Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 9:15 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 9:15 + 1:30 = 10:45 Uhr
Ergebnis:
10:45 Uhr
●40
Rechne um: 5 m in dm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 10 dm
2. 5 · 10 = 50 dm
Ergebnis:
50 dm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

26 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 26 Kinder und 5 €.
26 · 5 € = 130 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Gebraucht: 26 Kinder und 5 €.
26 · 5 € = 130 €
Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.

Ergebnis:

130 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 26 Tore geschossen. Zum Finale kamen 277 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 8 Spiele.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 8 Spiele.
2. 15 − 8 = 7
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
●2
28 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 5 €.
2. 28 · 5 € = 140 €
3. Nicht gebraucht: die Lehrkräfte und die Strecke.
Ergebnis:
140 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
★3
27 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 15 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
Lösung zeigen
1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 15 km = 30 km.
2. 27 Kinder: 27 · 30 km = 810 km
3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
Ergebnis:
810 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:58 Uhr. Welchen Bus X34 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:49 Uhr an.
Er fährt um 7:25 Uhr ab.

Ankunft vor 7:58 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:49 Uhr an.
Er fährt um 7:25 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:25 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:42 Uhr. Welchen Bus 100 muss Aylin spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:42 Uhr: 7:11, 7:21, 7:31, 7:41 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:42 Uhr: 7:11, 7:21, 7:31, 7:41 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:41 Uhr an.
3. Er fährt um 7:17 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:17 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:41 Uhr, an 7:04 Uhr.
2. Von 6:41 bis 7:04 Uhr sind es 23 Minuten.
Ergebnis:
23 Minuten
★6
Aylin braucht 5 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus 100 um 7:24 Uhr nehmen. Wann muss Aylin spätestens los, und wann ist Aylin an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 5 Minuten vor 7:24 Uhr, also 7:19 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:42 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:19 Uhr, an um 7:42 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 11 Laternen im Abstand von 10 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
10 · 10 m = 100 m

11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
10 · 10 m = 100 m

Ergebnis:

100 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Entlang eines Weges stehen 11 Laternen im Abstand von 4 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
So fängst du an:
11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
Lösung zeigen
1. 11 Laternen haben 10 Abstände dazwischen.
2. 10 · 4 m = 40 m
Ergebnis:
40 m
●8
Emma sagt: „Ein Zaun von 22 m mit einem Pfahl alle 2 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
1. 22 : 2 = 11 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
★9
Entlang eines Weges stehen 17 Zaunpfähle im Abstand von 3 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 17 Zaunpfähle haben 16 Abstände dazwischen.
2. 16 · 3 m = 48 m
Ergebnis:
48 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Paul kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Paul 11 € geschenkt und hat jetzt 23 €. Wie viel Geld hatte Paul am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 11 € = 12 €
Dann den Kauf: 12 € + 18 € = 30 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 23 € − 11 € = 12 €
Dann den Kauf: 12 € + 18 € = 30 €

Ergebnis:

30 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Hanna kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 11 € = 9 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 11 € = 9 €
2. Dann den Kauf: 9 € + 7 € = 16 €
Ergebnis:
16 €
●11
Can kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Can 4 € geschenkt und hat jetzt 27 €. Wie viel Geld hatte Can am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 27 € − 4 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 14 € = 37 €
Ergebnis:
37 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Sofia braucht 15 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 15 Minuten früher ist 15:15 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 14:54 Uhr.
Ergebnis:
14:54 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 9 Tische mit 48 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48

Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3 Vierertische und 6 Sechsertische: 3 · 4 + 6 · 6 = 48

Ergebnis:

6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita zählt Emma 9 Fahrzeuge und 26 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
So fängst du an:
Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 22 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 8 Dreiräder: 1 · 2 + 8 · 3 = 26
Ergebnis:
1 Fahrrad, 8 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere mit 22 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Hühner und 4 Kaninchen ergeben 24 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 5 Hühner und 3 Kaninchen: 5 · 2 + 3 · 4 = 22
Ergebnis:
3 Kaninchen
★15
Im Hof der Kita zählt Can 11 Fahrzeuge und 32 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 6 Fahrräder und 5 Dreiräder ergeben 27 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 10 Dreiräder: 1 · 2 + 10 · 3 = 32
Ergebnis:
1 Fahrrad, 10 Dreiräder

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Bleistift kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 4 Bleistiften kostet 5,40 €. Was ist günstiger, wenn man 4 Bleistifte braucht?

Schritt für Schritt

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 5,40 €
Die Packung ist günstiger.

4 einzeln: 4 · 1,50 € = 6,00 €
Packung: 5,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
0,67 €
●17
Ein Bleistift kostet einzeln 1,20 €. Eine Packung mit 10 Bleistiften kostet 11,70 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Bleistifte braucht?
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,20 € = 12,00 €
2. Packung: 11,70 €
3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung
★18
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 287 €. Der Förderverein gibt 75 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 22 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?

