Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 7:00 + 1:30 = 8:30 Uhr
Ergebnis:
8:30 Uhr
●40
Rechne um: 7 € in ct.
Lösung zeigen
1. 1 € = 100 ct
2. 7 · 100 = 700 ct
Ergebnis:
700 ct

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 144 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.

Ergebnis:

Die Tore im Finale fehlen

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 11 Spiele gemacht und 24 Tore geschossen. Zum Finale kamen 357 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 11 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 11 Spiele.
2. 15 − 11 = 4
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 211 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 6 Spiele.
2. 15 − 6 = 9
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 105 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 7 € je Karte.
2. 26 · 7 € = 182 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
182 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:59 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:59 Uhr: 7:03, 7:18, 7:33, 7:48 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
Er fährt um 7:32 Uhr ab.

Ankunft vor 7:59 Uhr: 7:03, 7:18, 7:33, 7:48 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:48 Uhr an.
Er fährt um 7:32 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:32 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
So fängst du an:
Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 6:58 Uhr.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 6:58 Uhr.
2. Von 6:40 bis 6:58 Uhr sind es 18 Minuten.
Ergebnis:
18 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:55 Uhr. Welchen Bus X34 muss Paul spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:55 Uhr: 7:09, 7:24, 7:39, 7:54 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:54 Uhr an.
3. Er fährt um 7:35 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:35 Uhr
★6
Milan braucht 4 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 248 um 7:22 Uhr nehmen. Wann muss Milan spätestens los, und wann ist Milan an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 4 Minuten vor 7:22 Uhr, also 7:18 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:46 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:18 Uhr, an um 7:46 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ben sagt: „Ein Zaun von 100 m mit einem Pfahl alle 10 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?

Schritt für Schritt

100 : 10 = 10 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.

100 : 10 = 10 ist die Zahl der Abstände.
Pfähle: ein Pfahl mehr, also 11.

Ergebnis:

Nein, 11 Pfähle

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ben sagt: „Ein Zaun von 10 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
So fängst du an:
10 : 2 = 5 ist die Zahl der Abstände.
Lösung zeigen
1. 10 : 2 = 5 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
Ergebnis:
Nein, 6 Pfähle
●8
Entlang eines Weges stehen 7 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 7 Zaunpfähle haben 6 Abstände dazwischen.
2. 6 · 4 m = 24 m
Ergebnis:
24 m
★9
Um ein Beet mit 68 m Umfang werden rundherum alle 4 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
Lösung zeigen
1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 68 : 4 = 17
Ergebnis:
17 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Emma kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Emma 4 € geschenkt und hat jetzt 22 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 4 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 14 € = 32 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 22 € − 4 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 14 € = 32 €

Ergebnis:

32 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Tom braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 16:00 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:31 Uhr.
Ergebnis:
15:31 Uhr
●11
Lea kauft ein Buch für 15 €. Danach bekommt Lea 11 € geschenkt und hat jetzt 34 €. Wie viel Geld hatte Lea am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 34 € − 11 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 15 € = 38 €
Ergebnis:
38 €
★12
Hanna verschenkt 8 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Hanna noch 9 Karten dazu. Jetzt sind es 45. Wie viele Karten waren es am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts: 45 − 9 = 36
2. Verdoppeln rückgängig: 36 : 2 = 18
3. Verschenken rückgängig: 18 + 8 = 26
Ergebnis:
26 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Hanna 7 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16

Ergebnis:

5 Fahrräder, 2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Auf einem Hof zählt Jonas 10 Tiere und 30 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Das passt genau.
3. 5 Hühner und 5 Kaninchen: 5 · 2 + 5 · 4 = 30
Ergebnis:
5 Hühner, 5 Kaninchen
●14
In der Mensa zählt Emma 9 Tische und 50 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 2 Vierertische und 7 Sechsertische: 2 · 4 + 7 · 6 = 50
Ergebnis:
2 Vierertische, 7 Sechsertische
★15
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 17 Fahrzeuge mit 43 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 9 Fahrräder und 8 Dreiräder ergeben 42 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 8 Fahrräder und 9 Dreiräder: 8 · 2 + 9 · 3 = 43
Ergebnis:
9 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?

Schritt für Schritt

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,00 € = 4,00 €
Für ein Eis: 4,00 € : 3 ≈ 1,33 €
Gerundet auf ganze Cent.

