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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 8:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 8:45 + 1:00 = 9:45 Uhr
    Ergebnis:
    9:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 15 cm in mm.
    Lösung zeigen
    1. 1 cm = 10 mm
    2. 15 · 10 = 150 mm
    Ergebnis:
    150 mm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 9 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
25 Kinder3 Lehrkräfte9 km3 €
Schritt für Schritt
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 3.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
  1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
  2. Die Anzahl ist da: 3.
  3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 21 Tore geschossen. Zum Finale kamen 352 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    12 Spiele21 Tore352 Zuschauer
    So fängst du an:
    Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  2. ●2
    Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 8 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    26 Kindern8 €105 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 26 Kinder und 8 € je Karte.
    2. 26 · 8 € = 208 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. ★3
    27 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 7 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
    27 Kinder2 Lehrkräfte15 km7 €
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 15 km = 30 km.
    2. 27 Kinder: 27 · 30 km = 810 km
    3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
    Ergebnis:
    810 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:45 Uhr. Welchen Bus 248 muss Ben spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:386:576:587:177:187:377:387:57
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 6:57, 7:17, 7:37 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 7:45 Uhr: 6:57, 7:17, 7:37 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:37 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:18 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:18 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus 100 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:446:576:547:077:047:177:147:27
    So fängst du an:
    Ankunft vor 7:24 Uhr: 6:57, 7:07, 7:17 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:24 Uhr: 6:57, 7:07, 7:17 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:17 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:04 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:04 Uhr
  2. ●5
    Der Unterricht beginnt um 7:14 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:437:016:537:117:037:217:137:31
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:14 Uhr: 7:01, 7:11 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:11 Uhr an.
    3. Er fährt um 6:53 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 6:53 Uhr
  3. ★6
    Der Unterricht beginnt um 7:24 Uhr. Welchen Bus M29 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:447:076:597:227:147:377:297:52
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 7:24 Uhr: 7:07, 7:22 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 7:22 Uhr an.
    3. Er fährt um 6:59 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 6:59 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 8 Laternen im Abstand von 10 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
10 m10 m10 m…?
Schritt für Schritt
  1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
  2. 7 · 10 m = 70 m
  1. 8 Laternen haben 7 Abstände dazwischen.
  2. 7 · 10 m = 70 m
Ergebnis:
70 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Aylin sagt: „18 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 6 Pfähle.“ Stimmt das?
    3 m3 m3 m…?
    So fängst du an:
    18 : 3 = 6 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 18 : 3 = 6 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 7.
    Ergebnis:
    Nein, 7 Pfähle
  2. ●8
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Hanna sagt: „42 m Zaun mit einem Pfahl alle 6 m braucht 7 Pfähle.“ Stimmt das?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    1. 42 : 6 = 7 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 8.
    Ergebnis:
    Nein, 8 Pfähle
  3. ★9
    Um ein Beet mit 50 m Umfang werden rundherum alle 5 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 50 : 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Paul kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Paul 4 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?
?− 15 €+ 4 €20 €
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 4 € = 16 €
  2. Dann den Kauf: 16 € + 15 € = 31 €
  1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 4 € = 16 €
  2. Dann den Kauf: 16 € + 15 € = 31 €
Ergebnis:
31 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Jonas kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Jonas 4 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Jonas am Anfang?
    ?− 5 €+ 4 €23 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 4 € = 19 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 4 € = 19 €
    2. Dann den Kauf: 19 € + 5 € = 24 €
    Ergebnis:
    24 €
  2. ●11
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Can braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 32 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 15:17 Uhr.
    2. Noch 32 Minuten früher: 14:45 Uhr.
    Ergebnis:
    14:45 Uhr
  3. ★12
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Elias braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 19 Minuten für den Weg. Wann muss Elias spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:25 Uhr.
    2. Noch 19 Minuten früher: 15:06 Uhr.
    Ergebnis:
    15:06 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Auf einem Hof zählt Lea 7 Tiere und 20 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Kaninchen0123…Beine????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Das passt genau.
  3. 4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20
  1. Probieren: 4 Hühner und 3 Kaninchen ergeben 20 Beine.
  2. Das passt genau.
  3. 4 Hühner und 3 Kaninchen: 4 · 2 + 3 · 4 = 20
Ergebnis:
4 Hühner, 3 Kaninchen

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Noah 8 Fahrzeuge und 19 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 5 Fahrräder und 3 Dreiräder: 5 · 2 + 3 · 3 = 19
    Ergebnis:
    5 Fahrräder, 3 Dreiräder
  2. ●14
    Auf einem Hof zählt Zeynep 5 Tiere und 16 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Hühner und 2 Kaninchen ergeben 14 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 3 Kaninchen: 2 · 2 + 3 · 4 = 16
    Ergebnis:
    2 Hühner, 3 Kaninchen
  3. ★15
    Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 17 Fahrzeuge mit 36 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 15 Fahrräder und 2 Dreiräder: 15 · 2 + 2 · 3 = 36
    Ergebnis:
    2 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
Schritt für Schritt
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
  2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
  1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
  2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
Ergebnis:
0,80 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück2,00 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    2. Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    1,33 €
  2. ●17
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €
  3. ★18
    Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bällen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bälle braucht?
    einzeln1 Tennisball1,50 €Packung4 Bällen5,70 €
    Lösung zeigen
    1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
    2. Packung: 5,70 €
    3. Die Packung ist günstiger.
    Ergebnis:
    die Packung

