Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:45 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:45 + 1:30 = 11:15 Uhr
Ergebnis:
11:15 Uhr
●40
Rechne um: 2 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 2 · 100 = 200 cm
Ergebnis:
200 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 8 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 23 Kinder und 5 €.
23 · 5 € = 115 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 23 Kinder und 5 €.
23 · 5 € = 115 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

115 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 7 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
So fängst du an:
Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●2
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 7 € je Karte.
2. 27 · 7 € = 189 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Emma ist um 6:49 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus 100?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Von 6:49 bis 6:56 Uhr sind es 7 Minuten.

Der nächste fährt um 6:56 Uhr.
Von 6:49 bis 6:56 Uhr sind es 7 Minuten.

Ergebnis:

7 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Jonas ist um 6:44 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Jonas auf den nächsten Bus 100?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:57 Uhr.
2. Von 6:44 bis 6:57 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:07 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:07 Uhr sind es 13 Minuten.
Ergebnis:
13 Minuten
★6
Can braucht 9 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:33 Uhr nehmen. Wann muss Can spätestens los, und wann ist Can an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 9 Minuten vor 7:33 Uhr, also 7:24 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:57 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:24 Uhr, an um 7:57 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Paul sagt: „Ein Zaun von 27 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

27 : 3 = 9 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.

27 : 3 = 9 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.

Ergebnis:

Nein, 10 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 9 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
9 Zaunpfähle haben 8 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 9 Zaunpfähle haben 8 Abstände dazwischen.
2. 8 · 4 m = 32 m
Ergebnis:
32 m
●8
Eine Allee ist 24 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
Lösung zeigen
1. Abstände: 24 : 2 = 12
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 12 + 1 = 13
Ergebnis:
13 Bäume
★9
Um ein Beet mit 45 m Umfang werden rundherum alle 3 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 45 : 3 = 15
Ergebnis:
15 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
Noch 32 Minuten früher: 14:49 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:21 Uhr.
Noch 32 Minuten früher: 14:49 Uhr.

Ergebnis:

14:49 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Tom braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 24 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
2. Noch 24 Minuten früher: 15:21 Uhr.
Ergebnis:
15:21 Uhr
●11
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Mia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 16:18 Uhr.
Ergebnis:
16:18 Uhr
★12
Tom verschenkt 5 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Tom noch 5 Karten dazu. Jetzt sind es 47. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 47 − 5 = 42
2. Verdoppeln rückgängig: 42 : 2 = 21
3. Verschenken rückgängig: 21 + 5 = 26
Ergebnis:
26 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Aylin 9 Tiere und 26 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Das passt genau.
5 Hühner und 4 Kaninchen: 5 · 2 + 4 · 4 = 26

Probieren: 5 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 26 Beine.
Das passt genau.
5 Hühner und 4 Kaninchen: 5 · 2 + 4 · 4 = 26

Ergebnis:

5 Hühner, 4 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Zeynep 8 Tische und 36 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Vierertische und 2 Sechsertische: 6 · 4 + 2 · 6 = 36
Ergebnis:
6 Vierertische, 2 Sechsertische
●14
In der Mensa zählt Elias 8 Tische und 42 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 3 Vierertische und 5 Sechsertische: 3 · 4 + 5 · 6 = 42
Ergebnis:
3 Vierertische, 5 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita zählt Paul 17 Fahrzeuge und 45 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 6 Fahrräder und 11 Dreiräder: 6 · 2 + 11 · 3 = 45
Ergebnis:
6 Fahrräder, 11 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Eine Saftflasche kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 10,30 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,30 €
Einzeln ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 2,50 € = 10,00 €
Packung: 10,30 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 6,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 6,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 24,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
2. Packung: 24,40 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 6 Flaschen kostet 7,80 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Flaschen braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 1,20 € = 7,20 €
2. Packung: 7,80 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 417 €. Der Förderverein gibt 120 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 7 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 417 € + 120 € = 537 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
537 € − 175 € = 362 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 417 € + 120 € = 537 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
537 € − 175 € = 362 €

Ergebnis:

362 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 30 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 150 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 150 € : 30 = 5 €
3. 5 € + 9 € = 14 €
Ergebnis:
14 €
●20
Die 5c mit 29 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 232 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 232 € : 29 = 8 €
3. 8 € + 6 € = 14 €
Ergebnis:
14 €
★21
In der Klassenkasse sind 445 €. Der Förderverein gibt 116 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 445 € + 116 € = 561 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
3. 561 € − 175 € = 386 €
Ergebnis:
386 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 12 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.“
(B) „5 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 8 €.“

Schritt für Schritt

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
5 · 12 + 8 = 68

Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
Passend ist A.
5 · 12 + 8 = 68

Ergebnis:

A, 68 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 11 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 11 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.“
(B) „8 Kinder kaufen je ein Heft für 11 € und je eine Mappe für 2 €.“
So fängst du an:
Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist A.
3. 8 · 11 + 2 = 90
Ergebnis:
A, 90 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je ein Ticket für 6 € und je ein Getränk für 8 €.“
(A) 6 · (6 + 8)
(B) 6 · 6 + 8
(C) 6 + 6 · 8
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend: 6 · (6 + 8) = 84
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A: 6 · (6 + 8)
★24
Erfinde zu 7 · 13 + 9 eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. „7 Kinder kaufen je ein Ticket für 13 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.“
3. 7 · 13 + 9 = 100
Ergebnis:
100 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 6 €.
2. 24 · 6 € = 144 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
144 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
Ein Regal hat 6 Böden mit je 19 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viel kostet ein Buch? B: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 6 · 19 = 114.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 114 Bücher
●27
Can ist um 6:46 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Can auf den nächsten Bus X34?
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 6:49 Uhr.
2. Von 6:46 bis 6:49 Uhr sind es 3 Minuten.
Ergebnis:
3 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 2 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
2. 7 · 2 m = 14 m
Ergebnis:
14 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Paul an 14. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 13 Kinder, dann Paul, dahinter 4 Kinder.
2. 13 + 1 + 4 = 18
Ergebnis:
18 Kinder
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 12 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 12 Minuten früher ist 16:48 Uhr.
2. Noch 20 Minuten früher: 16:28 Uhr.
Ergebnis:
16:28 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus 248 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:24 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Ein Weg ist 30 m lang. Alle 6 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Laternen
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Emma kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Emma 5 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
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Ergebnis:
17 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 10 Tische mit 56 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 Sechsertische
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 448 €. Der Förderverein gibt 97 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 4 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
465 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 7 €.“
(A) 6 + 14 · 7
(B) 6 · 14 + 7
(C) 6 · (14 + 7)
Lösung zeigen
Ergebnis:
C: 6 · (14 + 7)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

Der Preis für Erwachsene fehlt
189 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Beginn des Films fehlt
13 Minuten
13 Minuten
los um 7:24 Uhr, an um 7:57 Uhr
32 m
13 Bäume
15 Pfähle
15:21 Uhr
16:18 Uhr
26 Karten
6 Vierertische, 2 Sechsertische
3 Vierertische, 5 Sechsertische
6 Fahrräder, 11 Dreiräder
einzeln
die Packung
einzeln
14 €
14 €
386 €
A, 90 €
A: 6 · (6 + 8)
100 €
144 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
C, 114 Bücher
3 Minuten
14 m
18 Kinder
16:28 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:24 Uhr
6 Laternen
17 €
8 Sechsertische
0,67 €
465 €
C: 6 · (14 + 7)
11:15 Uhr
200 cm