Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 7:30 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 90 min = 1 h 30 min
    2. 7:30 + 1:30 = 9:00 Uhr
    Ergebnis:
    9:00 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 6 kg in g.
    Lösung zeigen
    1. 1 kg = 1.000 g
    2. 6 · 1.000 = 6.000 g
    Ergebnis:
    6.000 g

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
28 Kindern4 €95 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 95 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 20 Tore geschossen. Zum Finale kamen 159 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele20 Tore159 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 35 Tore geschossen. Zum Finale kamen 396 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    7 Spiele35 Tore396 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    22 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    22 Kinder2 Lehrkräfte15 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:447:097:047:297:247:497:448:09
Schritt für Schritt
  1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:09 Uhr.
  2. Von 6:44 bis 7:09 Uhr sind es 25 Minuten.
  1. Zum Beispiel: ab 6:44 Uhr, an 7:09 Uhr.
  2. Von 6:44 bis 7:09 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:34 Uhr. Welchen Bus M29 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:067:027:267:227:467:428:06
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:06, 7:26 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:06, 7:26 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:02 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:02 Uhr
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:547:147:097:297:247:447:397:59
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:14 Uhr.
    2. Von 6:54 bis 7:14 Uhr sind es 20 Minuten.
    Ergebnis:
    20 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:52 Uhr. Welchen Bus 100 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:517:177:017:277:117:377:217:47
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:52 Uhr: 7:17, 7:27, 7:37, 7:47 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:47 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:21 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:21 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Eine Allee ist 14 m lang. Alle 2 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
2 m2 m2 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 14 : 2 = 7
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 7 + 1 = 8
  1. Abstände: 14 : 2 = 7
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Bäume

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Eine Allee ist 40 m lang. Alle 5 m steht ein Baum, auch an beiden Enden. Wie viele Bäume sind es?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    Abstände: 40 : 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 40 : 5 = 8
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Bäume
  2. ●8
    Ein Zaun ist 24 m lang. Alle 3 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 24 : 3 = 8
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 8 + 1 = 9
    Ergebnis:
    9 Zaunpfähle
  3. ★9
    Paul sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 5 m braucht 20 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. 100 : 5 = 20 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 21.
    Ergebnis:
    Nein, 21 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Ben kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Ben 5 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Ben am Anfang?
?− 12 €+ 5 €28 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
  2. Dann den Kauf: 23 € + 12 € = 35 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
  2. Dann den Kauf: 23 € + 12 € = 35 €
Ergebnis:
35 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Elias kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Elias 11 € geschenkt und hat jetzt 14 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
    ?− 15 €+ 11 €14 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 11 € = 3 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 14 € − 11 € = 3 €
    2. Dann den Kauf: 3 € + 15 € = 18 €
    Ergebnis:
    18 €
  2. ●11
    Sofia kauft ein Buch für 9 €. Danach bekommt Sofia 12 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
    ?− 9 €+ 12 €27 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 12 € = 15 €
    2. Dann den Kauf: 15 € + 9 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €
  3. ★12
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Aylin braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Aylin spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
    2. Noch 29 Minuten früher: 16:24 Uhr.
    Ergebnis:
    16:24 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 18 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
  1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
  2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
  3. 7 Hühner und 1 Kaninchen: 7 · 2 + 1 · 4 = 18
Ergebnis:
1 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 52 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52
    Ergebnis:
    8 Sechsertische
  2. ●14
    Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 34 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 3 Hühner und 7 Kaninchen: 3 · 2 + 7 · 4 = 34
    Ergebnis:
    7 Kaninchen
  3. ★15
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 12 Tische mit 52 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 6 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 60 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 10 Vierertische und 2 Sechsertische: 10 · 4 + 2 · 6 = 52
    Ergebnis:
    2 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
einzeln1 Tennisball1,80 €Packung10 Bällen18,60 €
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
  2. Packung: 18,60 €
  3. Einzeln ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
  2. Packung: 18,60 €
  3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 4,20 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,20 €Packung4 Bällen4,20 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 1,20 € = 4,80 €
    2. Packung: 4,20 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 135 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
27 Kindern135 €7 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 135 € : 27 = 5 €
  3. 5 € + 7 € = 12 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 135 € : 27 = 5 €
  3. 5 € + 7 € = 12 €
Ergebnis:
12 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 24 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 96 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    24 Kindern96 €4 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 96 € : 24 = 4 €
    3. 4 € + 4 € = 8 €
    Ergebnis:
    8 €
  2. ●20
    Die 5c mit 21 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 168 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    21 Kindern168 €6 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 168 € : 21 = 8 €
    3. 8 € + 6 € = 14 €
    Ergebnis:
    14 €
  3. ★21
    Die 5c mit 26 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 234 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    26 Kindern234 €7 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 234 € : 26 = 9 €
    3. 9 € + 7 € = 16 €
    Ergebnis:
    16 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 11 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 € und je ein Getränk für 5 €.“
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 3 · 11 + 5 = 38
  1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 3 · 11 + 5 = 38
Ergebnis:
A, 38 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 6 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 6 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.“
    (B) „7 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 5 €.“
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 7 · 6 + 5 = 47
    Ergebnis:
    A, 47 €
  2. ●23
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (10 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 2 €.“
    (B) „4 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.“
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend ist A.
    3. 4 · (10 + 2) = 48
    Ergebnis:
    A, 48 €
  3. ★24
    Erfinde zu 6 · (17 + 3) eine passende Rechengeschichte und rechne sie aus. Prüfe: Was wird wie oft gekauft?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
    2. „6 Kinder kaufen je einen Ball für 17 € und je eine Pumpe für 3 €.“
    3. 6 · (17 + 3) = 120
    Ergebnis:
    120 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    23 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 12 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    23 Kinder3 Lehrkräfte12 km6 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 3.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  2. ●26
    In der Klasse sind 20 Kinder. Sie spielen in 4 Teams. Wie viele Tore fallen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    20 Kinder4 Teams
    Lösung zeigen
    1. Über Tore steht nichts im Text.
    2. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Ein Zaun ist 50 m lang. Alle 5 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    5 m5 m5 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 50 : 5 = 10
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 10 + 1 = 11
    Ergebnis:
    11 Zaunpfähle
  4. ●28
    Im Kino sitzt Paul auf Platz 7 von links. Zwischen Paul und Aylin sitzen 5 Kinder, Aylin sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Aylin?
    75 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Skizze: Platz 7 ist Paul, dann 5 Plätze dazwischen.
    2. 7 + 5 + 1 = 13
    Ergebnis:
    Platz 13
  5. ●29
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 18 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:54 Uhr.
    2. Noch 18 Minuten früher: 15:36 Uhr.
    Ergebnis:
    15:36 Uhr
  6. ●30
    Im Hof der Kita zählt Emma 7 Fahrzeuge und 18 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
    2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
    3. 3 Fahrräder und 4 Dreiräder: 3 · 2 + 4 · 3 = 18
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 4 Dreiräder