Schritt für Schritt

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 287 € + 75 € = 362 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
362 € − 198 € = 164 €

Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Geld: 287 € + 75 € = 362 €; Kosten: 22 · 9 € = 198 €
362 € − 198 € = 164 €

Ergebnis:

164 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 308 €. Der Förderverein gibt 94 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 6 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 308 € + 94 € = 402 €; Kosten: 30 · 6 € = 180 €
3. 402 € − 180 € = 222 €
Ergebnis:
222 €
●20
Die 5c mit 21 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 126 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 126 € : 21 = 6 €
3. 6 € + 9 € = 15 €
Ergebnis:
15 €
★21
In der Klassenkasse sind 333 €. Der Förderverein gibt 70 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt zum Kletterpark: 9 € für jedes der 27 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 333 € + 70 € = 403 €; Kosten: 27 · 9 € = 243 €
3. 403 € − 243 € = 160 €
Ergebnis:
160 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (11 + 7)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 7 € für alle.“
(B) „3 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 € und je ein Getränk für 7 €.“

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Passend ist B.
3 · (11 + 7) = 54

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Passend ist B.
3 · (11 + 7) = 54

Ergebnis:

B, 54 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „7 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.“
(A) 7 · (15 + 6)
(B) 7 · 15 + 6
(C) 7 + 15 · 6
So fängst du an:
Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 7-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 7 · 15 + 6 = 111
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 7 · 15 + 6
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (8 + 4)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 8 € und je eine Pumpe für 4 €.“
(B) „5 Kinder kaufen je einen Ball für 8 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.“
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (8 + 4) = 60
Ergebnis:
A, 60 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte? „12 Kinder kaufen je einen Ball für 21 €. Dazu kommt eine Pumpe für 9 € für alle.“
(A) 12 · (21 + 9)
(B) 12 + 21 · 9
(C) 12 · 21 + 9
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 12-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 12 · 21 + 9 = 261
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C: 12 · 21 + 9

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 4 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 4 € je Karte.
2. 27 · 4 € = 108 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
108 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●26
Auf einem Schiff sind 18 Schafe und 12 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
Lösung zeigen
1. Die Angaben handeln von Tieren.
2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
3. Die Frage kann man nicht beantworten.
Ergebnis:
nicht lösbar
●27
Der Unterricht beginnt um 7:40 Uhr. Welchen Bus 248 muss Noah spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:40 Uhr: 7:01, 7:16, 7:31 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:31 Uhr an.
3. Er fährt um 7:15 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:15 Uhr
●28
Entlang eines Weges stehen 9 Laternen im Abstand von 6 m, der erste am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 9 Laternen haben 8 Abstände dazwischen.
2. 8 · 6 m = 48 m
Ergebnis:
48 m
●29
In der Schlange vor der Mensa steht Lea an 8. Stelle von vorn und an 5. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
Lösung zeigen
1. Skizze: vorn 7 Kinder, dann Lea, dahinter 4 Kinder.
2. 7 + 1 + 4 = 12
Ergebnis:
12 Kinder
●30
Sofia kauft ein Buch für 16 €. Danach bekommt Sofia 5 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 5 € = 23 €
2. Dann den Kauf: 23 € + 16 € = 39 €
Ergebnis:
39 €

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 8 Spiele gemacht und 37 Tore geschossen. Zum Finale kamen 441 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Noah ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 100?
Lösung zeigen
Ergebnis:
7 Minuten
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Lea sagt: „Ein Zaun von 44 m mit einem Pfahl alle 4 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das, wenn an beiden Enden ein Pfahl steht?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, 12 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Hanna kauft ein Buch für 7 €. Danach bekommt Hanna 7 € geschenkt und hat jetzt 13 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
Ergebnis:
13 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 9 Tiere mit 20 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Kaninchen
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,00 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
Die 5c mit 27 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 108 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
11 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Geschichte passt zur Rechnung 4 · (15 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 15 €. Dazu kommt eine Mappe für 6 € für alle.“
(B) „4 Kinder kaufen je ein Heft für 15 € und je eine Mappe für 6 €.“
Lösung zeigen
Ergebnis:
B, 84 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
140 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
810 km
den um 7:17 Uhr
23 Minuten
los um 7:19 Uhr, an um 7:42 Uhr
40 m
Nein, 12 Pfähle
48 m
16 €
37 €
14:54 Uhr
1 Fahrrad, 8 Dreiräder
3 Kaninchen
1 Fahrrad, 10 Dreiräder
0,67 €
die Packung
1,67 €
222 €
15 €
160 €
B: 7 · 15 + 6
A, 60 €
C: 12 · 21 + 9
108 €, die Filmdauer brauche ich nicht
nicht lösbar
den um 7:15 Uhr
48 m
12 Kinder
39 €
7 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
7 Minuten
Nein, 12 Pfähle
13 €
1 Kaninchen
1,00 €
11 €
B, 84 €
10:45 Uhr
50 dm