Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere Zahlen Üben Basiswissen Alle Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 10:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 10:00 + 1:30 = 11:30 Uhr
Ergebnis:
11:30 Uhr
●40
Rechne um: 15 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 15 · 100 = 1.500 ct
Ergebnis:
1.500 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 24 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 24 Kinder und 7 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 7 € je Karte.
2. 24 · 7 € = 168 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
29 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
★3
Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 23 Kinder und 5 € je Karte.
2. 23 · 5 € = 115 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
115 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.

Schritt für Schritt

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:14 Uhr.
Von 6:52 bis 7:14 Uhr sind es 22 Minuten.

Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:14 Uhr.
Von 6:52 bis 7:14 Uhr sind es 22 Minuten.

Ergebnis:

22 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:44 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:44 Uhr: 7:05, 7:20, 7:35 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:35 Uhr an.
3. Er fährt um 7:08 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:08 Uhr
●5
Der Unterricht beginnt um 7:54 Uhr. Welchen Bus 100 muss Elias spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:54 Uhr: 7:18, 7:28, 7:38, 7:48 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
3. Er fährt um 7:20 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:20 Uhr
★6
Tom braucht 12 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:12 Uhr nehmen. Wann muss Tom spätestens los, und wann ist Tom an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 12 Minuten vor 7:12 Uhr, also 7:00 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:30 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:00 Uhr, an um 7:30 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 9 Bäume im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
8 · 5 m = 40 m

9 Bäume haben 8 Abstände dazwischen.
8 · 5 m = 40 m

Ergebnis:

40 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Lina sagt: „48 m Zaun mit einem Pfahl alle 4 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das?
So fängst du an:
48 : 4 = 12 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 48 : 4 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 6 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 6 m = 36 m
Ergebnis:
36 m
★9
Entlang eines Weges stehen 17 Bäume im Abstand von 3 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 17 Bäume haben 16 Abstände dazwischen.
2. 16 · 3 m = 48 m
Ergebnis:
48 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 11 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?

Schritt für Schritt

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
Noch 35 Minuten früher: 14:44 Uhr.

Rückwärts vom Beginn: 11 Minuten früher ist 15:19 Uhr.
Noch 35 Minuten früher: 14:44 Uhr.

Ergebnis:

14:44 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Zeynep braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Zeynep spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 15:23 Uhr.
Ergebnis:
15:23 Uhr
●11
Elias kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Elias 7 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Elias am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 7 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 8 € = 17 €
Ergebnis:
17 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Ben braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Ben spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 16:55 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 16:26 Uhr.
Ergebnis:
16:26 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Lina 6 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 4 Dreiräder: 2 · 2 + 4 · 3 = 16

Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
2 Fahrräder und 4 Dreiräder: 2 · 2 + 4 · 3 = 16

Ergebnis:

2 Fahrräder, 4 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa zählt Mia 7 Tische und 40 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 1 Vierertisch und 6 Sechsertische: 1 · 4 + 6 · 6 = 40
Ergebnis:
1 Vierertisch, 6 Sechsertische
●14
Im Hof der Kita zählt Milan 7 Fahrzeuge und 20 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 6 Dreiräder: 1 · 2 + 6 · 3 = 20
Ergebnis:
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 17 Tiere mit 36 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 50 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 16 Hühner und 1 Kaninchen: 16 · 2 + 1 · 4 = 36
Ergebnis:
1 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €

Ergebnis:

0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 9,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 0,90 € = 9,00 €
2. Packung: 9,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 4 Riegeln kostet 2,60 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 0,90 € = 3,60 €
2. Packung: 2,60 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Ein Bleistift kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 18,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,30 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 293 €. Der Förderverein gibt 75 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 5 € für jedes der 29 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 293 € + 75 € = 368 €; Kosten: 29 · 5 € = 145 €
368 € − 145 € = 223 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 293 € + 75 € = 368 €; Kosten: 29 · 5 € = 145 €
368 € − 145 € = 223 €

Ergebnis:

