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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 45 min = 0 h 45 min
    2. 8:45 + 0:45 = 9:30 Uhr
    Ergebnis:
    9:30 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 6 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 6 · 1.000 = 6.000 m
    Ergebnis:
    6.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
29 Kindern6 €120 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 270 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    6 Spiele26 Tore270 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    30 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 11 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
    30 Kinder2 Lehrkräfte11 km5 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
    2. Die Anzahl ist da: 2.
    3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
    Ergebnis:
    Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. ★3
    Die 5b fährt mit 25 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    25 Kindern6 €95 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 25 Kinder und 6 € je Karte.
    2. 25 · 6 € = 150 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    150 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Milan ist um 7:04 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Milan auf den nächsten Bus X34?
Bus X34Hauptstraße abSchule an6:547:077:147:277:347:477:548:07
Schritt für Schritt
  1. Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
  2. Von 7:04 bis 7:14 Uhr sind es 10 Minuten.
  1. Der nächste fährt um 7:14 Uhr.
  2. Von 7:04 bis 7:14 Uhr sind es 10 Minuten.
Ergebnis:
10 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:507:077:107:277:307:477:508:07
    So fängst du an:
    Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:07 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:50 Uhr, an 7:07 Uhr.
    2. Von 6:50 bis 7:07 Uhr sind es 17 Minuten.
    Ergebnis:
    17 Minuten
  2. ●5
    Elias ist um 7:08 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Elias auf den nächsten Bus X34?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:557:087:107:237:257:387:407:53
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:10 Uhr.
    2. Von 7:08 bis 7:10 Uhr sind es 2 Minuten.
    Ergebnis:
    2 Minuten
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:12 Uhr. Welchen Bus X34 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus X34Hauptstraße abSchule an6:386:506:487:006:587:107:087:20
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:12 Uhr: 6:50, 7:00, 7:10 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:10 Uhr an.
    3. Er fährt um 6:58 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 6:58 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 6 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
6 m6 m6 m…?
Schritt für Schritt
  1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
  2. 7 · 6 m = 42 m
  1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
  2. 7 · 6 m = 42 m
Ergebnis:
42 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Entlang eines Weges stehen 6 Bäume im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    5 m5 m5 m…?
    So fängst du an:
    6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    Lösung zeigen
    1. 6 Bäume haben 5 Abstände dazwischen.
    2. 5 · 5 m = 25 m
    Ergebnis:
    25 m
  2. ●8
    Entlang eines Weges stehen 13 Laternen im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 13 Laternen haben 12 Abstände dazwischen.
    2. 12 · 2 m = 24 m
    Ergebnis:
    24 m
  3. ★9
    Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 3 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
    2. 8 · 3 m = 24 m
    Ergebnis:
    24 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?16:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
  2. Noch 20 Minuten früher: 15:25 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:45 Uhr.
  2. Noch 20 Minuten früher: 15:25 Uhr.
Ergebnis:
15:25 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lina braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    So fängst du an:
    Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
    2. Noch 22 Minuten früher: 15:33 Uhr.
    Ergebnis:
    15:33 Uhr
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 8 Minuten zum Umziehen und davor 35 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 8 Minuten früher ist 15:52 Uhr.
    2. Noch 35 Minuten früher: 15:17 Uhr.
    Ergebnis:
    15:17 Uhr
  3. ★12
    Paul verschenkt 5 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Paul noch 10 Karten dazu. Jetzt sind es 58. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 58 − 10 = 48
    2. Verdoppeln rückgängig: 48 : 2 = 24
    3. Verschenken rückgängig: 24 + 5 = 29
    Ergebnis:
    29 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Aylin 8 Tische und 46 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Vierertische0123…Plätze????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 7 Sechsertische: 1 · 4 + 7 · 6 = 46
  1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 7 Sechsertische: 1 · 4 + 7 · 6 = 46
Ergebnis:
1 Vierertisch, 7 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 32 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 5 Vierertische und 2 Sechsertische: 5 · 4 + 2 · 6 = 32
    Ergebnis:
    2 Sechsertische
  2. ●14
    In der Mensa zählt Lea 10 Tische und 58 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 1 Vierertisch und 9 Sechsertische: 1 · 4 + 9 · 6 = 58
    Ergebnis:
    1 Vierertisch, 9 Sechsertische
  3. ★15
    In der Mensa zählt Lea 10 Tische und 54 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 5 Vierertische und 5 Sechsertische ergeben 50 Plätze.
    2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 3 Vierertische und 7 Sechsertische: 3 · 4 + 7 · 6 = 54
    Ergebnis:
    3 Vierertische, 7 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 11,00 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
einzeln1 Tennisball1,20 €Packung10 Bällen11,00 €
Schritt für Schritt
  1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
  2. Packung: 11,00 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
  2. Packung: 11,00 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,50 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
    2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,67 €
  2. ●17
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 25,30 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel2,50 €Packung10 Riegeln25,30 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
    2. Packung: 25,30 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Bällen kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung10 Bällen15,60 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 400 €. Der Förderverein gibt 108 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 6 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
400 €108 €6 €28 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 400 € + 108 € = 508 €; Kosten: 28 · 6 € = 168 €
  3. 508 € − 168 € = 340 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 400 € + 108 € = 508 €; Kosten: 28 · 6 € = 168 €
  3. 508 € − 168 € = 340 €
Ergebnis:
340 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 252 €. Der Förderverein gibt 113 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 8 € für jedes der 28 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    252 €113 €8 €28 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 252 € + 113 € = 365 €; Kosten: 28 · 8 € = 224 €
    3. 365 € − 224 € = 141 €
    Ergebnis:
    141 €
  2. ●20
    Die 5c mit 30 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 180 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    30 Kindern180 €5 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 180 € : 30 = 6 €
    3. 6 € + 5 € = 11 €
    Ergebnis:
    11 €
  3. ★21
    Sofia läuft an 4 Tagen in der Woche je 3 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    4 Tagen3 Runden3004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 3 · 300 m = 900 m; eine Woche: 4 · 900 m = 3600 m
    3. 4 Wochen: 14.400 m = 14,4 km
    Ergebnis:
    14,4 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 9 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 7 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.
(B) 7 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 4 €.
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 7 · 9 + 4 = 67
  1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 7 · 9 + 4 = 67
Ergebnis:
A, 67 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · 12 + 4? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 4 €.
    (B) 3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 4 € für alle.
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist B.
    3. 3 · 12 + 4 = 40
    Ergebnis:
    B, 40 €
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte?
    5 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 2 €.
    (A) 5 + 7 · 2
    (B) 5 · (7 + 2)
    (C) 5 · 7 + 2
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
    2. Passend: 5 · (7 + 2) = 45
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 5 · (7 + 2)
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (25 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 7 Kinder kaufen je einen Ball für 25 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.
    (B) 7 Kinder kaufen je einen Ball für 25 € und je eine Pumpe für 7 €.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
    2. Passend ist B.
    3. 7 · (25 + 7) = 224
    Ergebnis:
    B, 224 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    27 Kinder3 Lehrkräfte9 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 27 Kinder und 7 €.
    2. 27 · 7 € = 189 €
    3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
    Ergebnis:
    189 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  2. ●26
    In der Klasse sind 29 Kinder. Sie spielen in 5 gleich großen Teams, wer übrig bleibt, pfeift. Wie viele Kinder pfeifen? Ist die Frage lösbar? Löse sie, wenn es geht.
    29 Kinder5
    Lösung zeigen
    1. 29 : 5 = 5 Rest 4
    2. 4 Kinder pfeifen.
    Ergebnis:
    lösbar, 4
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:427:106:527:207:027:307:127:40
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:49 Uhr: 7:10, 7:20, 7:30, 7:40 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:40 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:12 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:12 Uhr
  4. ●28
    Ein Zaun ist 14 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. Abstände: 14 : 2 = 7
    2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
    3. 7 + 1 = 8
    Ergebnis:
    8 Zaunpfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Emma an 12. Stelle von vorn und an 10. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1210
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 11 Kinder, dann Emma, dahinter 9 Kinder.
    2. 11 + 1 + 9 = 21
    Ergebnis:
    21 Kinder
  6. ●30
    Zeynep kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Zeynep 8 € geschenkt und hat jetzt 19 €. Wie viel Geld hatte Zeynep am Anfang?
    ?− 15 €+ 8 €19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 19 € − 8 € = 11 €
    2. Dann den Kauf: 11 € + 15 € = 26 €
    Ergebnis:
    26 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 9 Spiele gemacht und 31 Tore geschossen. Zum Finale kamen 178 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    9 Spiele31 Tore178 Zuschauer
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:487:027:037:177:187:327:337:47
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Weg ist 8 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Laternen

