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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Symmetrie und Abbildungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Gruppen streiten. H sieht gefaltet und gedreht gleich aus, N nur gedreht, A nur gefaltet. „Sieht gleich aus“ reicht nicht, um sich zu einigen, und jede Gruppe hat andere Gruppen gebildet. Ihr habt zwei verschiedene Prüfungen benutzt, ohne es zu merken. Falten heißt achsensymmetrisch, halb herumdrehen heißt punktsymmetrisch. Mit diesen beiden Wörtern ist jede Entscheidung prüfbar.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Koordinatensystem hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

  1. ●29
    Zeichne den Punkt P(1 | 3) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
    Lösung zeigen
    1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
    2. 1 nach rechts, 3 nach oben
    Ergebnis:
    x = 1 nach rechts, y = 3 nach oben
  2. ●30
    Spiegle P(6 | 1) an der x-Achse. Wo liegt der Bildpunkt P'?
    Lösung zeigen
    1. Spiegeln an der x-Achse: y wechselt das Vorzeichen, x bleibt
    2. P'(6 | −1)
    Ergebnis:
    P'(6 | −1)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAbbilden heißt: jeder Punkt bewegt sich

Spiegeln, Drehen und Verschieben bewegen jeden Punkt einer Figur nach derselben Vorschrift. Die Figur bleibt dabei, wie sie ist: gleich lang, gleiche Winkel. Symmetrisch ist eine Figur, wenn eine solche Bewegung sie genau auf sich selbst legt.

Punktspiegelung an Z: Jeder Punkt des Dreiecks geht durch Z und gleich weit dahinterZJeder Punkt durch Z, gleich weit dahinter

WeiterdenkenDenk nach

Ein Dreieck wird zweimal hintereinander an demselben Punkt gespiegelt. Wo liegt es danach – und warum musst du dafür nichts zeichnen?

1Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Kreisen oder Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechsecke passen lückenlos aneinander, weil an jeder Ecke drei Winkel von 120° genau 360° ergeben. Kreise lassen Lücken, Fünfecke passen nicht. Thomas Hales hat 1999 bewiesen, dass Sechsecke dabei am wenigsten Wand für dieselbe Fläche brauchen.

MerkenAchsensymmetrisch und punktsymmetrisch

Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.

Punktsymmetrisch heißt: Halb herum gedreht liegt die Figur genau auf sich selbst.

BeispielAchsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?

Can sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist achsensymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
  2. Also stimmt die Aussage.
  1. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
  2. Also stimmt die Aussage.
Ergebnis:
ja

AchtungAchsen- und Punktsymmetrie verwechselt

So nicht
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Faltlinie durch die Mitte → achsensymmetrisch
So richtig
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Falten passt nicht, halbe Drehung passt → nur punktsymmetrisch

Zwei verschiedene Prüfungen: Falten für achsensymmetrisch, halb herumdrehen für punktsymmetrisch.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
    So fängst du an:
    Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
    Lösung zeigen
    1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
    2. Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht, schräg steigend, schräg fallend – zusammen 4.
    3. Die Figur hat 4 Symmetrieachsen.
    Ergebnis:
    4
  2. ●2
    Emil sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
    2. Also stimmt die Aussage.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★3
    Die Figur im Bild hat 8 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie? Denke auch an schräge Achsen.
    Lösung zeigen
    1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
    2. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
    3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
    Ergebnis:
    1

2Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

EntdeckenFrage

Warum gibt es keine Bodenfliesen in Form regelmäßiger Fünfecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Ecke eines regelmäßigen Fünfecks hat 108°. Drei davon ergeben 324°, vier schon 432°. Die 360° an einer Ecke werden nie genau erreicht, es bleibt immer eine Lücke oder etwas überlappt.

MerkenPunktspiegelung

Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.

Z liegt genau in der Mitte zwischen P und dem Bildpunkt P'.

