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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 10:30 + 1:30 = 12:00 Uhr
    Ergebnis:
    12:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 6 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 6 · 1.000 = 6.000 m
    Ergebnis:
    6.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
28 Kinder3 Lehrkräfte17 km5 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 3.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 3.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    23 Kinder3 Lehrkräfte12 km3 €
    So fängst du an:
    Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
    2. 23 · 3 € = 69 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 123 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    7 Spiele17 Tore123 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 271 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
    9 Spiele32 Tore271 Zuschauer3 €
    Lösung zeigen
    1. Karten: 271, so viele wie Zuschauer.
    2. 271 · 3 € = 813 €
    3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
    Ergebnis:
    271 Karten, 813 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:05 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:477:117:027:267:177:417:327:56
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:05 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41, 7:56 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:56 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:32 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:05 Uhr: 7:11, 7:26, 7:41, 7:56 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:56 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:32 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:32 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus M29?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:477:067:027:217:177:367:327:51
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
    2. Von 6:53 bis 7:02 Uhr sind es 9 Minuten.
    Ergebnis:
    9 Minuten
  2. ●5
    Milan ist um 6:52 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus 100?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:457:066:557:167:057:267:157:36
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 6:55 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 6:55 Uhr sind es 3 Minuten.
    Ergebnis:
    3 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:52 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:497:047:097:247:297:447:498:04
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:52 Uhr: 7:04, 7:24, 7:44 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:44 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:29 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:29 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Tom sagt: „Ein Zaun von 18 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
2 m2 m2 m…?
Schritt für Schritt
  1. 18 : 2 = 9 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
  1. 18 : 2 = 9 ist die Zahl der Abstände.
  2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
Ergebnis:
Nein, 10 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 13 Zaunpfähle im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    13 Zaunpfähle haben 12 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 13 Zaunpfähle haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 5 m = 60 m
    Ergebnis:
    60 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 6 Zaunpfähle im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 6 Zaunpfähle haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 6 m = 30 m
    Ergebnis:
    30 m
  3. ★9
    Eine Allee ist 38 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 38 : 2 = 19
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 19 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Bäume

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Mia kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Mia 10 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Mia am Anfang?
?− 6 €+ 10 €23 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 10 € = 13 €
  2. Dann den Kauf: 13 € + 6 € = 19 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 10 € = 13 €
  2. Dann den Kauf: 13 € + 6 € = 19 €
Ergebnis:
19 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lea braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
    2. Noch 26 Minuten früher: 14:51 Uhr.
    Ergebnis:
    14:51 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Mia braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:15 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:01 Uhr.
    2. Noch 19 Minuten früher: 15:42 Uhr.
    Ergebnis:
    15:42 Uhr
  3. ★12
    Lina kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Lina 7 € geschenkt und hat jetzt 24 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
    ?− 12 €+ 7 €24 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 24 € − 7 € = 17 €
    2. Dann den Kauf: 17 € + 12 € = 29 €
    Ergebnis:
    29 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Jonas 7 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
  2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
  3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
  1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
  2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
  3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
Ergebnis:
1 Fahrrad, 6 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Lea 8 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 7 Fahrräder und 1 Dreirad: 7 · 2 + 1 · 3 = 17
    Ergebnis:
    7 Fahrräder, 1 Dreirad
  2. ●14
    In der Mensa zählt Emma 9 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 7 Vierertische und 2 Sechsertische: 7 · 4 + 2 · 6 = 40
    Ergebnis:
    7 Vierertische, 2 Sechsertische
  3. ★15
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 11 Tiere mit 42 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 32 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Huhn und 10 Kaninchen: 1 · 2 + 10 · 4 = 42
    Ergebnis:
    10 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
  2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
  2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
  3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,50 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
    2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
    Ergebnis:
    1,00 €
  3. ★18
    Eine Fahrt kostet 3,00 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Milan fährt im Monat 19-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
    Einzelfahrt1 Fahrt3,00 €Monatskartebeliebig oft50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Einzeln: 19 · 3,00 € = 57,00 €
    2. Monatskarte: 50,00 €
    3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
    Ergebnis:
    Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 393 €. Der Förderverein gibt 44 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
393 €44 €7 €23 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 393 € + 44 € = 437 €; Kosten: 23 · 7 € = 161 €
  3. 437 € − 161 € = 276 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 393 € + 44 € = 437 €; Kosten: 23 · 7 € = 161 €
  3. 437 € − 161 € = 276 €
Ergebnis:
276 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 21 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 126 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    21 Kindern126 €4 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 126 € : 21 = 6 €
    3. 6 € + 4 € = 10 €
    Ergebnis:
    10 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 429 €. Der Förderverein gibt 87 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 5 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    429 €87 €5 €20 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 429 € + 87 € = 516 €; Kosten: 20 · 5 € = 100 €
    3. 516 € − 100 € = 416 €
    Ergebnis:
    416 €
  3. ★21
    Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern100 €7 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
    3. 4 € + 7 € = 11 €
    Ergebnis:
    11 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (15 + 9)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
(B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 9 €.“
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
  2. Passend ist B.
  3. 8 · (15 + 9) = 192
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
  2. Passend ist B.
  3. 8 · (15 + 9) = 192
Ergebnis:
B, 192 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 10 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 9 €.“
    (B) „3 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 9 € für alle.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 3 · 10 + 9 = 39
    Ergebnis:
    B, 39 €
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 8 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 € und je ein Getränk für 6 €.“
    (B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 8 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 5 · 8 + 6 = 46
    Ergebnis:
    B, 46 €
  3. ★24
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 9 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
    (A) 7 + 9 · 5
    (B) 7 · 9 + 5
    (C) 7 · (9 + 5)
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 7 · 9 + 5 = 68
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 7 · 9 + 5