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 28 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 168 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
28 Kindern168 €8 €
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 168 € : 28 = 6 €
  3. 6 € + 8 € = 14 €
  1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
  2. Bus je Kind: 168 € : 28 = 6 €
  3. 6 € + 8 € = 14 €
Ergebnis:
14 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    In der Klassenkasse sind 287 €. Der Förderverein gibt 99 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 5 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    287 €99 €5 €20 Kinder
    So fängst du an:
    Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 287 € + 99 € = 386 €; Kosten: 20 · 5 € = 100 €
    3. 386 € − 100 € = 286 €
    Ergebnis:
    286 €
  2. ●20
    In der Klassenkasse sind 345 €. Der Förderverein gibt 110 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
    345 €110 €5 €21 Kinder
    Lösung zeigen
    1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
    2. Geld: 345 € + 110 € = 455 €; Kosten: 21 · 5 € = 105 €
    3. 455 € − 105 € = 350 €
    Ergebnis:
    350 €
  3. ★21
    Mia läuft an 5 Tagen in der Woche je 7 Runden auf der 250-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    5 Tagen7 Runden2504 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 7 · 250 m = 1750 m; eine Woche: 5 · 1750 m = 8750 m
    3. 4 Wochen: 35.000 m = 35 km
    Ergebnis:
    35 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 8 · 10 + 9? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 8 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.
(B) 8 Kinder kaufen je ein Ticket für 10 € und je ein Getränk für 9 €.
Schritt für Schritt
  1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 8 · 10 + 9 = 89
  1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
  2. Passend ist A.
  3. 8 · 10 + 9 = 89
Ergebnis:
A, 89 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte?
    8 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 7 € für alle.
    (A) 8 · (7 + 7)
    (B) 8 + 7 · 7
    (C) 8 · 7 + 7
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 8 · 7 + 7 = 63
    3. Richtig ist C.
    Ergebnis:
    C: 8 · 7 + 7
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte?
    8 Kinder kaufen je ein Heft für 8 € und je eine Mappe für 8 €.
    (A) 8 · (8 + 8)
    (B) 8 + 8 · 8
    (C) 8 · 8 + 8
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
    2. Passend: 8 · (8 + 8) = 128
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 8 · (8 + 8)
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (15 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 4 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 € und je ein Getränk für 7 €.
    (B) 4 Kinder kaufen je ein Ticket für 15 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.
    Lösung zeigen
    1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
    2. Passend ist A.
    3. 4 · (15 + 7) = 88
    Ergebnis:
    A, 88 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 30 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    30 Kindern4 €120 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 30 Kinder und 4 € je Karte.
    2. 30 · 4 € = 120 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    120 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Ein Regal hat 6 Böden mit je 29 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viele Bücher stehen im Regal? C: Wie viel kostet ein Buch?
    6 Böden29 Büchern
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
    2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 6 · 29 = 174.
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B, 174 Bücher
  3. ●27
    Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus M29Hauptstraße abSchule an6:527:047:127:247:327:447:528:04
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:52 Uhr, an 7:04 Uhr.
    2. Von 6:52 bis 7:04 Uhr sind es 12 Minuten.
    Ergebnis:
    12 Minuten
  4. ●28
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Lina sagt: „27 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 9 Pfähle.“ Stimmt das?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 27 : 3 = 9 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 10.
    Ergebnis:
    Nein, 10 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Milan an 11. Stelle von vorn und an 8. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    118
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 10 Kinder, dann Milan, dahinter 7 Kinder.
    2. 10 + 1 + 7 = 18
    Ergebnis:
    18 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Lea braucht 9 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Lea spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?16:00 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 9 Minuten früher ist 15:51 Uhr.
    2. Noch 26 Minuten früher: 15:25 Uhr.
    Ergebnis:
    15:25 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    Die 5b fährt mit 29 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    29 Kindern4 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116 €, die Filmdauer brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Der Unterricht beginnt um 7:48 Uhr. Welchen Bus 248 muss Jonas spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:547:097:047:197:147:297:247:39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    den um 7:24 Uhr

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Mia sagt: „72 m Zaun mit einem Pfahl alle 6 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das?
    6 m6 m6 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, 13 Pfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Sofia braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 22 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:25 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Zeynep 9 Fahrzeuge und 24 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Fahrräder, 6 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Ein Bleistift kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
    einzeln1 Bleistift0,90 €Packung10 Bleistiften8,40 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    die Packung

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 28 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 168 € für alle zusammen, der Eintritt 4 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    28 Kindern168 €4 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · 9 + 5? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 4 Kinder kaufen je ein Heft für 9 € und je eine Mappe für 5 €.
    (B) 4 Kinder kaufen je ein Heft für 9 €. Dazu kommt eine Mappe für 5 € für alle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 41 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Die Tore im Finale fehlen
  2. 208 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  3. 810 km
  4. den um 7:04 Uhr
  5. den um 6:53 Uhr
  6. den um 6:59 Uhr
  7. Nein, 7 Pfähle
  8. Nein, 8 Pfähle
  9. 10 Pfähle
  10. 24 €
  11. 14:45 Uhr
  12. 15:06 Uhr
  13. 5 Fahrräder, 3 Dreiräder
  14. 2 Hühner, 3 Kaninchen
  15. 2 Dreiräder
  16. 1,33 €
  17. 0,67 €
  18. die Packung
  19. 286 €
  20. 350 €
  21. 35 km
  22. C: 8 · 7 + 7
  23. A: 8 · (8 + 8)
  24. A, 88 €
  25. 120 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. B, 174 Bücher
  27. 12 Minuten
  28. Nein, 10 Pfähle
  29. 18 Kinder
  30. 15:25 Uhr
  31. 116 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  32. den um 7:24 Uhr
  33. Nein, 13 Pfähle
  34. 16:25 Uhr
  35. 3 Fahrräder, 6 Dreiräder
  36. die Packung
  37. 10 €
  38. B, 41 €
  39. 9:45 Uhr
  40. 150 mm