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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 9:15 + 0:45 = 10:00 Uhr
    Ergebnis:
    10:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 5 m in cm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 100 cm
    2. 5 · 100 = 500 cm
    Ergebnis:
    500 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 165 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
10 Spiele29 Tore165 Zuschauer
Schritt für Schritt
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
  1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
  2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
  3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    28 Kinder2 Lehrkräfte7 km5 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    25 Kindern7 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  3. ★3
    23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    23 Kinder2 Lehrkräfte12 km3 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
    2. 23 · 3 € = 69 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Mia ist um 6:57 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus X34?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:537:137:137:337:337:537:538:13
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
  2. Von 6:57 bis 7:13 Uhr sind es 16 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 7:13 Uhr.
  2. Von 6:57 bis 7:13 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:51 Uhr. Welchen Bus M29 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:457:027:007:177:157:327:307:47
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:02, 7:17, 7:32, 7:47 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:51 Uhr: 7:02, 7:17, 7:32, 7:47 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:47 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:30 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:30 Uhr
  2. ●5
    Noah ist um 6:59 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus X34?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:547:217:047:317:147:417:247:51
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:04 Uhr.
    2. Von 6:59 bis 7:04 Uhr sind es 5 Minuten.
    Ergebnis:
    5 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:28 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:507:057:107:257:307:457:508:05
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:28 Uhr: 7:05, 7:25 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:25 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:10 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:10 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Noah sagt: „Ein Zaun von 24 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 8 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
3 m3 m3 m…?
Schritt für Schritt
  1. 24 : 3 = 8 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
  1. 24 : 3 = 8 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 9.
Ergebnis:
Nein, 9 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Allee ist 27 m lang. Alle 3 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    3 m3 m3 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 27 : 3 = 9
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 27 : 3 = 9
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 9 + 1 = 10
    Ergebnis:
    10 Bäume
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 8 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. 8 Zaunpfähle haben 7 Abstände dazwischen.
    2. 7 · 4 m = 28 m
    Ergebnis:
    28 m
  3. ★9
    Um ein Beet mit 160 m Umfang werden rundherum alle 10 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 160 : 10 = 16
    Ergebnis:
    16 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Lea braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:15 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
  2. Noch 29 Minuten früher: 15:41 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:10 Uhr.
  2. Noch 29 Minuten früher: 15:41 Uhr.
Ergebnis:
15:41 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Aylin braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 15:16 Uhr.
    2. Noch 25 Minuten früher: 14:51 Uhr.
    Ergebnis:
    14:51 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Hanna braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Hanna spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:02 Uhr.
    2. Noch 17 Minuten früher: 15:45 Uhr.
    Ergebnis:
    15:45 Uhr
  3. ★12
    Mia kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Mia 8 € geschenkt und hat jetzt 25 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
    ?− 8 €+ 8 €25 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 25 € − 8 € = 17 €
    2. Dann den Kauf: 17 € + 8 € = 25 €
    Ergebnis:
    25 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 7 Tiere mit 24 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 2 Hühner und 5 Kaninchen: 2 · 2 + 5 · 4 = 24
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 2 Hühner und 5 Kaninchen: 2 · 2 + 5 · 4 = 24
Ergebnis:
5 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Auf einem Hof zählt Jonas 8 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
    Ergebnis:
    7 Hühner, 1 Kaninchen
  2. ●14
    Im Hof der Kita zählt Zeynep 5 Fahrzeuge und 14 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 2 Dreiräder ergeben 12 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 1 Fahrrad und 4 Dreiräder: 1 · 2 + 4 · 3 = 14
    Ergebnis:
    1 Fahrrad, 4 Dreiräder
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 17 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
    2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 16 Hühner und 1 Kaninchen: 16 · 2 + 1 · 4 = 36
    Ergebnis:
    1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
einzeln1 Bleistift1,20 €Packung4 Bleistiften5,40 €
Schritt für Schritt
  1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
  2. Packung: 5,40 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
  2. Packung: 5,40 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  2. ●17
    Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 10,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift2,50 €Packung4 Bleistiften10,60 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
    2. Packung: 10,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 24,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
    2. Packung: 24,00 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 458 €. Der Förderverein gibt 117 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
458 €117 €7 €25 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 458 € + 117 € = 575 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
  3. 575 € − 175 € = 400 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 458 € + 117 € = 575 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
  3. 575 € − 175 € = 400 €
Ergebnis:
400 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 268 €. Der Förderverein gibt 81 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 6 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    268 €81 €6 €30 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 268 € + 81 € = 349 €; Kosten: 30 · 6 € = 180 €
    3. 349 € − 180 € = 169 €
    Ergebnis:
    169 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 472 €. Der Förderverein gibt 93 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 3 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    472 €93 €3 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 472 € + 93 € = 565 €; Kosten: 23 · 3 € = 69 €
    3. 565 € − 69 € = 496 €
    Ergebnis:
    496 €
  3. ★21
    Die 5c mit 26 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 130 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    26 Kindern130 €3 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 130 € : 26 = 5 €
    3. 5 € + 3 € = 8 €
    Ergebnis:
    8 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je einen Ball für 11 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
(A) 3 · 11 + 8
(B) 3 + 11 · 8
(C) 3 · (11 + 8)
