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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Sachaufgaben lösen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele rechnen sofort 26 + 10 = 36 und schreiben „36 Jahre“. Einige zögern, rechnen aber trotzdem, weil in Mathe immer etwas herauskommen muss. Bevor gerechnet wird, prüfen wir: Passen die Angaben zur Frage? Hier fehlt jede Angabe zum Alter. Die richtige Antwort ist: Das kann man nicht wissen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Stunde hat 60 Minuten, und Größen rechnet man immer mit ihrer Einheit.

  1. ●39
    Der Unterricht beginnt um 10:45 Uhr und dauert 60 Minuten. Berechne, wann Schluss ist.
    Lösung zeigen
    1. 60 min = 1 h 0 min
    2. 10:45 + 1:00 = 11:45 Uhr
    Ergebnis:
    11:45 Uhr
  2. ●40
    Rechne um: 9 km in m.
    Lösung zeigen
    1. 1 km = 1.000 m
    2. 9 · 1.000 = 9.000 m
    Ergebnis:
    9.000 m

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenErst die Sache klären, dann rechnen

Eine Sachaufgabe beschreibt eine Situation. Zuerst wird geklärt, was gefragt ist und welche Angaben dazu gehören. Eine Skizze, eine Tabelle oder der Weg rückwärts machen die Situation sichtbar. Am Ende wird geprüft, ob das Ergebnis zur Sache passt.

Skizze eines Zauns: 24 Meter, alle 6 Meter ein Pfahl – 4 Abstände und 5 Pfähle6 m6 m6 m6 mSkizze: Zaun 24 m, alle 6 m ein Pfahl4 Abstände, aber 5 Pfähle

WeiterdenkenDenk nach

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän – und warum rechnen so viele trotzdem etwas aus?

1Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

EntdeckenFrage

Wie alt ist der Kapitän, wenn auf seinem Schiff 26 Schafe und 10 Ziegen sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht wissen, die Angaben passen nicht zur Frage. In einer Untersuchung in Grenoble rechneten trotzdem drei von vier Kindern etwas aus, meist 26 + 10 = 36. Wer zuerst die Sache versteht, merkt, dass hier nichts zu rechnen ist.

MerkenAngaben sortieren

Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.

Fehlt eine Angabe, ist die Aufgabe nicht lösbar.

BeispielWichtige, überflüssige und fehlende Angaben

Die 5b fährt mit 22 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 120 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
22 Kindern7 €120 Minuten
Schritt für Schritt
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
  1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
  2. Die Dauer ist da: 120 Minuten.
  3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
Ergebnis:
Der Beginn des Films fehlt

AchtungMit allen Zahlen gerechnet

So nicht
28 Kinder, 3 Lehrkräfte, 6 € Eintritt je Kind: 28 + 3 + 6 = 37 €
So richtig
28 Kinder, 6 € Eintritt je Kind: 28 · 6 = 168 €

Nicht jede Zahl im Text wird gebraucht. Erst die Frage lesen, dann nur die passenden Angaben nehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die 5b fährt mit 27 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 7 €. Der Film dauert 110 Minuten. Um wie viel Uhr ist der Film zu Ende? Welche Angabe fehlt dir?
    27 Kindern7 €110 Minuten
    So fängst du an:
    Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    Lösung zeigen
    1. Für das Ende brauche ich den Beginn und die Dauer.
    2. Die Dauer ist da: 110 Minuten.
    3. Es fehlt die Uhrzeit, zu der der Film beginnt.
    Ergebnis:
    Der Beginn des Films fehlt
  2. ●2
    Die Schulmannschaft hat in dieser Saison 6 Spiele gemacht und 23 Tore geschossen. Zum Finale kamen 333 Zuschauer. Wie viele Tore hat die Mannschaft im Finale geschossen? Welche Angabe fehlt dir?
    6 Spiele23 Tore333 Zuschauer
    Lösung zeigen
    1. Die Tore stehen nur für die ganze Saison da.
    2. Wie viele davon im Finale fielen, steht nicht im Text.
    3. Es fehlt die Zahl der Tore im Finale.
    Ergebnis:
    Die Tore im Finale fehlen
  3. ★3
    29 Kinder und 2 Lehrkräfte fahren 16 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 4 €. Wie viele Kilometer fahren alle Kinder zusammen hin und zurück?
    29 Kinder2 Lehrkräfte16 km4 €
    Lösung zeigen
    1. Ein Kind fährt hin und zurück: 2 · 16 km = 32 km.
    2. 29 Kinder: 29 · 32 km = 928 km
    3. Nicht gebraucht: Eintritt und Lehrkräfte.
    Ergebnis:
    928 km

2Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

EntdeckenFrage

Wie findet eine Schnecke aus einem 12 m tiefen Brunnen, wenn sie tagsüber 4 m klettert und nachts 3 m rutscht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schafft jeden Tag nur 1 m. Nach 8 Tagen ist sie 8 m hoch. Am 9. Tag klettert sie 4 m und ist oben, bevor sie wieder rutschen kann. Ohne Skizze antworten fast alle mit 12 Tagen.

MerkenFahrplan und Zeitspanne

Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100.

BeispielFahrplan lesen und Zeitspannen berechnen

Der Unterricht beginnt um 8:07 Uhr. Welchen Bus 248 muss Lina spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
Bus 248Hauptstraße abSchule an6:477:097:077:297:277:497:478:09
Schritt für Schritt
  1. Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:49 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:27 Uhr ab.
  1. Ankunft vor 8:07 Uhr: 7:09, 7:29, 7:49 Uhr.
  2. Der letzte davon kommt um 7:49 Uhr an.
  3. Er fährt um 7:27 Uhr ab.
Ergebnis:
den um 7:27 Uhr

AchtungZeiteinheiten falsch umgerechnet

So nicht
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 820 − 745 = 75 Minuten
So richtig
Von 7:45 Uhr bis 8:20 Uhr: 15 Minuten bis 8:00, dann 20 Minuten → 35 Minuten

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. Erst bis zur vollen Stunde rechnen, dann weiter.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah ist um 6:54 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Noah auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:527:077:027:177:127:277:227:37
    So fängst du an:
    Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:02 Uhr.
    2. Von 6:54 bis 7:02 Uhr sind es 8 Minuten.
    Ergebnis:
    8 Minuten
  2. ●5
    Wie lange fährt der Bus 100 von der Hauptstraße bis zur Schule? Lies im Fahrplan ab. Schreibe deine Rechnung auf.
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:407:087:007:287:207:487:408:08
    Lösung zeigen
    1. Zum Beispiel: ab 6:40 Uhr, an 7:08 Uhr.
    2. Von 6:40 bis 7:08 Uhr sind es 28 Minuten.
    Ergebnis:
    28 Minuten
  3. ★6
    Paul ist um 6:56 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Paul auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:527:067:127:267:327:467:528:06
    Lösung zeigen
    1. Der nächste fährt um 7:12 Uhr.
    2. Von 6:56 bis 7:12 Uhr sind es 16 Minuten.
    Ergebnis:
    16 Minuten

3Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

EntdeckenFrage

Wie hat der Mathematiker Pólya empfohlen, eine Aufgabe anzupacken, die man nicht sofort lösen kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In vier Schritten: die Aufgabe verstehen, einen Plan ausdenken, den Plan ausführen und zurückschauen. Zurückschauen heißt prüfen, ob das Ergebnis stimmt und zur Frage passt. Diese Schritte stehen seit 1945 in seinem Buch „How to Solve It“.

MerkenEine Skizze hilft

Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.

Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

BeispielAbstände und Pfähle: mit Skizze lösen

Ein Weg ist 22 m lang. Alle 2 m steht eine Laterne, auch an beiden Enden. Wie viele Laternen sind es?
2 m2 m2 m…?
Schritt für Schritt
  1. Abstände: 22 : 2 = 11
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 11 + 1 = 12
  1. Abstände: 22 : 2 = 11
  2. An den Enden steht je einer: ein Stück mehr als Abstände.
  3. 11 + 1 = 12
Ergebnis:
12 Laternen

AchtungAbstände und Pfähle verwechselt

So nicht
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Pfähle
So richtig
Zaun 60 m, alle 6 m ein Pfahl: 60 : 6 = 10 Abstände → 11 Pfähle

Eine Skizze machen. Bei einem Zaun mit Pfählen an beiden Enden gibt es einen Pfahl mehr als Abstände.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Lea sagt: „20 m Zaun mit einem Pfahl alle 4 m braucht 5 Pfähle.“ Stimmt das?
    4 m4 m4 m…?
    So fängst du an:
    20 : 4 = 5 ist die Zahl der Abstände.
    Lösung zeigen
    1. 20 : 4 = 5 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 6.
    Ergebnis:
    Nein, 6 Pfähle
  2. ●8
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Aylin sagt: „22 m Zaun mit einem Pfahl alle 2 m braucht 11 Pfähle.“ Stimmt das?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    1. 22 : 2 = 11 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 12.
    Ergebnis:
    Nein, 12 Pfähle
  3. ★9
    Um ein Beet mit 80 m Umfang werden rundherum alle 4 m Pfähle gesetzt. Wie viele Pfähle sind es?
    Lösung zeigen
    1. Rundherum gibt es keinen Anfang und kein Ende.
    2. Pfähle und Abstände sind gleich viele: 80 : 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Pfähle

4Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

EntdeckenFrage

Wie viele Pfähle braucht ein Zaun von 100 Metern, wenn alle 10 Meter ein Pfahl steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es sind 11, nicht 10. Zwischen den Pfählen liegen 10 Abstände, und an beiden Enden steht ein Pfahl. Der Fehler ist so häufig, dass er in der Informatik einen eigenen Namen hat: Zaunpfahlfehler.

MerkenRückwärts rechnen

Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.

Jeder Schritt wird umgekehrt: aus plus wird minus, aus mal wird geteilt.

BeispielRückwärts rechnen mit Geld und Zeit

Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Lina braucht 13 Minuten zum Umziehen und davor 26 Minuten für den Weg. Wann muss Lina spätestens von zu Hause los?
WegUmziehen?17:00 Uhr
Schritt für Schritt
  1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
  2. Noch 26 Minuten früher: 16:21 Uhr.
  1. Rückwärts vom Beginn: 13 Minuten früher ist 16:47 Uhr.
  2. Noch 26 Minuten früher: 16:21 Uhr.
Ergebnis:
16:21 Uhr

AchtungBeim Rückwärtsrechnen nicht umgekehrt

So nicht
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 + 8 − 6 = 25 €
So richtig
Buch für 6 € gekauft, 8 € geschenkt, jetzt 23 €: 23 − 8 + 6 = 21 €

Vom Ende aus rechnen und jeden Schritt umkehren: plus wird minus, mal wird geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Sofia kauft ein Buch für 13 €. Danach bekommt Sofia 3 € geschenkt und hat jetzt 16 €. Wie viel Geld hatte Sofia am Anfang?
    ?− 13 €+ 3 €16 €
    So fängst du an:
    Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 3 € = 13 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 16 € − 3 € = 13 €
    2. Dann den Kauf: 13 € + 13 € = 26 €
    Ergebnis:
    26 €
  2. ●11
    Lina kauft ein Buch für 17 €. Danach bekommt Lina 3 € geschenkt und hat jetzt 21 €. Wie viel Geld hatte Lina am Anfang?
    ?− 17 €+ 3 €21 €
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts, zuerst das Geschenk: 21 € − 3 € = 18 €
    2. Dann den Kauf: 18 € + 17 € = 35 €
    Ergebnis:
    35 €
  3. ★12
    Zeynep verschenkt 9 Sammelkarten. Dann verdoppelt sich die Sammlung durch ein Tauschspiel, und zuletzt kauft Zeynep noch 9 Karten dazu. Jetzt sind es 41. Wie viele Karten waren es am Anfang?
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts: 41 − 9 = 32
    2. Verdoppeln rückgängig: 32 : 2 = 16
    3. Verschenken rückgängig: 16 + 9 = 25
    Ergebnis:
    25 Karten

5Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

EntdeckenFrage

Hühner und Kaninchen, zusammen 8 Tiere, haben 22 Beine. Wie findet man heraus, wie viele Kaninchen es sind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn alle 8 Hühner wären, gäbe es 16 Beine. Es fehlen 6 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr mit. Also sind es 3 Kaninchen und 5 Hühner: 12 + 10 = 22. Eine Tabelle zeigt das ohne Raten.

MerkenProbieren mit Tabelle

Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.

So findet man die Lösung und übersieht keine.

BeispielSystematisch probieren mit Tabelle

In der Mensa zählt Aylin 9 Tische und 52 Plätze. Es sind nur Vierertische und Sechsertische. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Vierertische0123…Plätze????
Schritt für Schritt
  1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52
  1. Probieren: 5 Vierertische und 4 Sechsertische ergeben 44 Plätze.
  2. Zu wenig: mehr Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
  3. 1 Vierertisch und 8 Sechsertische: 1 · 4 + 8 · 6 = 52
Ergebnis:
1 Vierertisch, 8 Sechsertische

AchtungUngeordnet probiert

So nicht
9 Tische, 44 Plätze, Vierer und Sechser: geraten 4 und 5
So richtig
9 Tische, 44 Plätze: 5 Vierer und 4 Sechser → 20 + 24 = 44

Eine Tabelle anlegen und der Reihe nach probieren. So übersieht man keine Möglichkeit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Im Hof der Kita zählt Hanna 6 Fahrzeuge und 13 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    So fängst du an:
    Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 3 Fahrräder und 3 Dreiräder ergeben 15 Räder.
    2. Zu viel: weniger Dreiräder nehmen. Jeder Tausch bringt 1 weniger.
    3. 5 Fahrräder und 1 Dreirad: 5 · 2 + 1 · 3 = 13
    Ergebnis:
    5 Fahrräder, 1 Dreirad
  2. ●14
    In der Mensa gibt es Vierertische und Sechsertische, zusammen 7 Tische mit 30 Plätze. Wie viele Sechsertische sind es? Probiere mit einer Tabelle.
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 4 Vierertische und 3 Sechsertische ergeben 34 Plätze.
    2. Zu viel: weniger Sechsertische nehmen. Jeder Tausch bringt 2 weniger.
    3. 6 Vierertische und 1 Sechsertisch: 6 · 4 + 1 · 6 = 30
    Ergebnis:
    1 Sechsertisch
  3. ★15
    Auf einem Hof zählt Tom 13 Tiere und 48 Beine. Es sind nur Hühner und Kaninchen. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Kaninchen0123…Beine????
    Lösung zeigen
    1. Probieren: 7 Hühner und 6 Kaninchen ergeben 38 Beine.
    2. Zu wenig: mehr Kaninchen nehmen. Jeder Tausch bringt 2 mehr.
    3. 2 Hühner und 11 Kaninchen: 2 · 2 + 11 · 4 = 48
    Ergebnis:
    2 Hühner, 11 Kaninchen

6Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

EntdeckenFrage

Warum sind „3 zum Preis von 2“ nicht immer ein gutes Angebot?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil man nur spart, wenn man das dritte Stück auch braucht. Wer nur eines braucht, zahlt beim Angebot für drei mehr als für eines. Günstiger ist ein Angebot erst, wenn man den Preis für ein Stück vergleicht und die Menge wirklich nutzt.