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 32 Tore geschossen. Zum Finale kamen 230 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele32 Tore230 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●26
    Ein Regal hat 4 Böden mit je 6 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
    4 Böden6 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 4 · 6 = 24.
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C, 24 Bücher
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 8:17 Uhr. Welchen Bus X34 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:527:167:127:367:327:567:528:16
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:17 Uhr: 7:16, 7:36, 7:56, 8:16 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 8:16 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:52 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:52 Uhr
  4. ●28
    Milan sagt: „Ein Zaun von 22 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 22 : 2 = 11 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
    Ergebnis:
    Nein, 12 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Mia an 13. Stelle von vorn und an 3. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    133
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Mia, dahinter 2 Kinder.
    2. 12 + 1 + 2 = 15
    Ergebnis:
    15 Kinder
  6. ●30
    Paul kauft ein Buch für 11 €. Danach bekommt Paul 3 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
    ?− 11 €+ 3 €20 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 3 € = 17 €
    2. Dann den Kauf: 17 € + 11 € = 28 €
    Ergebnis:
    28 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    24 Kinder2 Lehrkräfte10 km4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:507:067:007:167:107:267:207:36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Eine Allee ist 16 m lang. Alle 4 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    4 m4 m4 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Bäume

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Lea kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Lea 8 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
    ?− 10 €+ 8 €19 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Tom 7 Fahrzeuge und 18 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 4 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,80 €Packung10 Bällen18,30 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 28 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 196 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    28 Kindern196 €6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.“
    (A) 8 · (7 + 8)
    (B) 8 + 7 · 8
    (C) 8 · 7 + 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    C: 8 · 7 + 8

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. 69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. 271 Karten, 813 €
  4. 9 Minuten
  5. 3 Minuten
  6. den um 7:29 Uhr
  7. 60 m
  8. 30 m
  9. 20 Bäume
  10. 14:51 Uhr
  11. 15:42 Uhr
  12. 29 €
  13. 7 Fahrräder, 1 Dreirad
  14. 7 Vierertische, 2 Sechsertische
  15. 10 Kaninchen
  16. 0,80 €
  17. 1,00 €
  18. Ja
  19. 10 €
  20. 416 €
  21. 11 €
  22. B, 39 €
  23. B, 46 €
  24. B: 7 · 9 + 5
  25. Die Tore im Finale fehlen
  26. C, 24 Bücher
  27. den um 7:52 Uhr
  28. Nein, 12 Pfähle
  29. 15 Kinder
  30. 28 €
  31. Der Preis für Erwachsene fehlt
  32. 16 Minuten
  33. 5 Bäume
  34. 21 €
  35. 3 Fahrräder, 4 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 13 €
  38. C: 8 · 7 + 8
  39. 12:00 Uhr
  40. 6.000 m