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    23 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 10 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    23 Kinder2 Lehrkräfte10 km6 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    138 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus 100 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:467:137:017:287:167:437:317:58
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:31 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 120 m lang. Alle 10 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    10 m10 m10 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Milan kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Milan 7 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
    ?− 12 €+ 7 €15 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Auf einem Hof zählt Ben 10 Tiere und 32 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Hühner, 6 Kaninchen

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 12,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,20 €Packung10 Bällen12,30 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 25 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 125 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    25 Kindern125 €5 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 7 € und je eine Pumpe für 3 €.“
    (A) 7 · (7 + 3)
    (B) 7 + 7 · 3
    (C) 7 · 7 + 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A: 7 · (7 + 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. Der Preis für Erwachsene fehlt
  4. den um 7:02 Uhr
  5. 20 Minuten
  6. den um 7:21 Uhr
  7. 9 Bäume
  8. 9 Zaunpfähle
  9. Nein, 21 Pfähle
  10. 18 €
  11. 24 €
  12. 16:24 Uhr
  13. 8 Sechsertische
  14. 7 Kaninchen
  15. 2 Sechsertische
  16. 1,33 €
  17. 0,67 €
  18. die Packung
  19. 8 €
  20. 14 €
  21. 16 €
  22. A, 47 €
  23. A, 48 €
  24. 120 €
  25. Der Preis für Erwachsene fehlt
  26. nicht lösbar
  27. 11 Zaunpfähle
  28. Platz 13
  29. 15:36 Uhr
  30. 3 Fahrräder, 4 Dreiräder
  31. 138 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. den um 7:31 Uhr
  33. 13 Laternen
  34. 20 €
  35. 4 Hühner, 6 Kaninchen
  36. einzeln
  37. 10 €
  38. A: 7 · (7 + 3)
  39. 9:00 Uhr
  40. 6.000 g