BeispielAn einem Punkt spiegeln

Das Dreieck A(7 | 4), B(1 | 6), C(7 | 2) wird an Z(4 | 3) gespiegelt. Wo liegt C'?
01234567891012345678ABCZ
Schritt für Schritt
  1. Von C nach Z: 3 nach links und 1 nach oben, von Z aus denselben Weg noch einmal.
  2. Bildpunkt: C'(1 | 4)
  1. Von C nach Z: 3 nach links und 1 nach oben, von Z aus denselben Weg noch einmal.
  2. Bildpunkt: C'(1 | 4)
Ergebnis:
C'(1 | 4)

AchtungBeim Spiegeln an einem Punkt nur bis zum Zentrum gegangen

So nicht
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: bis Z gegangen → P'(4 | 3)
So richtig
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: 2 rechts, 2 oben, dann noch einmal → P'(6 | 5)

Der Weg von P bis Z wird von Z aus noch einmal gegangen. Z liegt in der Mitte zwischen P und P'.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Spiegle den Punkt P(4 | 6) am Punkt Z(3 | 6). Gib die Koordinaten des Bildpunktes P' an.
    01234567891012345678PZ
    So fängst du an:
    Von P nach Z: 1 nach links, von Z aus denselben Weg weiter.
    Lösung zeigen
    1. Von P nach Z: 1 nach links, von Z aus denselben Weg weiter.
    2. Bildpunkt: P'(2 | 6)
    Ergebnis:
    P'(2 | 6)
  2. ●5
    Der Punkt P(1 | 4) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(5 | 8). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    Lösung zeigen
    1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    2. Mitte von x: zwischen 1 und 5 liegt 3. Mitte von y: zwischen 4 und 8 liegt 6.
    Ergebnis:
    Z(3 | 6)
  3. ★6
    Spiegle das Dreieck A(6 | 3), B(4 | 1), C(8 | 3) am Punkt Z(7 | 2). Gib die Koordinaten aller drei Bildpunkte an.
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    1. A → Z: 1 nach rechts und 1 nach unten, weiter bis A'(8 | 1)
    2. B → Z: 3 nach rechts und 1 nach oben, weiter bis B'(10 | 3)
    3. C → Z: 1 nach links und 1 nach unten, weiter bis C'(6 | 1)
    Ergebnis:
    A'(8 | 1), B'(10 | 3), C'(6 | 1)

3Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

EntdeckenFrage

Warum hat jede Schneeflocke sechs Arme – und nie fünf oder acht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eiskristalle sind aus Wassermolekülen in einem sechseckigen Gitter gebaut. Deshalb wächst ein Schneekristall in sechs gleiche Richtungen und ist drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 60°.

MerkenDrehung um 90° und 180°

Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.

Bei 90° gegen den Uhrzeigersinn wird „3 nach rechts“ zu „3 nach oben“. Die halbe Drehung ist die Punktspiegelung.

BeispielUm einen Punkt drehen (90° und 180°)

Dreieck A(8 | 0), B(5 | 1), C(9 | 1): um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(6 | 2) drehen. Wo liegt C'?
01234567891012345678ABCZ
Schritt für Schritt
  1. Von Z nach C: 3 nach rechts und 1 nach unten. Gedreht: 1 nach rechts und 3 nach oben.
  2. Von Z aus: C'(7 | 5)
  1. Von Z nach C: 3 nach rechts und 1 nach unten. Gedreht: 1 nach rechts und 3 nach oben.
  2. Von Z aus: C'(7 | 5)
Ergebnis:
C'(7 | 5)

AchtungDrehwinkel oder Drehrichtung falsch

So nicht
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn → P'(3 | 1)
So richtig
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn: aus 2 nach rechts wird 2 nach oben → P'(3 | 5)