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Noah kauft ein Buch für 6 €. Danach bekommt Noah 3 € geschenkt und hat jetzt 15 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
    ?− 6 €+ 3 €15 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 €

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    In der Mensa zählt Tom 6 Tische und 32 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Vierertische0123…Plätze????
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Vierertische, 4 Sechsertische

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,80 €

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 23 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 138 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern138 €7 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · 14 + 8? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 7 Kinder kaufen je einen Ball für 14 €. Dazu kommt eine Pumpe für 8 € für alle.
    (B) 7 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 8 €.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A, 106 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. Der Preis für Erwachsene fehlt
  3. 150 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  4. 17 Minuten
  5. 2 Minuten
  6. den um 6:58 Uhr
  7. 25 m
  8. 24 m
  9. 24 m
  10. 15:33 Uhr
  11. 15:17 Uhr
  12. 29 Karten
  13. 2 Sechsertische
  14. 1 Vierertisch, 9 Sechsertische
  15. 3 Vierertische, 7 Sechsertische
  16. 1,67 €
  17. einzeln
  18. einzeln
  19. 141 €
  20. 11 €
  21. 14,4 km
  22. B, 40 €
  23. B: 5 · (7 + 2)
  24. B, 224 €
  25. 189 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  26. lösbar, 4
  27. den um 7:12 Uhr
  28. 8 Zaunpfähle
  29. 21 Kinder
  30. 26 €
  31. Die Tore im Finale fehlen
  32. 14 Minuten
  33. 5 Laternen
  34. 18 €
  35. 2 Vierertische, 4 Sechsertische
  36. 0,80 €
  37. 13 €
  38. A, 106 €
  39. 9:30 Uhr
  40. 6.000 m