Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

●39
Der Unterricht beginnt um 8:00 Uhr und dauert 90 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
Lösung zeigen
1. 90 min = 1 h 30 min
2. 8:00 + 1:30 = 9:30 Uhr
Ergebnis:
9:30 Uhr
●40
Rechne um: 9 h in min.
Lösung zeigen
1. 1 h = 60 min
2. 9 · 60 = 540 min
Ergebnis:
540 min

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 12 Spiele gemacht und 30 Tore geschossen. Zum Finale kamen 267 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?

Schritt für Schritt

Gebraucht: 12 Spiele.
15 − 12 = 3
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Gebraucht: 12 Spiele.
15 − 12 = 3
Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.

Ergebnis:

3 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht

28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €

So richtig

28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

○1
Die 5b fährt mit 26 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 120 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
So fängst du an:
Gebraucht: 26 Kinder und 6 € je Karte.
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 26 Kinder und 6 € je Karte.
2. 26 · 6 € = 156 €
3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
Ergebnis:
156 €, die Filmdauer brauche ich nicht
●2
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 10 Spiele gemacht und 33 Tore geschossen. Zum Finale kamen 132 Zuschauer. Wie viele Spiele fehlen noch bis zu 15 Spielen? Welche Angaben brauchst du nicht?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: 10 Spiele.
2. 15 − 10 = 5
3. Nicht gebraucht: Tore und Zuschauer.
Ergebnis:
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
★3
Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 7 Spiele gemacht und 34 Tore geschossen. Zum Finale kamen 420 Zuschauer. Wie viele Karten zu 3 € wurden für das Finale verkauft, wenn alle Zuschauer eine Karte hatten? Wie viel Geld kam zusammen?
Lösung zeigen
1. Karten: 420, so viele wie Zuschauer.
2. 420 · 3 € = 1.260 €
3. Nicht gebraucht: Spiele und Tore.
Ergebnis:
420 Karten, 1.260 €

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 7:34 Uhr. Welchen Bus M29 muss Sofia spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?

Schritt für Schritt

Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:06, 7:26 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
Er fährt um 7:12 Uhr ab.

Ankunft vor 7:34 Uhr: 7:06, 7:26 Uhr.
Der letzte davon kommt um 7:26 Uhr an.
Er fährt um 7:12 Uhr ab.

Ergebnis:

den um 7:12 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten

So richtig

Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

○4
Emma ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Emma auf den nächsten Bus M29?
So fängst du an:
Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
Lösung zeigen
1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
2. Von 6:53 bis 7:02 Uhr sind es 9 Minuten.
Ergebnis:
9 Minuten
●5
Der Unterricht beginnt um 7:25 Uhr. Welchen Bus 100 muss Tom spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Lösung zeigen
1. Ankunft vor 7:25 Uhr: 6:58, 7:08, 7:18 Uhr.
2. Der letzte davon kommt um 7:18 Uhr an.
3. Er fährt um 6:59 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 6:59 Uhr
★6
Wie lange fährt der Bus 248 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:47 Uhr, an 7:12 Uhr.
2. Von 6:47 bis 7:12 Uhr sind es 25 Minuten.
Ergebnis:
25 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Entlang eines Weges stehen 13 Bäume im Abstand von 4 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?

Schritt für Schritt

13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
12 · 4 m = 48 m

13 Bäume haben 12 Abstände dazwischen.
12 · 4 m = 48 m

Ergebnis:

48 m

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle

So richtig

Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Weg ist 28 m lang. Alle 4 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
So fängst du an:
Abstände: 28 : 4 = 7
Lösung zeigen
1. Abstände: 28 : 4 = 7
2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
3. 7 + 1 = 8
Ergebnis:
8 Laternen
●8
Entlang eines Weges stehen 5 Laternen im Abstand von 2 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 5 Laternen haben 4 Abstände dazwischen.
2. 4 · 2 m = 8 m
Ergebnis:
8 m
★9
Entlang eines Weges stehen 13 Zaunpfähle im Abstand von 5 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
Lösung zeigen
1. 13 Zaunpfähle haben 12 Abstände dazwischen.
2. 12 · 5 m = 60 m
Ergebnis:
60 m

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Hanna kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Hanna 11 € geschenkt und hat jetzt 29 €. Wie viel Geld hatte Hanna am Anfang?

Schritt für Schritt

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 11 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 18 € = 36 €

Rückwärts, zuerst das Geschenk: 29 € − 11 € = 18 €
Dann den Kauf: 18 € + 18 € = 36 €

Ergebnis:

36 €

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €

So richtig

Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

○10
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Sofia braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 30 Minuten für den Weg. Wann muss Sofia spätestens von zu Hause los?
So fängst du an:
Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 30 Minuten früher: 15:25 Uhr.
Ergebnis:
15:25 Uhr
●11
Milan kauft ein Buch für 18 €. Danach bekommt Milan 10 € geschenkt und hat jetzt 34 €. Wie viel Geld hatte Milan am Anfang?
Lösung zeigen
1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 34 € − 10 € = 24 €
2. Dann den Kauf: 24 € + 18 € = 42 €
Ergebnis:
42 €
★12
Das Fußballtraining beginnt um 16:00 Uhr. Mia braucht 5 Minuten zum Umziehen und davor 29 Minuten für den Weg. Wann muss Mia spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 5 Minuten früher ist 15:55 Uhr.
2. Noch 29 Minuten früher: 15:26 Uhr.
Ergebnis:
15:26 Uhr

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

Im Hof der Kita zählt Ben 7 Fahrzeuge und 16 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?