Eine volle Runde sind 360°. Gegen den Uhrzeigersinn heißt: nach links herum, wie die Zeiger rückwärts laufen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Punkt P(6 | 7) wurde um Z(7 | 6) gedreht und liegt jetzt bei P'(6 | 5). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    So fängst du an:
    Z nach P: 1 nach links und 1 nach oben. Z nach P': 1 nach links und 1 nach unten.
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 1 nach links und 1 nach oben. Z nach P': 1 nach links und 1 nach unten.
    2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
    Ergebnis:
    um 90° gegen den Uhrzeigersinn
  2. ●8
    Drehe P(6 | 0) um Z(4 | 2), und zwar um 90° im Uhrzeigersinn. Wo liegt P'?
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach P: 2 nach rechts und 2 nach unten. Gedreht: 2 nach links und 2 nach unten.
    2. Von Z aus: P'(2 | 0)
    Ergebnis:
    P'(2 | 0)
  3. ★9
    Drehe das Dreieck A(8 | 0), B(4 | 6), C(6 | 5) um 90° im Uhrzeigersinn um Z(6 | 3). Gib die Koordinaten von A', B' und C' an.
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    1. A: 2 nach rechts und 3 nach unten wird 3 nach links und 2 nach unten
    2. B: 2 nach links und 3 nach oben wird 3 nach rechts und 2 nach oben
    3. C: 2 nach oben wird 2 nach rechts
    Ergebnis:
    A'(3 | 1), B'(9 | 5), C'(8 | 3)

4Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift. Zweimal an derselben Achse gespiegelt ist wie gar nicht gespiegelt.

MerkenWelche Abbildung?

Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.

Sonst verrät eine Seite die Abbildung. Gleiche Richtung heißt Verschiebung, Gegenrichtung Punktspiegelung, Viertelrunde Drehung um 90°.

BeispielWelche Abbildung war es?

Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Punktspiegelung aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
0123456789101112123456789ABCA'B'C'
Schritt für Schritt
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 3 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 3 nach links und 1 nach unten.
  3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
  4. Leon hat recht: Punktspiegelung.
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 3 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 3 nach links und 1 nach unten.
  3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
  4. Leon hat recht: Punktspiegelung.
Ergebnis:
ja

AchtungAbbildung am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°
So richtig
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung

Erst den Umlaufsinn prüfen, dann die Richtung einer Seite. Keine der Abbildungen ändert eine Länge.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Abbildung führt ABC in A'B'C' über: Verschiebung, Punktspiegelung, Drehung um 90° oder Achsenspiegelung?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    So fängst du an:
    Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 1 nach rechts, A'B' zeigt 1 nach rechts.
    3. Gleiche Richtung: Die Figur wurde verschoben.
    Ergebnis:
    Verschiebung
  2. ●11
    Durch welche Abbildung ist das Dreieck A'B'C' aus dem Dreieck ABC entstanden?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': im Uhrzeigersinn.
    2. Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt – das schafft nur eine Achsenspiegelung.
    Ergebnis:
    Achsenspiegelung
  3. ★12
    Das gelbe Dreieck ist das Bild des blauen. Welche Abbildung war es genau – mit Pfeil, Zentrum oder Achse?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 2 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 2 nach links und 1 nach unten.
    3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
    4. Punktspiegelung an Z(7 | 6)
    Ergebnis:
    Punktspiegelung an Z(7 | 6)

5Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Arten von Tapetenmustern gibt es überhaupt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau 17. Jedes Muster, das sich in zwei Richtungen endlos wiederholt, gehört zu einer von 17 Symmetriearten aus Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen. Das hat Jewgraf Fjodorow 1891 bewiesen.

MerkenDeckungsgleich

Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.

Bild und Figur sind deckungsgleich: Ausgeschnitten passen sie genau aufeinander.