MerkenAngebote vergleichen

Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.

Beim Rückgeld rechnet man vom Preis bis zum bezahlten Betrag.

BeispielAngebote vergleichen

Ein Tennisball kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 6 Bällen kostet 8,40 €. Was ist günstiger, wenn man 6 Bälle braucht?
einzeln1 Tennisball1,50 €Packung6 Bällen8,40 €
Schritt für Schritt
  1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,40 €
  3. Die Packung ist günstiger.
  1. 6 einzeln: 6 · 1,50 € = 9,00 €
  2. Packung: 8,40 €
  3. Die Packung ist günstiger.
Ergebnis:
die Packung

AchtungAngebote an verschiedenen Mengen verglichen

So nicht
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 6 €
So richtig
3 Eis zum Preis von 2, ein Eis 2 €: 3 Eis kosten 2 · 2 € = 4 €

Angebote nur über dieselbe Menge vergleichen, zum Beispiel über den Preis für ein Stück.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,20 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,20 €
    So fängst du an:
    Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,20 € = 2,40 €
    2. Für ein Eis: 2,40 € : 3 = 0,80 €
    Ergebnis:
    0,80 €
  2. ●17
    Ein Müsliriegel kostet einzeln 1,50 €. Eine Packung mit 10 Riegeln kostet 15,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Riegel braucht?
    einzeln1 Müsliriegel1,50 €Packung10 Riegeln15,60 €
    Lösung zeigen
    1. 10 einzeln: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    2. Packung: 15,60 €
    3. Einzeln ist günstiger.
    Ergebnis:
    einzeln
  3. ★18
    Im Freibad-Kiosk gilt: „3 Eis zum Preis von 2“. Ein Eis kostet 1,00 €. Wie viel kostet ein Eis bei diesem Angebot, wenn man 3 kauft?
    Angebot3 Eiszahlen wie 2Einzelpreis1 Stück1,00 €
    Lösung zeigen
    1. Man zahlt für 3 Eis: 2 · 1,00 € = 2,00 €
    2. Für ein Eis: 2,00 € : 3 ≈ 0,67 €
    3. Gerundet auf ganze Cent.
    Ergebnis:
    0,67 €

7Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

EntdeckenFrage

Wie viele Stunden steht ein Bundesliga-Profi auf dem Platz, wenn er jedes Spiel einer Saison durchspielt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Saison hat 34 Spieltage, ein Spiel dauert 90 Minuten. 34 · 90 = 3.060 Minuten. 3.060 : 60 = 51. Ohne Nachspielzeit sind das 51 Stunden.

MerkenRechenplan

Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.

Er sagt, was man zuerst rechnet und wozu, am Ende steht ein Antwortsatz.

BeispielSachaufgaben mit mehreren Schritten

In der Klassenkasse sind 440 €. Der Förderverein gibt 93 € dazu. Die Klasse bezahlt davon den Eintritt ins Planetarium: 7 € für jedes der 20 Kinder. Wie viel Geld bleibt übrig?
440 €93 €7 €20 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 440 € + 93 € = 533 €; Kosten: 20 · 7 € = 140 €
  3. 533 € − 140 € = 393 €
  1. Plan: Geld zusammen, Kosten zusammen, dann die Differenz.
  2. Geld: 440 € + 93 € = 533 €; Kosten: 20 · 7 € = 140 €
  3. 533 € − 140 € = 393 €
Ergebnis:
393 €

AchtungSchritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Die 5c mit 23 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 161 € für alle zusammen, der Eintritt 9 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    23 Kindern161 €9 €
    So fängst du an:
    Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 161 € : 23 = 7 €
    3. 7 € + 9 € = 16 €
    Ergebnis:
    16 €
  2. ●20
    Die 5c mit 26 Kindern fährt ins Naturkundemuseum. Der Bus kostet 234 € für alle zusammen, der Eintritt 6 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    26 Kindern234 €6 €
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Bus auf die Kinder verteilen, dann den Eintritt dazu.
    2. Bus je Kind: 234 € : 26 = 9 €
    3. 9 € + 6 € = 15 €
    Ergebnis:
    15 €
  3. ★21
    Noah läuft an 5 Tagen in der Woche je 7 Runden auf der 400-m-Bahn. Wie viele Kilometer sind das in 4 Wochen?
    5 Tagen7 Runden4004 Wochen
    Lösung zeigen
    1. Plan: ein Tag, eine Woche, vier Wochen, dann umrechnen.
    2. Ein Tag: 7 · 400 m = 2800 m; eine Woche: 5 · 2800 m = 14.000 m
    3. 4 Wochen: 56.000 m = 56 km
    Ergebnis:
    56 km

8Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

EntdeckenFrage

Welche Rechnung steckt in einer über 3.500 Jahre alten Aufgabe mit 7 Häusern, 7 Katzen in jedem Haus und 7 Mäusen je Katze?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

In 7 Häusern mit je 7 Katzen sind 7 · 7 = 49 Katzen. Jede fängt 7 Mäuse, also 49 · 7 = 343 Mäuse. Die Geschichte ist die Rechnung 7 · 7 · 7.

MerkenGeschichte und Rechnung

Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Die Klammer zeigt, was zusammengehört und zuerst gerechnet wird.

BeispielRechengeschichte und Rechnung

Welche Rechnung passt zur Geschichte?
8 Kinder kaufen je einen Ball für 11 € und je eine Pumpe für 4 €.
(A) 8 + 11 · 4
(B) 8 · (11 + 4)
(C) 8 · 11 + 4
Schritt für Schritt
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
  2. Passend: 8 · (11 + 4) = 120
  3. Richtig ist B.
  1. Jedes Kind kauft beides: erst addieren, dann mal 8.
  2. Passend: 8 · (11 + 4) = 120
  3. Richtig ist B.
Ergebnis:
B: 8 · (11 + 4)

AchtungNoch einmal: Schritte in falscher Reihenfolge

So nicht
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · 13 + 5 = 96 €
So richtig
7 Kinder, Ball 13 €, Pumpe 5 €: 7 · (13 + 5) = 126 €

