Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 60 min = 1 h 0 min
2. 9:45 + 1:00 = 10:45 Uhr
Ergebnis:
10:45 Uhr
●40
Rechne um: 12 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 12 · 100 = 1.200 cm
Ergebnis:
1.200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 422 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 3 €.
2. 23 · 3 € = 69 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●2
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 25 Kinder und 8 € je Karte.
2. 25 · 8 € = 200 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
200 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 95 Minuten. Der Film beginnt um 8:15 Uhr. Wann ist er zu Ende, und welche Angaben brauchst du dafür nicht?
Lösung zeigen
1. 95 Minuten sind 1 Stunde und 35 Minuten.
2. 8:15 Uhr plus 95 Minuten: 9:50 Uhr
3. Nicht gebraucht: Anzahl der Kinder und Preis.
Ergebnis:
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Hanna ist um 6:40 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Hanna auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
Von 6:40 bis 6:53 Uhr sind es 13 Minuten.

Der nächste fährt um 6:53 Uhr.
Von 6:40 bis 6:53 Uhr sind es 13 Minuten.

Ergebnis:

13 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:32 Uhr. Welchen Bus X34 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:32 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:32 Uhr: 6:58, 7:13, 7:28 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:28 Uhr an.
3. Er fährt um 7:11 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:11 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 8:21 Uhr. Welchen Bus M29 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 8:21 Uhr: 7:19, 7:39, 7:59, 8:19 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 8:19 Uhr an.
3. Er fährt um 7:52 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:52 Uhr
★6
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus 100 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:16, 7:31, 7:46 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:46 Uhr an.
3. Er fährt um 7:20 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Tom sagt: „Ein Zaun von 24 m mit einem Pfahl alle 6 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

24 : 6 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.

24 : 6 = 4 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.

Ergebnis:

Nein, 5 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 12 Bäume im Abstand von 5 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
12 Bäume haben 11 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 12 Bäume haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 5 m = 55 m
Ergebnis:
55 m
●8
Ein Zaun ist 30 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 30 : 5 = 6
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 6 + 1 = 7
Ergebnis:
7 Zaunpfähle
★9
Mia sagt: „Ein Zaun von 72 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 24 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 72 : 3 = 24 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 25.
Ergebnis:
Nein, 25 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Mia braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 27 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 15:42 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 16:09 Uhr.
Noch 27 Minuten früher: 15:42 Uhr.

Ergebnis:

15:42 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Emma kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Emma 7 € geschenkt und hat jetzt 9 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 9 € − 7 € = 2 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 9 € − 7 € = 2 €
2. Dann den Kauf: 2 € + 9 € = 11 €
Ergebnis:
11 €
●11
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Aylin braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
2. Noch 19 Minuten früher: 15:32 Uhr.
Ergebnis:
15:32 Uhr
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Paul braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
2. Noch 26 Minuten früher: 16:21 Uhr.
Ergebnis:
16:21 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Jonas 9 Tische und 42 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 3 Sechsertische: 6 · 4 + 3 · 6 = 42

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
6 Vierertische und 3 Sechsertische: 6 · 4 + 3 · 6 = 42

Ergebnis:

6 Vierertische, 3 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Sofia 7 Tische und 30 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30
Ergebnis:
6 Vierertische, 1 Sechsertisch
●14
Im Hof der Kita zählt Zeynep 9 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 4 Fahrräder und 5 Dreiräder: 4 · 2 + 5 · 3 = 23
Ergebnis:
4 Fahrräder, 5 Dreiräder
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 20 Tiere mit 48 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 10 Hühner und 10 Kaninchen ergeben 60 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 16 Hühner und 4 Kaninchen: 16 · 2 + 4 · 4 = 48
Ergebnis:
4 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 12,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 12,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
★18
Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 29 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 116 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 116 € : 29 = 4 €
4 € + 6 € = 10 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 116 € : 29 = 4 €
4 € + 6 € = 10 €

Ergebnis:

10 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 397 €. Der Förderverein gibt 76 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 8 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 397 € + 76 € = 473 €; Kosten: 22 · 8 € = 176 €
3. 473 € − 176 € = 297 €
Ergebnis:
297 €
●20
Die 5c mit 20 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 100 € : 20 = 5 €
3. 5 € + 7 € = 12 €
Ergebnis:
12 €
★21
In der Klassenkasse sind 328 €. Der Förderverein gibt 65 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 6 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 328 € + 65 € = 393 €; Kosten: 21 · 6 € = 126 €
3. 393 € − 126 € = 267 €
Ergebnis:
267 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 3 €.“
(A) 6 · 10 + 3
(B) 6 · (10 + 3)
(C) 6 + 10 · 3

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Passend: 6 · (10 + 3) = 78
Richtig ist B.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Passend: 6 · (10 + 3) = 78
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 6 · (10 + 3)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „8 Kinder kaufen je einen Ball für 7 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(A) 8 + 7 · 6
(B) 8 · 7 + 6
(C) 8 · (7 + 6)
So fängst du an:
Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 8 · 7 + 6 = 62
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 8 · 7 + 6
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (14 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 € und je ein Getränk für 8 €.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 8 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend ist A.
3. 3 · (14 + 8) = 66
Ergebnis:
A, 66 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 10 · 17 + 7? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „10 Kinder kaufen je ein Ticket für 17 € und je ein Getränk für 7 €.“
(B) „10 Kinder kaufen je ein Ticket für 17 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 10-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 10 · 17 + 7 = 177
Ergebnis:
B, 177 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 22 Kinder und 8 € je Karte.
2. 22 · 8 € = 176 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
176 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 21 Kinder. Sie spielen in 5 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Über Tore steht nichts im Text.
2. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Can ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus M29?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:54 bis 6:57 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●28
Milan sagt: „Ein Zaun von 16 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 16 : 4 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Noah an 8. Stelle von vorn und an 4. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 7 Kinder, dann Noah, dahinter 3 Kinder.
2. 7 + 1 + 3 = 11
Ergebnis:
11 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Zeynep braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 16:32 Uhr.
Ergebnis:
16:32 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
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Ergebnis:
144 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:40 Uhr. Welchen Bus M29 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
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Ergebnis:
den um 7:08 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Milan sagt: „Ein Zaun von 33 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
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Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Emma braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Emma spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
15:02 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Mia 10 Fahrzeuge und 27 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
3 Fahrräder, 7 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,10 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?
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Ergebnis:
einzeln
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 274 €. Der Förderverein gibt 64 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 8 € für jedes der 24 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
146 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 15 + 6? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 6 €.“
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Ergebnis:
A, 81 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

69 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
200 €, die Filmdauer brauche ich nicht
9:50 Uhr; Kinderzahl und Preis brauche ich nicht
den um 7:11 Uhr
den um 7:52 Uhr
den um 7:20 Uhr
55 m
7 Zaunpfähle
Nein, 25 Pfähle
11 €
15:32 Uhr
16:21 Uhr
6 Vierertische, 1 Sechsertisch
4 Fahrräder, 5 Dreiräder
4 Kaninchen
0,67 €
einzeln
die Packung
297 €
12 €
267 €
B: 8 · 7 + 6
A, 66 €
B, 177 €
176 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
3 Minuten
Nein, 5 Pfähle
11 Kinder
16:32 Uhr
144 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:08 Uhr
Nein, 12 Pfähle
15:02 Uhr
3 Fahrräder, 7 Dreiräder
einzeln
146 €
A, 81 €
10:45 Uhr
1.200 cm