BeispielDeckungsgleiche Figuren

Sind die Figuren 1 und 2 deckungsgleich? Begründe.
12
Schritt für Schritt
  1. Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
  2. Keine Lage von Figur 1 passt genau auf Figur 2: Die Form ist anders.
  3. Gleich viele Kästchen reichen nicht, sie sind nicht deckungsgleich.
  1. Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
  2. Keine Lage von Figur 1 passt genau auf Figur 2: Die Form ist anders.
  3. Gleich viele Kästchen reichen nicht, sie sind nicht deckungsgleich.
Ergebnis:
nein

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Rechteck ist 6 cm lang und 3 cm breit. Es wird um 90° gedreht. Welche Fläche hat das Bild?
    So fängst du an:
    Die Drehung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    Lösung zeigen
    1. Die Drehung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 6 cm · 3 cm = 18 cm²
    Ergebnis:
    18 cm²
  2. ●14
    Ein Rechteck ist 3 cm lang und 8 cm breit. Es wird verschoben. Welche Fläche hat das Bild?
    Lösung zeigen
    1. Die Verschiebung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 3 cm · 8 cm = 24 cm²
    Ergebnis:
    24 cm²
  3. ★15
    Kann man Figur 1 so ausschneiden, dass sie genau auf Figur 2 passt? Begründe.
    12
    Lösung zeigen
    1. Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
    2. Figur 1, halb herum gedreht, liegt genau auf Figur 2.
    3. Also sind sie deckungsgleich.
    Ergebnis:
    ja

6Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler Escher Eidechsen gezeichnet, die eine Fläche lückenlos füllen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher begann mit einem Parkett aus Vielecken. Was er an einer Seite wegschnitt, setzte er an der passenden anderen Seite wieder an. So blieb die Figur deckungsgleich und passte durch Drehen und Verschieben lückenlos an ihre Nachbarn.

MerkenBandornamente und Parkette

Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Ein Parkett bedeckt eine Fläche lückenlos, an jeder Ecke ergeben die Winkel 360°.

BeispielBandornamente untersuchen

Wie entsteht im Bild aus einem Motiv das nächste: Verschiebung, Achsenspiegelung oder Punktspiegelung?
Schritt für Schritt
  1. Nachbarn liegen gleich: Jede Kante zeigt in dieselbe Richtung.
  2. Das ist eine Verschiebung um 3 Kästchen.
  1. Nachbarn liegen gleich: Jede Kante zeigt in dieselbe Richtung.
  2. Das ist eine Verschiebung um 3 Kästchen.
Ergebnis:
Verschiebung

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(3 | 8)
So richtig
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(5 | 4)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht genau denselben Weg.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Durch welche Abbildung geht im Bandornament jedes Motiv in das direkt folgende über?
    So fängst du an:
    Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    Lösung zeigen
    1. Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    2. Das ist eine halbe Drehung, also eine Punktspiegelung.
    3. Jedes zweite Motiv entsteht durch eine Verschiebung um 6 Kästchen.
    Ergebnis:
    Punktspiegelung
  2. ●17
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 3 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 15. Motiv?
    Lösung zeigen
    1. Vor dem 15. Motiv liegen 14 Motive.
    2. Jede Verschiebung ist 3 cm lang.
    3. 14 · 3 cm = 42 cm
    Ergebnis:
    bei 42 cm
  3. ★18
    Eine Tapetenborte ist 150 cm lang. Ein Motiv ist 6 cm breit, zwischen zwei Motiven sind 2 cm frei. Wie viele ganze Motive passen darauf, wenn die Borte mit einem Motiv beginnt?
    Lösung zeigen
    1. Motiv und Lücke zusammen: 6 cm + 2 cm = 8 cm.
    2. Das letzte Motiv braucht keine Lücke dahinter: 150 cm + 2 cm = 152 cm.
    3. 152 : 8 = 19 Rest 0
    Ergebnis:
    19 Motive