Erst den Plan machen: Was brauche ich zuerst? Klammern zeigen, was zusammengehört.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Welche Rechnung passt zur Geschichte?
    8 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 9 € für alle.
    (A) 8 · 11 + 9
    (B) 8 + 11 · 9
    (C) 8 · (11 + 9)
    So fängst du an:
    Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 8-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 8 · 11 + 9 = 97
    3. Richtig ist A.
    Ergebnis:
    A: 8 · 11 + 9
  2. ●23
    Welche Rechnung passt zur Geschichte?
    4 Kinder kaufen je ein Ticket für 11 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.
    (A) 4 · (11 + 2)
    (B) 4 · 11 + 2
    (C) 4 + 11 · 2
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 4-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend: 4 · 11 + 2 = 46
    3. Richtig ist B.
    Ergebnis:
    B: 4 · 11 + 2
  3. ★24
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 5 · 13 + 2? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 5 Kinder kaufen je einen Ball für 13 €. Dazu kommt eine Pumpe für 2 € für alle.
    (B) 5 Kinder kaufen je einen Ball für 13 € und je eine Pumpe für 2 €.
    Lösung zeigen
    1. Nur das Erste wird 5-mal gekauft, das Zweite einmal.
    2. Passend ist A.
    3. 5 · 13 + 2 = 67
    Ergebnis:
    A, 67 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die 5b fährt mit 23 Kindern ins Kino. Eine Karte kostet 9 €. Der Film dauert 110 Minuten. Wie viel kosten die Karten für alle Kinder? Welche Angabe brauchst du nicht?
    23 Kindern9 €110 Minuten
    Lösung zeigen
    1. Gebraucht: 23 Kinder und 9 € je Karte.
    2. 23 · 9 € = 207 €
    3. Nicht gebraucht: die Filmdauer.
    Ergebnis:
    207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  2. ●26
    Auf einem Schiff sind 31 Schafe und 12 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?
    31 Schafe12 Ziegen
    Lösung zeigen
    1. Die Angaben handeln von Tieren.
    2. Über den Kapitän steht nichts im Text.
    3. Die Frage kann man nicht beantworten.
    Ergebnis:
    nicht lösbar
  3. ●27
    Der Unterricht beginnt um 8:15 Uhr. Welchen Bus 100 muss Milan spätestens nehmen, um rechtzeitig da zu sein?
    Bus 100Hauptstraße abSchule an6:457:127:057:327:257:527:458:12
    Lösung zeigen
    1. Ankunft vor 8:15 Uhr: 7:12, 7:32, 7:52, 8:12 Uhr.
    2. Der letzte davon kommt um 8:12 Uhr an.
    3. Er fährt um 7:45 Uhr ab.
    Ergebnis:
    den um 7:45 Uhr
  4. ●28
    An beiden Enden eines Zauns steht ein Pfahl. Aylin sagt: „12 m Zaun mit einem Pfahl alle 3 m braucht 4 Pfähle.“ Stimmt das?
    3 m3 m3 m…?
    Lösung zeigen
    1. 12 : 3 = 4 ist die Zahl der Abstände.
    2. Pfähle: ein Pfahl mehr, also 5.
    Ergebnis:
    Nein, 5 Pfähle
  5. ●29
    In der Schlange vor der Mensa steht Ben an 13. Stelle von vorn und an 10. Stelle von hinten. Wie viele Kinder stehen in der Schlange?
    1310
    Lösung zeigen
    1. Skizze: vorn 12 Kinder, dann Ben, dahinter 9 Kinder.
    2. 12 + 1 + 9 = 22
    Ergebnis:
    22 Kinder
  6. ●30
    Das Fußballtraining beginnt um 15:30 Uhr. Tom braucht 6 Minuten zum Umziehen und davor 34 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?15:30 Uhr
    Lösung zeigen
    1. Rückwärts vom Beginn: 6 Minuten früher ist 15:24 Uhr.
    2. Noch 34 Minuten früher: 14:50 Uhr.
    Ergebnis:
    14:50 Uhr

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Angaben sortieren
Erst die Frage lesen, dann die Angaben sortieren: gebraucht, überflüssig oder fehlend.
Fahrplan und Zeitspanne
Zeitspannen rechnet man in Schritten bis zur vollen Stunde und dann weiter.
Eine Skizze hilft
Eine kleine Zeichnung zeigt, was man zählen muss.
Rückwärts rechnen
Ist das Ende bekannt, geht man vom Ende zum Anfang.
Probieren mit Tabelle
Beim systematischen Probieren kommt jeder Versuch in eine Tabelle.
Angebote vergleichen
Angebote vergleicht man über dieselbe Menge oder den Preis für ein Stück.
Rechenplan
Bei mehreren Schritten macht man zuerst einen Plan.
Geschichte und Rechnung
Zu jeder Rechnung passt eine Geschichte, zu jeder Geschichte eine Rechnung.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde wichtige, überflüssige und fehlende Angaben in einer Sachaufgabe.