Schritt für Schritt

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16

Probieren: 4 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 17 Räder.
Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
5 Fahrräder und 2 Dreiräder: 5 · 2 + 2 · 3 = 16

Ergebnis:

5 Fahrräder, 2 Dreiräder

AchtungUngeordnet probiert

So nicht

9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5

So richtig

9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

○13
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 8 Tische mit 34 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
So fängst du an:
Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 40 Plätze.
2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 7 Vierertische und 1 Sechsertisch: 7 · 4 + 1 · 6 = 34
Ergebnis:
1 Sechsertisch
●14
Im Hof der Kita zählt Lea 8 Fahrzeuge und 23 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Lösung zeigen
1. Probieren: 4 Fahrräder und 4 Dreiräder ergeben 20 Räder.
2. Zu wenig: mehr Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 mehr.
3. 1 Fahrrad und 7 Dreiräder: 1 · 2 + 7 · 3 = 23
Ergebnis:
1 Fahrrad, 7 Dreiräder
★15
Auf einem Hof gibt es Hühner und Kaninchen, zusammen 16 Tiere mit 40 Beine. Wie viele Kaninchen sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
1. Probieren: 8 Hühner und 8 Kaninchen ergeben 48 Beine.
2. Zu viel: weniger Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
3. 12 Hühner und 4 Kaninchen: 12 · 2 + 4 · 4 = 40
Ergebnis:
4 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 0,90 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 5,70 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?

Schritt für Schritt

6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Packung: 5,70 €
Einzeln ist günstiger.

6 einzeln: 6 · 0,90 € = 5,40 €
Packung: 5,70 €
Einzeln ist günstiger.

Ergebnis:

einzeln

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €

So richtig

3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
So fängst du an:
10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
Lösung zeigen
1. 10 einzeln: 10 · 1,80 € = 18,00 €
2. Packung: 18,60 €
3. Einzeln ist günstiger.
Ergebnis:
einzeln
●17
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
Lösung zeigen
1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,50 € = 3,00 €
2. Für ein Eis: 3,00 € : 3 = 1,00 €
Ergebnis:
1,00 €
★18
Eine Fahrt kostet 2,80 €. Eine Monatskarte kostet 45,00 €. Ben fährt im Monat 20-mal. Lohnt sich die Monatskarte?
Lösung zeigen
1. Einzeln: 20 · 2,80 € = 56,00 €
2. Monatskarte: 45,00 €
3. Einzeln ist teurer: Die Karte lohnt sich.
Ergebnis:
Ja

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Planetarium. Der Bus kostet 92 € für alle zusammen, der Eintritt 3 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Schritt für Schritt

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 92 € : 23 = 4 €
4 € + 3 € = 7 €

Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
Bus je Kind: 92 € : 23 = 4 €
4 € + 3 € = 7 €

Ergebnis:

7 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○19
In der Klassenkasse sind 353 €. Der Förderverein gibt 84 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Naturkundemuseum: 5 € für jedes der 23 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
So fängst du an:
Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 353 € + 84 € = 437 €; Kosten: 23 · 5 € = 115 €
3. 437 € − 115 € = 322 €
Ergebnis:
322 €
●20
In der Klassenkasse sind 288 €. Der Förderverein gibt 114 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 3 € für jedes der 30 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
Lösung zeigen
1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
2. Geld: 288 € + 114 € = 402 €; Kosten: 30 · 3 € = 90 €
3. 402 € − 90 € = 312 €
Ergebnis:
312 €
★21
Zeynep läuft an 5 Tagen in der Woche je 6 Runden auf der 300-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
Lösung zeigen
1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
2. Ein Tag: 6 · 300 m = 1800 m; eine Woche: 5 · 1800 m = 9000 m
3. 4 Wochen: 36.000 m = 36 km
Ergebnis:
36 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Geschichte passt zur Rechnung 7 · (10 + 4)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 7 Kinder kaufen je ein Heft für 10 € und je eine Mappe für 4 €.
(B) 7 Kinder kaufen je ein Heft für 10 €. Dazu kommt eine Mappe für 4 € für alle.

