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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 8:15 + 1:30 = 9:45 Uhr
    Ergebnis:
    9:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 7 m in dm.
    Lösung zeigen
    1. 1 m = 10 dm
    2. 7 · 10 = 70 dm
    Ergebnis:
    70 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
28 Kinder3 Lehrkräfte12 km5 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: 28 Kinder und 5 €.
  2. 28 · 5 € = 140 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
  1. Gebraucht: 28 Kinder und 5 €.
  2. 28 · 5 € = 140 €
  3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
140 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 458 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele23 Tore458 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    26 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    26 Kinder3 Lehrkräfte12 km5 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 29 Tore geschossen. Zum Finale kamen 477 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
    8 Spiele29 Tore477 Zuschauer3 €
    Lösung zeigen
    1. Karten: 477, so viele wie Zuschauer.
    2. 477 · 3 € = 1.431 €
    3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
    Ergebnis:
    477 Karten, 1.431 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus M29Hauptstraße abSchule an6:396:516:497:016:597:117:097:21
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:51 Uhr.
  2. Von 6:39 bis 6:51 Uhr sind es 12 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:51 Uhr.
  2. Von 6:39 bis 6:51 Uhr sind es 12 Minuten.
Ergebnis:
12 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:507:137:107:337:307:537:508:13
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:13 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:13 Uhr.
    2. Von 6:50 bis 7:13 Uhr sind es 23 Minuten.
    Ergebnis:
    23 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:426:547:027:147:227:347:427:54
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 6:54 Uhr.
    2. Von 6:42 bis 6:54 Uhr sind es 12 Minuten.
    Ergebnis:
    12 Minuten
  3. ★6
    Tom ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Tom auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:437:116:587:267:137:417:287:56
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
    2. Von 6:49 bis 6:58 Uhr sind es 9 Minuten.
    Ergebnis:
    9 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Eine Allee ist 54 m lang. Alle 6 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 54 : 6 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
  1. Abstände: 54 : 6 = 9
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Bäume

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lina sagt: „Ein Zaun von 36 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    4 m4 m4 m…?
    So fängst du an:
    36 : 4 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 36 : 4 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  2. ●8
    Aylin sagt: „Ein Zaun von 60 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 60 : 5 = 12 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
    Ergebnis:
    Nein, 13 Pfähle
  3. ★9
    Um ein Beet mit 12 m Umfang werden rundherum alle 2 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 12 : 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Jonas kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Jonas 11 € geschenkt und hat jetzt 17 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
?− 11 €+ 11 €17 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
  2. Dann den Kauf: 6 € + 11 € = 17 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 17 € − 11 € = 6 €
  2. Dann den Kauf: 6 € + 11 € = 17 €
Ergebnis:
17 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zeynep kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Zeynep 6 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
    ?− 12 €+ 6 €28 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 6 € = 22 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 6 € = 22 €
    2. Dann den Kauf: 22 € + 12 € = 34 €
    Ergebnis:
    34 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Zeynep braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 31 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