Ergebnis:

1,33 €

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Flaschen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Flaschen braucht?
So fängst du an:
4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Lösung zeigen
1. 4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
2. Packung: 5,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 50,00 €. Noah fährt im Monat 11-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 11 · 2,80 € = 30,80 €
2. Monatskarte: 50,00 €
3. Einzeln ist günstiger: Die Karte lohnt sich nicht.
Ergebnis:
Nein

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 138 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 138 € : 23 = 6 €
6 € + 5 € = 11 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 138 € : 23 = 6 €
6 € + 5 € = 11 €

Ergebnis:

11 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
Die 5c mit 27 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 189 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
So fängst du an:
Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 189 € : 27 = 7 €
3. 7 € + 9 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●20
In der Klassenkasse sind 383 €. Der Förderverein gibt 69 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 3 € für jedes der 21 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 383 € + 69 € = 452 €; Kosten: 21 · 3 € = 63 €
3. 452 € − 63 € = 389 €
Ergebnis:
389 €
★21
Die 5c mit 22 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 176 € für alle zusammen, der Eintritt 8 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 176 € : 22 = 8 €
3. 8 € + 8 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 2 €.“
(A) 7 · (6 + 2)
(B) 7 · 6 + 2
(C) 7 + 6 · 2

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (6 + 2) = 56
Richtig ist A.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend: 7 · (6 + 2) = 56
Richtig ist A.

Ergebnis:

A: 7 · (6 + 2)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 6 € und je eine Pumpe für 9 €.“
(A) 6 + 6 · 9
(B) 6 · (6 + 9)
(C) 6 · 6 + 9
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 6.
2. Passend: 6 · (6 + 9) = 90
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 6 · (6 + 9)
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „6 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 7 € für alle.“
(A) 6 + 15 · 7
(B) 6 · (15 + 7)
(C) 6 · 15 + 7
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 6-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 6 · 15 + 7 = 97
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 6 · 15 + 7
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „11 Kinder kaufen je ein Ticket für 22 € und je ein Getränk für 6 €.“
(A) 11 + 22 · 6
(B) 11 · 22 + 6
(C) 11 · (22 + 6)
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 11.
2. Passend: 11 · (22 + 6) = 308
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 11 · (22 + 6)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 14 Tore geschossen. Zum Finale kamen 199 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
●26
Auf einem Schiff sind 38 Schafe und 23 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Entlang eines Weges stehen 9 Zaunpfähle im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 9 Zaunpfähle haben 8 Abstände dazwischen.
2. 8 · 4 m = 32 m
Ergebnis:
32 m
●28
Im Kino sitzt Zeynep auf Platz 6 von links. Zwischen Zeynep und Ben sitzen 3 Kinder, Ben sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Ben?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Zeynep, dann 3 Plätze dazwischen.
2. 6 + 3 + 1 = 10
Ergebnis:
Platz 10
●29
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Milan braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 15 Minuten für den Weg. Wann muss Milan spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 14 Minuten früher ist 16:46 Uhr.
2. Noch 15 Minuten früher: 16:31 Uhr.
Ergebnis:
16:31 Uhr
●30
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 13 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
3. 5 Fahrräder und 1 Dreirad: 5 · 2 + 1 · 3 = 13
Ergebnis:
1 Dreirad

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 27 Tore geschossen. Zum Finale kamen 381 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
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Ergebnis:
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
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Ergebnis:
23 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Elias sagt: „Ein Zaun von 33 m mit einem Pfahl alle 3 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
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Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Can braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 17 Minuten für den Weg. Wann muss Can spätestens von zu Hause los?
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Ergebnis:
15:52 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof zählt Aylin 7 Tiere und 24 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
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Ergebnis:
2 Hühner, 5 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 22 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 176 € für alle zusammen, der Eintritt 5 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
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Ergebnis:
13 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 14 € und je eine Pumpe für 5 €.“
(A) 7 + 14 · 5
(B) 7 · (14 + 5)
(C) 7 · 14 + 5
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Ergebnis:
B: 7 · (14 + 5)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

4 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
182 €, die Filmdauer brauche ich nicht
18 Minuten
den um 7:35 Uhr
los um 7:18 Uhr, an um 7:46 Uhr
Nein, 6 Pfähle
24 m
17 Pfähle
15:31 Uhr
38 €
26 Karten
5 Hühner, 5 Kaninchen
2 Vierertische, 7 Sechsertische
9 Dreiräder
die Packung
1,00 €
Nein
16 €
389 €
16 €
B: 6 · (6 + 9)
C: 6 · 15 + 7
C: 11 · (22 + 6)
Die Tore im Finale fehlen
nicht lösbar
32 m
Platz 10
16:31 Uhr
1 Dreirad
9 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
23 Minuten
Nein, 12 Pfähle
15:52 Uhr
2 Hühner, 5 Kaninchen
1,67 €
13 €
B: 7 · (14 + 5)
8:30 Uhr
700 ct