Schritt für Schritt

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend ist A.
7 · (10 + 4) = 98

Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 7.
Passend ist A.
7 · (10 + 4) = 98

Ergebnis:

A, 98 €

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €

So richtig

7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

○22
Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · (15 + 6)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 € und je eine Pumpe für 6 €.
(B) 5 Kinder kaufen je einen Ball für 15 €. Dazu kommt eine Pumpe für 6 € für alle.
So fängst du an:
Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 5.
2. Passend ist A.
3. 5 · (15 + 6) = 105
Ergebnis:
A, 105 €
●23
Welche Rechnung passt zur Geschichte?
3 Kinder kaufen je ein Ticket für 14 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.
(A) 3 · (14 + 2)
(B) 3 · 14 + 2
(C) 3 + 14 · 2
Lösung zeigen
1. Nur das Erste wird 3-mal gekauft, das Zweite einmal.
2. Passend: 3 · 14 + 2 = 44
3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 3 · 14 + 2
★24
Welche Geschichte passt zur Rechnung 10 · (7 + 8)? Berechne auch das Ergebnis.
(A) 10 Kinder kaufen je ein Heft für 7 €. Dazu kommt eine Mappe für 8 € für alle.
(B) 10 Kinder kaufen je ein Heft für 7 € und je eine Mappe für 8 €.
Lösung zeigen
1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 10.
2. Passend ist B.
3. 10 · (7 + 8) = 150
Ergebnis:
B, 150 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
25 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 5 €. Wie viel Eintritt zahlen die Lehrkräfte zusammen? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
1. Gebraucht: Anzahl der Lehrkräfte und ihr Eintrittspreis.
2. Die Anzahl ist da: 3.
3. Es fehlt der Eintrittspreis für Erwachsene.
Ergebnis:
Der Preis für Erwachsene fehlt
●26
Ein Regal hat 8 Böden mit je 20 Büchern. Welche Frage kannst du mit diesen Angaben beantworten? A: Wie viele Bücher stehen im Regal? B: Wie viel kostet ein Buch? C: Wie viele Seiten hat das dickste Buch?
Lösung zeigen
1. Die Angaben: Böden und Bücher je Boden.
2. Beantworten kann ich nur die Frage nach der Anzahl: 8 · 20 = 160.
3. Richtig ist A.
Ergebnis:
A, 160 Bücher
●27
Wie lange fährt der Bus M29 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
Lösung zeigen
1. Zum Beispiel: ab 6:49 Uhr, an 7:10 Uhr.
2. Von 6:49 bis 7:10 Uhr sind es 21 Minuten.
Ergebnis:
21 Minuten
●28
An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Mia sagt: „40 m Zaun mit einem Pfahl alle 10 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. 40 : 10 = 4 ist die Zahl der Abstände.
2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
Ergebnis:
Nein, 5 Pfähle
●29
Im Kino sitzt Noah auf Platz 4 von links. Zwischen Noah und Milan sitzen 4 Kinder, Milan sitzt weiter rechts. Auf welchem Platz sitzt Milan?
Lösung zeigen
1. Skizze: Platz 4 ist Noah, dann 4 Plätze dazwischen.
2. 4 + 4 + 1 = 9
Ergebnis:
Platz 9
●30
Das Fußballtraining beginnt um 16:15 Uhr. Paul braucht 7 Minuten zum Umziehen und davor 21 Minuten für den Weg. Wann muss Paul spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
1. Rückwärts vom Beginn: 7 Minuten früher ist 16:08 Uhr.
2. Noch 21 Minuten früher: 15:47 Uhr.
Ergebnis:
15:47 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren: Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne: Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft: Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen: Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle: Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen: Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan: Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung: Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.
31
Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 6 €. Der Film dauert 95 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt
Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.
32
Der Unterricht beginnt um 7:58 Uhr. Welchen Bus X34 muss Lea spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
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Ergebnis:
den um 7:38 Uhr
Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.
33
Entlang eines Weges stehen 7 Laternen im Abstand von 3 m. Der erste steht am Anfang, der letzte am Ende. Wie lang ist der Weg?
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Ergebnis:
18 m
Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.
34
Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Lina braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 20 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14:56 Uhr
Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.
35
In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 5 Tische mit 22 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Sechsertisch
Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.
36
Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 2,50 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
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Ergebnis:
1,67 €
Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.
37
In der Klassenkasse sind 465 €. Der Förderverein gibt 96 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt in den Zoo: 8 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
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Ergebnis:
401 €
Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.
38
Welche Rechnung passt zur Geschichte?
6 Kinder kaufen je ein Ticket für 9 €. Dazu kommt ein Getränk für 6 € für alle.
(A) 6 · (9 + 6)
(B) 6 · 9 + 6
(C) 6 + 9 · 6
Lösung zeigen
Ergebnis:
B: 6 · 9 + 6

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

156 €, die Filmdauer brauche ich nicht
5 Spiele; Tore und Zuschauer brauche ich nicht
420 Karten, 1.260 €
9 Minuten
den um 6:59 Uhr
25 Minuten
8 Laternen
8 m
60 m
15:25 Uhr
42 €
15:26 Uhr
1 Sechsertisch
1 Fahrrad, 7 Dreiräder
4 Kaninchen
einzeln
1,00 €
Ja
322 €
312 €
36 km
A, 105 €
B: 3 · 14 + 2
B, 150 €
Der Preis für Erwachsene fehlt
A, 160 Bücher
21 Minuten
Nein, 5 Pfähle
Platz 9
15:47 Uhr
Der Beginn des Films fehlt
den um 7:38 Uhr
18 m
14:56 Uhr
1 Sechsertisch
1,67 €
401 €
B: 6 · 9 + 6
9:30 Uhr
540 min