223 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 314 €. Der Förderverein gibt 48 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 4 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 314 € + 48 € = 362 €; Kosten: 26 · 4 € = 104 €
3. 362 € − 104 € = 258 €
Ergebnis:
258 €
●20
In der Klassenkasse sind 470 €. Der Förderverein gibt 59 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 4 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 470 € + 59 € = 529 €; Kosten: 27 · 4 € = 108 €
3. 529 € − 108 € = 421 €
Ergebnis:
421 €
★21
Aylin läuft an 5 Tagen in der Woche je 8 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 8 · 400 m = 3200 m; eine Woche: 5 · 3200 m = 16.000 m
3. 4 Wochen: 64.000 m = 64 km
Ergebnis:
64 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte?
7 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 5 €.
(A) 7 · 8 + 5
(B) 7 + 8 · 5
(C) 7 · (8 + 5)

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (8 + 5) = 91
Richtig ist C.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (8 + 5) = 91
Richtig ist C.

Ergebnis:

C: 7 · (8 + 5)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · (12 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.
(B) 8 Kinder kaufen je einen Ball für 12 € und je eine Pumpe für 7 €.
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
2. Passend ist B.
3. 8 · (12 + 7) = 152
Ergebnis:
B, 152 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 12 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 8 Kinder kaufen je ein Heft für 12 € und je eine Mappe für 4 €.
(B) 8 Kinder kaufen je ein Heft für 12 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 8 · 12 + 4 = 100
Ergebnis:
B, 100 €
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 17 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 3 Kinder kaufen je einen Ball für 17 € und je eine Pumpe für 9 €.
(B) 3 Kinder kaufen je einen Ball für 17 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend ist B.
3. 3 · 17 + 9 = 60
Ergebnis:
B, 60 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
24 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 6 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 24 Kinder und 5 €.
2. 24 · 5 € = 120 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
●26
In der Klasse sind 22 Kinder. Sie spielen in 4 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. 22 : 4 = 5 Rest 2
2. 2 Kinder pfeifen.
Ergebnis:
lösbar, 2
●27
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:39 Uhr, an 6:55 Uhr.
2. Von 6:39 bis 6:55 Uhr sind es 16 Minuten.
Ergebnis:
16 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Sofia sagt: „25 m Zaun mit einem Pfahl alle 5 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 3 von links. Zwischen Zeynep und Milan sitzen 3 Kinder, Milan sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Milan?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 3 ist Zeynep, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 3 + 3 + 1 = 7
Ergebnis:
Platz 7
●30
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
2. Noch 32 Minuten früher: 14:45 Uhr.
Ergebnis:
14:45 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 400 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
Ergebnis:
26 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Elias sagt: „16 m Zaun mit einem Pfahl alle 4 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Can kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Can 10 € geschenkt und hat jetzt 35 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
35 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita zählt Aylin 10 Fahrzeuge und 24 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Fahrräder, 4 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,33 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 314 €. Der Förderverein gibt 91 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 6 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
Ergebnis:
279 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte?
4 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 € und je ein Getränk für 5 €.
(A) 4 · (9 + 5)
(B) 4 · 9 + 5
(C) 4 + 9 · 5
Lösung zeigen
Ergebnis:
A: 4 · (9 + 5)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

168 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Der Preis für Erwachsene fehlt
115 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:08 Uhr
den um 7:20 Uhr
los um 7:00 Uhr, an um 7:30 Uhr
Nein, 13 Pfähle
36 m
48 m
15:23 Uhr
17 €
16:26 Uhr
1 Vierertisch, 6 Sechsertische
1 Fahrrad, 6 Dreiräder
1 Kaninchen
einzeln
die Packung
einzeln
258 €
421 €
64 km
B, 152 €
B, 100 €
B, 60 €
120 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
lösbar, 2
16 Minuten
Nein, 6 Pfähle
Platz 7
14:45 Uhr
Die Tore im Finale fehlen
26 Minuten
Nein, 5 Pfähle
35 €
6 Fahrräder, 4 Dreiräder
1,33 €
279 €
A: 4 · (9 + 5)
11:30 Uhr
1.500 ct