Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 8:00 + 0:45 = 8:45 Uhr
Ergebnis:
8:45 Uhr
●40
Rechne um: 4 km in m.
Lösung zeigen
1. 1 km = 1.000 m
2. 4 · 1.000 = 4.000 m
Ergebnis:
4.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 30 Kinder und 7 €.
30 · 7 € = 210 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 30 Kinder und 7 €.
30 · 7 € = 210 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

210 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 29 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 29 Kinder und 6 € je Karte.
2. 29 · 6 € = 174 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 373 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
24 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 13 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 13 km = 26 km.
2. 24 Kinder: 24 · 26 km = 624 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
624 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Jonas ist um 6:42 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 248?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:48 Uhr.
Von 6:42 bis 6:48 Uhr sind es 6 Minuten.

Der nächste fährt um 6:48 Uhr.
Von 6:42 bis 6:48 Uhr sind es 6 Minuten.

Ergebnis:

6 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Paul ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:58 Uhr.
2. Von 6:56 bis 6:58 Uhr sind es 2 Minuten.
Ergebnis:
2 Minuten
●5
Lea ist um 6:43 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:59 Uhr.
2. Von 6:43 bis 6:59 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
★6
Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus 248 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:06, 7:16 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:16 Uhr an.
3. Er fährt um 6:51 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:51 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Zaunpfähle im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

7 Zaunpfähle haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 10 m = 60 m

7 Zaunpfähle haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 10 m = 60 m

Ergebnis:

60 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Aylin sagt: „Ein Zaun von 50 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
50 : 5 = 10 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.
Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 5 m = 60 m
Ergebnis:
60 m
★9
Emma sagt: „Ein Zaun von 32 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 16 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 32 : 2 = 16 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 17.
Ergebnis:
Nein, 17 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Milan kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Milan 9 € geschenkt und hat jetzt 12 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 9 € = 3 €
Dann den Kauf: 3 € + 10 € = 13 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 12 € − 9 € = 3 €
Dann den Kauf: 3 € + 10 € = 13 €

Ergebnis:

13 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Lea kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Lea 10 € geschenkt und hat jetzt 30 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 10 € = 20 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 30 € − 10 € = 20 €
2. Dann den Kauf: 20 € + 16 € = 36 €
Ergebnis:
36 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:52 Uhr.
2. Noch 17 Minuten früher: 15:35 Uhr.
Ergebnis:
15:35 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Elias braucht 10 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 10 Minuten früher ist 16:50 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 16:31 Uhr.
Ergebnis:
16:31 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 26 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26

Probieren: 3 Vierertische und 2 Sechsertische ergeben 24 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 3 Sechsertische: 2 · 4 + 3 · 6 = 26

Ergebnis:

3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Lina 8 Tiere und 18 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
Ergebnis:
7 Hühner, 1 Kaninchen
●14
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 52 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52
Ergebnis:
8 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 15 Fahrzeuge mit 44 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Fahrräder und 7 Dreiräder ergeben 37 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 14 Dreiräder: 1 · 2 + 14 · 3 = 44
Ergebnis:
14 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 6 Bleistiften kostet 11,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bleistifte braucht?
So fängst du an:
6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,80 € = 10,80 €
2. Packung: 11,40 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
2. Packung: 10,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Eine Fahrt kostet 2,40 €. Eine Monatskarte kostet 40,00 €. Emma fährt im Monat 28-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 28 · 2,40 € = 67,20 €
2. Monatskarte: 40,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 438 €. Der Förderverein gibt 51 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 7 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 438 € + 51 € = 489 €; Kosten: 29 · 7 € = 203 €
489 € − 203 € = 286 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 438 € + 51 € = 489 €; Kosten: 29 · 7 € = 203 €
489 € − 203 € = 286 €

Ergebnis:

286 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 29 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 203 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 203 € : 29 = 7 €
3. 7 € + 4 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
●20
In der Klassenkasse sind 439 €. Der Förderverein gibt 40 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 9 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 439 € + 40 € = 479 €; Kosten: 30 · 9 € = 270 €
3. 479 € − 270 € = 209 €
Ergebnis:
209 €
★21
Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 180 € : 20 = 9 €
3. 9 € + 3 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 €. Dazu kommt ein Getränk für 3 € für alle.“
(A) 3 · 7 + 3
(B) 3 · (7 + 3)
(C) 3 + 7 · 3

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 3 · 7 + 3 = 24
Richtig ist A.

Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend: 3 · 7 + 3 = 24
Richtig ist A.

Ergebnis:

A: 3 · 7 + 3

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „3 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(A) 3 · (9 + 8)
(B) 3 · 9 + 8
(C) 3 + 9 · 8
So fängst du an:
Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 3 · 9 + 8 = 35
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 3 · 9 + 8
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 11 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 11 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(B) „8 Kinder kaufen je einen Ball für 11 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 8 · 11 + 4 = 92
Ergebnis:
B, 92 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 12 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 6 €.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 5 · 12 + 6 = 66
Ergebnis:
A, 66 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 468 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 9 Spiele.
2. 15 − 9 = 6
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 8 Böden mit je 19 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 8 · 19 = 152.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 152 Bücher
●27
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 6:53 Uhr.
2. Von 6:41 bis 6:53 Uhr sind es 12 Minuten.
Ergebnis:
12 Minuten
●28
Sofia sagt: „Ein Zaun von 35 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 35 : 5 = 7 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
Ergebnis:
Nein, 8 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Elias auf Platz 7 von links. Zwischen Elias und Ben sitzen 4 Kinder, Ben sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Ben?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 7 ist Elias, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 7 + 4 + 1 = 12
Ergebnis:
Platz 12
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Ben braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 15:18 Uhr.
2. Noch 27 Minuten früher: 14:51 Uhr.
Ergebnis:
14:51 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
25 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
100 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 8:05 Uhr. Welchen Bus X34 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:29 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
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Ergebnis:
24 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Emma braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
16:23 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 6 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
0,80 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 200 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
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Ergebnis:
11 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „4 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 5 €.“
(A) 4 · (11 + 5)
(B) 4 + 11 · 5
(C) 4 · 11 + 5
Lösung zeigen
Ergebnis:
A: 4 · (11 + 5)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

174 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
624 km
2 Minuten
16 Minuten
den um 6:51 Uhr
Nein, 11 Pfähle
60 m
Nein, 17 Pfähle
36 €
15:35 Uhr
16:31 Uhr
7 Hühner, 1 Kaninchen
8 Sechsertische
14 Dreiräder
einzeln
einzeln
Ja
11 €
209 €
12 €
B: 3 · 9 + 8
B, 92 €
A, 66 €
6 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
A, 152 Bücher
12 Minuten
Nein, 8 Pfähle
Platz 12
14:51 Uhr
100 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
den um 7:29 Uhr
24 m
16:23 Uhr
4 Sechsertische
0,80 €
11 €
A: 4 · (11 + 5)
8:45 Uhr
4.000 m