Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 7:15 Uhr und dauert 45 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 45 min = 0 h 45 min
2. 7:15 + 0:45 = 8:00 Uhr
Ergebnis:
8:00 Uhr
●40
Rechne um: 8 m in cm.
Lösung zeigen
1. 1 m = 100 cm
2. 8 · 100 = 800 cm
Ergebnis:
800 cm

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 18 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?

Schritt für Schritt

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
Die Anzahl ist da: 3.
Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.

Ergebnis:

Der Preis für Erwachsene fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 28 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 28 Kinder und 9 € je Karte.
2. 28 · 9 € = 252 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 17 Tore geschossen. Zum Finale kamen 198 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
Ergebnis:
Die Tore im Finale fehlen
★3
Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 5 €. Der Film dauert 95 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 27 Kinder und 5 € je Karte.
2. 27 · 5 € = 135 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Mia ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Mia auf den nächsten Bus X34?

Schritt für Schritt

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:56 bis 7:01 Uhr sind es 5 Minuten.

Der nächste fährt um 7:01 Uhr.
Von 6:56 bis 7:01 Uhr sind es 5 Minuten.

Ergebnis:

5 Minuten

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Der Unterricht beginnt um 7:35 Uhr. Welchen Bus M29 muss Emma spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
So fängst du an:
Ankunft vor 7:35 Uhr: 6:57, 7:12, 7:27 Uhr.
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:35 Uhr: 6:57, 7:12, 7:27 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:27 Uhr an.
3. Er fährt um 7:14 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:14 Uhr
●5
Wie lange fährt der Bus X34 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:42 Uhr, an 7:02 Uhr.
2. Von 6:42 bis 7:02 Uhr sind es 20 Minuten.
Ergebnis:
20 Minuten
★6
Milan braucht 9 Minuten von zu Hause zur Haltestelle und will den Bus X34 um 7:20 Uhr nehmen. Wann muss Milan spätestens los, und wann ist Milan an der Schule?
Lösung zeigen
1. Los: 9 Minuten vor 7:20 Uhr, also 7:11 Uhr.
2. Ankunft laut Fahrplan: 7:46 Uhr.
Ergebnis:
los um 7:11 Uhr, an um 7:46 Uhr

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 2 m = 12 m

7 Laternen haben 6 Abstände dazwischen.
6 · 2 m = 12 m

Ergebnis:

12 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Weg ist 18 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
So fängst du an:
Abstände: 18 : 2 = 9
Lösung zeigen
1. Abstände: 18 : 2 = 9
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 9 + 1 = 10
Ergebnis:
10 Laternen
●8
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Milan sagt: „36 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 12 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 36 : 3 = 12 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 13.
Ergebnis:
Nein, 13 Pfähle
★9
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Sofia sagt: „16 m Zaun mit einem Pfahl alle 4 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 16 : 4 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Tom kauft ein Buch für 14 €. Danach bekommt Tom 3 € geschenkt und hat jetzt 7 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 3 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 14 € = 18 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 7 € − 3 € = 4 €
Dann den Kauf: 4 € + 14 € = 18 €

Ergebnis:

18 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Noah kauft ein Buch für 5 €. Danach bekommt Noah 11 € geschenkt und hat jetzt 33 €. Wie viel Geld hatte Noah am Anfang?
So fängst du an:
Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 33 € − 11 € = 22 €
2. Dann den Kauf: 22 € + 5 € = 27 €
Ergebnis:
27 €
●11
Emma kauft ein Buch für 12 €. Danach bekommt Emma 10 € geschenkt und hat jetzt 20 €. Wie viel Geld hatte Emma am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 20 € − 10 € = 10 €
2. Dann den Kauf: 10 € + 12 € = 22 €
Ergebnis:
22 €
★12
Hanna kauft ein Buch für 10 €. Danach bekommt Hanna 4 € geschenkt und hat jetzt 28 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 28 € − 4 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 10 € = 34 €
Ergebnis:
34 €

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 44 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 6 Sechsertische: 2 · 4 + 6 · 6 = 44

Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
2 Vierertische und 6 Sechsertische: 2 · 4 + 6 · 6 = 44

Ergebnis:

6 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 6 Fahrzeuge mit 16 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
Lösung zeigen
1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 2 Fahrräder und 4 Dreiräder: 2 · 2 + 4 · 3 = 16
Ergebnis:
4 Dreiräder
●14
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 10 Tiere mit 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 5 Hühner und 5 Kaninchen ergeben 30 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 6 Hühner und 4 Kaninchen: 6 · 2 + 4 · 4 = 28
Ergebnis:
4 Kaninchen
★15
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 13 Tische mit 70 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 7 Vierertische und 6 Sechsertische ergeben 64 Plätze.
2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
3. 4 Vierertische und 9 Sechsertische: 4 · 4 + 9 · 6 = 70
Ergebnis:
9 Sechsertische

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Müsliriegel kostet einzeln 2,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 24,40 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?

Schritt für Schritt

10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Packung: 24,40 €
Die Packung ist günstiger.

10 einzeln: 10 · 2,50 € = 25,00 €
Packung: 24,40 €
Die Packung ist günstiger.

