahrplan: 7:30 Uhr.
    Ergebnis:
    los um 7:07 Uhr, an um 7:30 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Jonas sagt: „Ein Zaun von 66 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. 66 : 6 = 11 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
  1. 66 : 6 = 11 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Zaun ist 20 m lang. Alle 4 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    4 m4 m4 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 20 : 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 20 : 4 = 5
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 5 + 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Zaunpfähle
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 12 Laternen im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 12 Laternen haben 11 Abstände dazwischen.
    2. 11 · 6 m = 66 m
    Ergebnis:
    66 m
  3. ★9
    Can sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. 60 : 10 = 6 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
    Ergebnis:
    Nein, 7 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?17:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
  2. Noch 32 Minuten früher: 16:23 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
  2. Noch 32 Minuten früher: 16:23 Uhr.
Ergebnis:
16:23 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 16:49 Uhr.
    2. Noch 34 Minuten früher: 16:15 Uhr.
    Ergebnis:
    16:15 Uhr
  2. ●11
    Hanna kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Hanna 9 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
    ?− 11 €+ 9 €13 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 13 € − 9 € = 4 €
    2. Dann den Kauf: 4 € + 11 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €
  3. ★12
    Ben verschenkt 3 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Ben noch 6 Karten dazu. Jetzt sind es 38. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 38 − 6 = 32
    2. Verdoppeln rückgängig: 32 : 2 = 16
    3. Verschenken rückgängig: 16 + 3 = 19
    Ergebnis:
    19 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 20 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
  2. Das passt genau.
  3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
  2. Das passt genau.
  3. 4 Fahrräder und 4 Dreiräder: 4 · 2 + 4 · 3 = 20
Ergebnis:
4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 10 Fahrzeuge mit 26 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 25 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 4 Fahrräder und 6 Dreiräder: 4 · 2 + 6 · 3 = 26
    Ergebnis:
    6 Dreiräder
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 26 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26
    Ergebnis:
    3 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 14 Tiere mit 46 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Hühner und 7 Kaninchen ergeben 42 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 5 Hühner und 9 Kaninchen: 5 · 2 + 9 · 4 = 46
    Ergebnis:
    9 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
  2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
  2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung4 Bällen6,60 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
    2. Packung: 6,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 88 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
22 Kindern88 €9 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 88 € : 22 = 4 €
  3. 4 € + 9 € = 13 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 88 € : 22 = 4 €
  3. 4 € + 9 € = 13 €
Ergebnis:
13 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 279 €. Der Förderverein gibt 75 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    279 €75 €7 €26 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 279 € + 75 € = 354 €; Kosten: 26 · 7 € = 182 €
    3. 354 € − 182 € = 172 €
    Ergebnis:
    172 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 262 €. Der Förderverein gibt 66 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 4 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    262 €66 €4 €25 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 262 € + 66 € = 328 €; Kosten: 25 · 4 € = 100 €
    3. 328 € − 100 € = 228 €
    Ergebnis:
    228 €
  3. ★21
    Die 5c mit 21 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 126 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    21 Kindern126 €8 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 126 € : 21 = 6 €
    3. 6 € + 8 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (10 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 6 €.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
  2. Passend ist A.
  3. 4 · (10 + 6) = 64
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
  2. Passend ist A.
  3. 4 · (10 + 6) = 64
Ergebnis:
A, 64 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je einen Ball für 10 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
    (A) 4 · (10 + 8)
    (B) 4 + 10 · 8
    (C) 4 · 10 + 8
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 4 · 10 + 8 = 48
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 4 · 10 + 8
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (12 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 2 €.“
    (B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend ist A.
    3. 4 · (12 + 2) = 56
    Ergebnis:
    A, 56 €
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (12 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
    (B) „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 3 €.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend ist B.
    3. 7 · (12 + 3) = 105
    Ergebnis:
    B, 105 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 255 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele31 Tore255 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    In der Klasse sind 27 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    27 Kinder5 Teams
    Lösung zeigen
    1. Über Tore steht nichts im Text.
    2. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Ein Zaun ist 120 m lang. Alle 10 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 120 : 10 = 12
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 12 + 1 = 13
    Ergebnis:
    13 Zaunpfähle
  4. ●28
    In der Schlange vor der Mensa steht Elias an 4. Stelle von vorn und an 4. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 3 Kinder, dann Elias, dahinter 3 Kinder.
    2. 3 + 1 + 3 = 7
    Ergebnis:
    7 Kinder
  5. ●29
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lea braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
    2. Noch 20 Minuten früher: 14:57 Uhr.
    Ergebnis:
    14:57 Uhr
  6. ●30
    Auf einem Hof zählt Lea 9 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 7 Kaninchen: 2 · 2 + 7 · 4 = 32
    Ergebnis:
    2 Hühner, 7 Kaninchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    30 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    30 Kinder3 Lehrkräfte17 km6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Milan ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:436:557:037:157:237:357:437:55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Can sagt: „Ein Zaun von 55 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 12 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lea braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:25 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 6 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,67 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 88 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    22 Kindern88 €5 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (9 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 7 €.“
    (B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.“
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 128 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. 180 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  4. den um 7:24 Uhr
  5. 22 Minuten
  6. los um 7:07 Uhr, an um 7:30 Uhr
  7. 6 Zaunpfähle
  8. 66 m
  9. Nein, 7 Pfähle
  10. 16:15 Uhr
  11. 15 €
  12. 19 Karten
  13. 6 Dreiräder
  14. 3 Sechsertische
  15. 9 Kaninchen
  16. 0,80 €
  17. 1,67 €
  18. einzeln
  19. 172 €
  20. 228 €
  21. 14 €
  22. C: 4 · 10 + 8
  23. A, 56 €
  24. B, 105 €
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. nicht lösbar
  27. 13 Zaunpfähle
  28. 7 Kinder
  29. 14:57 Uhr
  30. 2 Hühner, 7 Kaninchen
  31. 180 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. 4 Minuten
  33. Nein, 12 Pfähle
  34. 16:25 Uhr
  35. 3 Kaninchen
  36. 0,67 €
  37. 9 €
  38. A, 128 €
  39. 9:00 Uhr
  40. 12.000 m