    2. Noch 31 Minuten früher: 15:29 Uhr.
    Ergebnis:
    15:29 Uhr
  3. ★12
    Sofia verschenkt 7 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Sofia noch 4 Karten dazu. Jetzt sind es 42. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 42 − 4 = 38
    2. Verdoppeln rückgängig: 38 : 2 = 19
    3. Verschenken rückgängig: 19 + 7 = 26
    Ergebnis:
    26 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Noah 9 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 3 Hühner und 6 Kaninchen: 3 · 2 + 6 · 4 = 30
  1. Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
  2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 3 Hühner und 6 Kaninchen: 3 · 2 + 6 · 4 = 30
Ergebnis:
3 Hühner, 6 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34
    Ergebnis:
    1 Sechsertisch
  2. ●14
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 22 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 2 Fahrräder und 6 Dreiräder: 2 · 2 + 6 · 3 = 22
    Ergebnis:
    6 Dreiräder
  3. ★15
    Auf einem Hof zählt Hanna 10 Tiere und 34 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 3 Hühner und 7 Kaninchen: 3 · 2 + 7 · 4 = 34
    Ergebnis:
    3 Hühner, 7 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
  2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 4,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift0,90 €Packung6 Bleistiften4,40 €
    So fängst du an:
    6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
    Lösung zeigen
    1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
    2. Packung: 4,40 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung
  2. ●17
    Eine Saftflasche kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 9,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
    2. Packung: 9,30 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 328 €. Der Förderverein gibt 114 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
328 €114 €6 €26 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 328 € + 114 € = 442 €; Kosten: 26 · 6 € = 156 €
  3. 442 € − 156 € = 286 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 328 € + 114 € = 442 €; Kosten: 26 · 6 € = 156 €
  3. 442 € − 156 € = 286 €
Ergebnis:
286 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 270 €. Der Förderverein gibt 52 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 6 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    270 €52 €6 €28 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 270 € + 52 € = 322 €; Kosten: 28 · 6 € = 168 €
    3. 322 € − 168 € = 154 €
    Ergebnis:
    154 €
  2. ●20
    Die 5c mit 21 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 126 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    21 Kindern126 €3 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 126 € : 21 = 6 €
    3. 6 € + 3 € = 9 €
    Ergebnis:
    9 €
  3. ★21
    Die 5c mit 23 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 161 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern161 €3 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 161 € : 23 = 7 €
    3. 7 € + 3 € = 10 €
    Ergebnis:
    10 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(A) 6 · (14 + 4)
(B) 6 + 14 · 4
(C) 6 · 14 + 4
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend: 6 · (14 + 4) = 108
  3. Richtig ist A.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
  2. Passend: 6 · (14 + 4) = 108
  3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 6 · (14 + 4)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 15 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 8 €.“
    (B) „4 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 4 · 15 + 8 = 68
    Ergebnis:
    B, 68 €
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 13 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 13 € und je eine Mappe für 8 €.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 13 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 5 · 13 + 8 = 73
    Ergebnis:
    B, 73 €
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „9 Kinder kaufen je ein Heft für 6 € und je eine Mappe für 9 €.“
    (A) 9 + 6 · 9
    (B) 9 · (6 + 9)
    (C) 9 · 6 + 9
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 9.
    2. Passend: 9 · (6 + 9) = 135
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 9 · (6 + 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 38 Tore geschossen. Zum Finale kamen 294 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele38 Tore294 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 16 Schafe und 8 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    16 Schafe8 Ziegen
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:50 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:497:117:097:317:297:517:498:11
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:50 Uhr: 7:11, 7:31 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:31 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:09 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:09 Uhr
  4. ●28
    Eine Allee ist 28 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 28 : 4 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Bäume
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 13. Stelle von vorn und an 14. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1314
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Mia, dahinter 13 Kinder.
    2. 12 + 1 + 13 = 26
    Ergebnis:
    26 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Can braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:05 Uhr.
    2. Noch 30 Minuten früher: 15:35 Uhr.
    Ergebnis:
    15:35 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    26 Kindern7 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:39 Uhr. Welchen Bus 248 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:537:057:087:207:237:357:387:50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:23 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Aylin sagt: „Ein Zaun von 30 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Elias braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 28 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14:50 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 9 Fahrzeuge mit 25 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,80 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    In der Klassenkasse sind 282 €. Der Förderverein gibt 75 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    282 €75 €7 €23 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 6 €.“
    (A) 4 · 8 + 6
    (B) 4 + 8 · 6
    (C) 4 · (8 + 6)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    C: 4 · (8 + 6)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. 477 Karten, 1.431 €
  4. 23 Minuten
  5. 12 Minuten
  6. 9 Minuten
  7. Nein, 10 Pfähle
  8. Nein, 13 Pfähle
  9. 6 Pfähle
  10. 34 €
  11. 15:29 Uhr
  12. 26 Karten
  13. 1 Sechsertisch
  14. 6 Dreiräder
  15. 3 Hühner, 7 Kaninchen
  16. die Packung
  17. einzeln
  18. 0,67 €
  19. 154 €
  20. 9 €
  21. 10 €
  22. B, 68 €
  23. B, 73 €
  24. B: 9 · (6 + 9)
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:09 Uhr
  28. 8 Bäume
  29. 26 Kinder
  30. 15:35 Uhr
  31. Der Beginn des Films fehlt
  32. den um 7:23 Uhr
  33. Nein, 6 Pfähle
  34. 14:50 Uhr
  35. 7 Dreiräder
  36. 0,80 €
  37. 196 €
  38. C: 4 · (8 + 6)
  39. 9:45 Uhr
  40. 70 dm