    31
    22 Kinder und 3 Lehrkräfte fahren 14 km mit dem Rad zum Badesee. Der Eintritt kostet für Kinder 3 €. Wie viel Eintritt zahlen die Kinder zusammen? Welche Angaben brauchst du nicht?
    22 Kinder3 Lehrkräfte14 km3 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht

  2. Ich lese Fahrpläne und berechne Zeitspannen.

    32
    Lea ist um 6:53 Uhr an der Haltestelle Hauptstraße. Wie lange wartet Lea auf den nächsten Bus 248?
    Bus 248Hauptstraße abSchule an6:407:076:557:227:107:377:257:52
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Minuten

  3. Ich löse Aufgaben mit einer Skizze.

    33
    Ein Zaun ist 16 m lang. Alle 2 m steht ein Zaunpfahl, auch an beiden Enden. Wie viele Zaunpfähle sind es?
    2 m2 m2 m…?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Zaunpfähle

  4. Ich rechne rückwärts mit Geld und Zeit.

    34
    Das Fußballtraining beginnt um 17:00 Uhr. Tom braucht 14 Minuten zum Umziehen und davor 16 Minuten für den Weg. Wann muss Tom spätestens von zu Hause los?
    WegUmziehen?17:00 Uhr
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16:30 Uhr

  5. Ich probiere systematisch mit einer Tabelle.

    35
    Im Hof der Kita zählt Paul 7 Fahrzeuge und 17 Räder. Es sind nur Fahrräder und Dreiräder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Fahrräder, 3 Dreiräder

  6. Ich vergleiche Angebote und rechne mit Geld.

    36
    Eine Saftflasche kostet einzeln 1,80 €. Eine Packung mit 10 Flaschen kostet 18,60 €. Was ist günstiger, wenn man 10 Flaschen braucht?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    einzeln

  7. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten nach einem Plan.

    37
    Die 5c mit 28 Kindern fährt in den Zoo. Der Bus kostet 168 € für alle zusammen, der Eintritt 7 € je Kind. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?
    28 Kindern168 €7 €
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 €

  8. Ich übersetze zwischen Rechengeschichte und Rechnung.

    38
    Welche Geschichte passt zur Rechnung 3 · (12 + 2)? Berechne auch das Ergebnis.
    (A) 3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 €. Dazu kommt ein Getränk für 2 € für alle.
    (B) 3 Kinder kaufen je ein Ticket für 12 € und je ein Getränk für 2 €.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B, 42 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Schreib deine Antwort auf und begründe sie.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Erst die Frage klären und die Angaben sortieren, dann rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Bus und Bahn planen, Taschengeld einteilen, Angebote beim Einkaufen vergleichen. Beruf: Disposition im Verkehr, Kasse und Einkauf, Planung im Handwerk.

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Sachaufgaben und Problemlösen, Größen und Einheiten, Rechengesetze und Rechenvorteile

Darauf baut auf: Sachaufgaben und Problemlösen

Lösungen

  1. Der Beginn des Films fehlt
  2. Die Tore im Finale fehlen
  3. 928 km
  4. 8 Minuten
  5. 28 Minuten
  6. 16 Minuten
  7. Nein, 6 Pfähle
  8. Nein, 12 Pfähle
  9. 20 Pfähle
  10. 26 €
  11. 35 €
  12. 25 Karten
  13. 5 Fahrräder, 1 Dreirad
  14. 1 Sechsertisch
  15. 2 Hühner, 11 Kaninchen
  16. 0,80 €
  17. einzeln
  18. 0,67 €
  19. 16 €
  20. 15 €
  21. 56 km
  22. A: 8 · 11 + 9
  23. B: 4 · 11 + 2
  24. A, 67 €
  25. 207 €, die Filmdauer brauche ich nicht
  26. nicht lösbar
  27. den um 7:45 Uhr
  28. Nein, 5 Pfähle
  29. 22 Kinder
  30. 14:50 Uhr
  31. 66 €; Lehrkräfte und Strecke brauche ich nicht
  32. 2 Minuten
  33. 9 Zaunpfähle
  34. 16:30 Uhr
  35. 4 Fahrräder, 3 Dreiräder
  36. einzeln
  37. 13 €
  38. B, 42 €
  39. 11:45 Uhr
  40. 9.000 m