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
    Lösung zeigen
    1. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
    2. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur nicht auf sich selbst.
    3. Die Figur ist nur achsensymmetrisch.
    Ergebnis:
    nur achsensymmetrisch
  2. ●20
    Die Figur mit der Ecke A(2 | 0) ist punktsymmetrisch. Verbinde gegenüberliegende Ecken. Wo schneiden sich die Strecken?
    01234567891012345678ABCD
    Lösung zeigen
    1. A(2 | 0) und C(2 | 4) liegen sich gegenüber.
    2. Mitte von x: zwischen 2 und 2 liegt 2. Mitte von y: zwischen 0 und 4 liegt 2.
    Ergebnis:
    Z(2 | 2)
  3. ●21
    Der Punkt P(2 | 0) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(6 | 4). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    Lösung zeigen
    1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    2. Mitte von x: zwischen 2 und 6 liegt 4. Mitte von y: zwischen 0 und 4 liegt 2.
    Ergebnis:
    Z(4 | 2)
  4. ●22
    Der Punkt P(10 | 3) wurde um Z(7 | 4) gedreht und liegt jetzt bei P'(6 | 1). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 3 nach rechts und 1 nach unten. Z nach P': 1 nach links und 3 nach unten.
    2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° im Uhrzeigersinn.
    Ergebnis:
    um 90° im Uhrzeigersinn
  5. ●23
    Welche Figuren sind NICHT durch eine Verschiebung aus der blauen Figur entstanden?
    ABCblau
    Lösung zeigen
    1. Verschoben heißt: Jede Kante zeigt noch in dieselbe Richtung wie vorher.
    2. Anders liegen: A gespiegelt, C gedreht.
    3. Nicht verschoben: A und C
    Ergebnis:
    A und C
  6. ●24
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 3 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 5. Motiv?
    Lösung zeigen
    1. Vor dem 5. Motiv liegen 4 Motive.
    2. Jede Verschiebung ist 3 cm lang.
    3. 4 · 3 cm = 12 cm
    Ergebnis:
    bei 12 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.
Punktspiegelung
Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.
Drehung um 90° und 180°
Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.
Welche Abbildung?
Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.
Deckungsgleich
Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.
Bandornamente und Parkette
Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

    25
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0

  2. Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

    26
    Der Punkt P(1 | 3) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(5 | 7). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Z(3 | 5)

  3. Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

    27
    Ein Rechteck ist 7 cm lang und 9 cm breit. Es wird an einer Achse gespiegelt. Welche Fläche hat das Bild?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63 cm²

  4. Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

    28
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 8 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 14. Motiv?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    bei 104 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe achsensymmetrisch und punktsymmetrisch mit ihren zwei Prüfungen: Falten und halb herumdrehen.

Wo brauchst du das?

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Buchstaben und Logos, Fliesen und Tapeten, Spielkarten, die auf dem Kopf gleich aussehen. Beruf: Fliesenleger, Grafikdesign, Maschinenbau: Muster und Bauteile durch Spiegeln und Drehen planen.

Wörter

Achsensymmetrisch
links und rechts gleich, wie gespiegelt
Punktsymmetrisch
um den Punkt gedreht sieht es gleich aus

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel, Verschieben, Spiegeln, Drehen

Darauf baut auf: Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem

Lösungen

  1. 4
  2. ja
  3. 1
  4. P'(2 | 6)
  5. Z(3 | 6)
  6. A'(8 | 1), B'(10 | 3), C'(6 | 1)
  7. um 90° gegen den Uhrzeigersinn
  8. P'(2 | 0)
  9. A'(3 | 1), B'(9 | 5), C'(8 | 3)
  10. Verschiebung
  11. Achsenspiegelung
  12. Punktspiegelung an Z(7 | 6)
  13. 18 cm²
  14. 24 cm²
  15. ja
  16. Punktspiegelung
  17. bei 42 cm
  18. 19 Motive
  19. nur achsensymmetrisch
  20. Z(2 | 2)
  21. Z(4 | 2)
  22. um 90° im Uhrzeigersinn
  23. A und C
  24. bei 12 cm
  25. 0
  26. Z(3 | 5)
  27. 63 cm²
  28. bei 104 cm
  29. x = 1 nach rechts, y = 3 nach oben
  30. P'(6 | −1)