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 3 · 11 + 8 = 41
  3. Richtig ist A.
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend: 3 · 11 + 8 = 41
  3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 3 · 11 + 8

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 2 €.“
    (A) 4 + 13 · 2
    (B) 4 · (13 + 2)
    (C) 4 · 13 + 2
    So fängst du an:
    Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend: 4 · (13 + 2) = 60
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 4 · (13 + 2)
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 7 €.“
    (A) 7 + 14 · 7
    (B) 7 · 14 + 7
    (C) 7 · (14 + 7)
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend: 7 · (14 + 7) = 147
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 7 · (14 + 7)
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (22 + 3)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 22 €. Dazu kommt eine Mappe für 3 € für alle.“
    (B) „7 Kinder kaufen je ein Heft für 22 € und je eine Mappe für 3 €.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend ist B.
    3. 7 · (22 + 3) = 175
    Ergebnis:
    B, 175 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    29 Kinder3 Lehrkräfte16 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●26
    Ein Regal hat 3 Böden mit je 20 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
    3 Böden20 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 3 · 20 = 60.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C, 60 Bücher
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:557:147:107:297:257:447:407:59
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:55 Uhr, an 7:14 Uhr.
    2. Von 6:55 bis 7:14 Uhr sind es 19 Minuten.
    Ergebnis:
    19 Minuten
  4. ●28
    Milan sagt: „Ein Zaun von 30 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 30 : 3 = 10 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
    Ergebnis:
    Nein, 11 Pfähle
  5. ●29
    Im Kino sitzt Ben auf Platz 8 von links. Zwischen Ben und Sofia sitzen 2 Kinder, Sofia sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Sofia?
    82 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 8 ist Ben, dann 2 Plätze dazwischen.
    2. 8 + 2 + 1 = 11
    Ergebnis:
    Platz 11
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 25 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 16:06 Uhr.
    2. Noch 25 Minuten früher: 15:41 Uhr.
    Ergebnis:
    15:41 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 28 Tore geschossen. Zum Finale kamen 175 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    11 Spiele28 Tore175 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:557:107:107:257:257:407:407:55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Sofia sagt: „Ein Zaun von 120 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 13 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Elias kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Elias 6 € geschenkt und hat jetzt 18 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
    ?− 13 €+ 6 €18 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa zählt Lea 8 Tische und 44 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Vierertische, 6 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift1,20 €Packung10 Bleistiften11,40 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 108 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    27 Kindern108 €4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „5 Kinder kaufen je einen Ball für 9 € und je eine Pumpe für 2 €.“
    (A) 5 · 9 + 2
    (B) 5 + 9 · 2
    (C) 5 · (9 + 2)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    C: 5 · (9 + 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. Der Beginn des Films fehlt
  3. 69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  4. den um 7:30 Uhr
  5. 5 Minuten
  6. den um 7:10 Uhr
  7. 10 Bäume
  8. 28 m
  9. 16 Pfähle
  10. 14:51 Uhr
  11. 15:45 Uhr
  12. 25 €
  13. 7 Hühner, 1 Kaninchen
  14. 1 Fahrrad, 4 Dreiräder
  15. 1 Kaninchen
  16. 1,00 €
  17. einzeln
  18. die Packung
  19. 169 €
  20. 496 €
  21. 8 €
  22. B: 4 · (13 + 2)
  23. C: 7 · (14 + 7)
  24. B, 175 €
  25. Der Preis für Erwachsene fehlt
  26. C, 60 Bücher
  27. 19 Minuten
  28. Nein, 11 Pfähle
  29. Platz 11
  30. 15:41 Uhr
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. 15 Minuten
  33. Nein, 13 Pfähle
  34. 25 €
  35. 2 Vierertische, 6 Sechsertische
  36. die Packung
  37. 8 €
  38. C: 5 · (9 + 2)
  39. 10:00 Uhr
  40. 500 cm