Ergebnis:

die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
So fängst du an:
Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 2,50 € = 5,00 €
2. Für ein Eis: 5,00 € : 3 ≈ 1,67 €
3. Gerundet auf ganze Cent.
Ergebnis:
1,67 €
★18
Ein Müsliriegel kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Riegeln kostet 6,00 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Riegel braucht?
Lösung zeigen
1. 6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
2. Packung: 6,00 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 25 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 100 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 3 € = 7 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 100 € : 25 = 4 €
4 € + 3 € = 7 €

Ergebnis:

7 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 296 €. Der Förderverein gibt 63 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 25 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 296 € + 63 € = 359 €; Kosten: 25 · 7 € = 175 €
3. 359 € − 175 € = 184 €
Ergebnis:
184 €
●20
Die 5c mit 25 Kindern fährt zum Kletterpark. Der Bus kostet 175 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 175 € : 25 = 7 €
3. 7 € + 6 € = 13 €
Ergebnis:
13 €
★21
Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 234 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
Lösung zeigen
1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
2. Bus je Kind: 234 € : 26 = 9 €
3. 9 € + 7 € = 16 €
Ergebnis:
16 €

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte?
4 Kinder kaufen je ein Ticket für 7 € und je ein Getränk für 8 €.
(A) 4 · 7 + 8
(B) 4 · (7 + 8)
(C) 4 + 7 · 8

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Passend: 4 · (7 + 8) = 60
Richtig ist B.

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 4.
Passend: 4 · (7 + 8) = 60
Richtig ist B.

Ergebnis:

B: 4 · (7 + 8)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (12 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 5 € für alle.
(B) 3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 5 €.
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 3.
2. Passend ist B.
3. 3 · (12 + 5) = 51
Ergebnis:
B, 51 €
●23
Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (11 + 5)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 7 Kinder kaufen je einen Ball für 11 € und je eine Pumpe für 5 €.
(B) 7 Kinder kaufen je einen Ball für 11 €. Dazu kommt eine Pumpe für 5 € für alle.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
2. Passend ist A.
3. 7 · (11 + 5) = 112
Ergebnis:
A, 112 €
★24
Welche Rechnung passt zur Geschichte?
12 Kinder kaufen je einen Ball für 22 €. Dazu kommt eine Pumpe für 4 € für alle.
(A) 12 + 22 · 4
(B) 12 · 22 + 4
(C) 12 · (22 + 4)
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 12-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 12 · 22 + 4 = 268
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 12 · 22 + 4

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
28 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 2.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 9 Böden mit je 10 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Seiten hat das dickste Buch? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Bücher stehen im Regal?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 9 · 10 = 90.
3. Richtig ist C.
Ergebnis:
C, 90 Bücher
●27
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:54 Uhr, an 7:21 Uhr.
2. Von 6:54 bis 7:21 Uhr sind es 27 Minuten.
Ergebnis:
27 Minuten
●28
Entlang eines Weges stehen 12 Zaunpfähle im Abstand von 3 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 12 Zaunpfähle haben 11 Abstände dazwischen.
2. 11 · 3 m = 33 m
Ergebnis:
33 m
●29
Im Kino sitzt Ben auf Platz 6 von links. Zwischen Ben und Noah sitzen 2 Kinder, Noah sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Noah?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 6 ist Ben, dann 2 Plätze dazwischen.
2. 6 + 2 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Jonas braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Jonas spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:53 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 16:32 Uhr.
Ergebnis:
16:32 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 17 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 6 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:49 Uhr. Welchen Bus M29 muss Can spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
Ergebnis:
den um 7:08 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Emma sagt: „100 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 10 Pfähle.“ Stimmt das?
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Ergebnis:
Nein, 11 Pfähle
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Tom kauft ein Buch für 8 €. Danach bekommt Tom 9 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Tom am Anfang?
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Ergebnis:
15 €
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
Im Hof der Kita gibt es Fahrräder und Dreiräder, zusammen 8 Fahrzeuge mit 19 Räder. Wie viele Dreiräder sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3 Dreiräder
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 293 €. Der Förderverein gibt 90 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 7 € für jedes der 26 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
201 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte?
6 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 2 € für alle.
(A) 6 · (10 + 2)
(B) 6 + 10 · 2
(C) 6 · 10 + 2
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Ergebnis:
C: 6 · 10 + 2

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

252 €, die Filmdauer brauche ich nicht
Die Tore im Finale fehlen
135 €, die Filmdauer brauche ich nicht
den um 7:14 Uhr
20 Minuten
los um 7:11 Uhr, an um 7:46 Uhr
10 Laternen
Nein, 13 Pfähle
Nein, 5 Pfähle
27 €
22 €
34 €
4 Dreiräder
4 Kaninchen
9 Sechsertische
1,00 €
1,67 €
einzeln
184 €
13 €
16 €
B, 51 €
A, 112 €
B: 12 · 22 + 4
Der Preis für Erwachsene fehlt
C, 90 Bücher
27 Minuten
33 m
Platz 9
16:32 Uhr
Der Preis für Erwachsene fehlt
den um 7:08 Uhr
Nein, 11 Pfähle
15 €
3 Dreiräder
1,67 €
201 €
C: 6 · 10 + 2
8:00 Uhr
800 cm