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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Symmetrie und Abbildungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Gruppen streiten. H sieht gefaltet und gedreht gleich aus, N nur gedreht, A nur gefaltet. „Sieht gleich aus“ reicht nicht, um sich zu einigen, und jede Gruppe hat andere Gruppen gebildet. Ihr habt zwei verschiedene Prüfungen benutzt, ohne es zu merken. Falten heißt achsensymmetrisch, halb herumdrehen heißt punktsymmetrisch. Mit diesen beiden Wörtern ist jede Entscheidung prüfbar.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Koordinatensystem hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

  1. ●30
    Zeichne den Punkt P(6 | 5) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
    Lösung zeigen
    1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
    2. 6 nach rechts, 5 nach oben
    Ergebnis:
    x = 6 nach rechts, y = 5 nach oben
  2. ●31
    Spiegle P(1 | 2) an der y-Achse. Wo liegt der Bildpunkt P'?
    Lösung zeigen
    1. Spiegeln an der y-Achse: x wechselt das Vorzeichen, y bleibt
    2. P'(−1 | 2)
    Ergebnis:
    P'(−1 | 2)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAbbilden heißt: jeder Punkt bewegt sich

Spiegeln, Drehen und Verschieben bewegen jeden Punkt einer Figur nach derselben Vorschrift. Die Figur bleibt dabei, wie sie ist: gleich lang, gleiche Winkel. Symmetrisch ist eine Figur, wenn eine solche Bewegung sie genau auf sich selbst legt.

Punktspiegelung an Z: Jeder Punkt des Dreiecks geht durch Z und gleich weit dahinterZJeder Punkt durch Z, gleich weit dahinter

WeiterdenkenDenk nach

Ein Dreieck wird zweimal hintereinander an demselben Punkt gespiegelt. Wo liegt es danach – und warum musst du dafür nichts zeichnen?

1Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Kreisen oder Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechsecke passen lückenlos aneinander, weil an jeder Ecke drei Winkel von 120° genau 360° ergeben. Kreise lassen Lücken, Fünfecke passen nicht. Thomas Hales hat 1999 bewiesen, dass Sechsecke dabei am wenigsten Wand für dieselbe Fläche brauchen.

MerkenAchsensymmetrisch und punktsymmetrisch

Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.

Punktsymmetrisch heißt: Halb herum gedreht liegt die Figur genau auf sich selbst.

BeispielAchsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?

Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
Schritt für Schritt
  1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
  2. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
  3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
  1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
  2. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
  3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
Ergebnis:
1

AchtungAchsen- und Punktsymmetrie verwechselt

So nicht
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Faltlinie durch die Mitte → achsensymmetrisch
So richtig
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Falten passt nicht, halbe Drehung passt → nur punktsymmetrisch

Zwei verschiedene Prüfungen: Falten für achsensymmetrisch, halb herumdrehen für punktsymmetrisch.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
    So fängst du an:
    Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
    Lösung zeigen
    1. Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
    2. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur nicht auf sich selbst.
    3. Die Figur ist nur achsensymmetrisch.
    Ergebnis:
    nur achsensymmetrisch
  2. ●2
    Sara sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
    2. Also stimmt die Aussage.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★3
    Die Figur im Bild hat 8 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Keine Faltlinie teilt die Figur in zwei Hälften, die genau aufeinanderpassen.
    2. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
    3. Die Figur ist nur punktsymmetrisch.
    Ergebnis:
    nur punktsymmetrisch

2Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

EntdeckenFrage

Warum gibt es keine Bodenfliesen in Form regelmäßiger Fünfecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Ecke eines regelmäßigen Fünfecks hat 108°. Drei davon ergeben 324°, vier schon 432°. Die 360° an einer Ecke werden nie genau erreicht, es bleibt immer eine Lücke oder etwas überlappt.

MerkenPunktspiegelung

Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.

Z liegt genau in der Mitte zwischen P und dem Bildpunkt P'.

BeispielAn einem Punkt spiegeln

Der Punkt P(10 | 8) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(4 | 2). Wo liegt Z?
01234567891012345678PP'
Schritt für Schritt
  1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
  2. Mitte von x: zwischen 10 und 4 liegt 7. Mitte von y: zwischen 8 und 2 liegt 5.
  1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
  2. Mitte von x: zwischen 10 und 4 liegt 7. Mitte von y: zwischen 8 und 2 liegt 5.
Ergebnis:
Z(7 | 5)

AchtungBeim Spiegeln an einem Punkt nur bis zum Zentrum gegangen

So nicht
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: bis Z gegangen → P'(4 | 3)
So richtig
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: 2 rechts, 2 oben, dann noch einmal → P'(6 | 5)

Der Weg von P bis Z wird von Z aus noch einmal gegangen. Z liegt in der Mitte zwischen P und P'.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Punkt P(6 | 7) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(6 | 3). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    So fängst du an:
    Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    Lösung zeigen
    1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    2. Mitte von x: zwischen 6 und 6 liegt 6. Mitte von y: zwischen 7 und 3 liegt 5.
    Ergebnis:
    Z(6 | 5)
  2. ●5
    Spiegle den Punkt P(6 | 5) am Punkt Z(5 | 5). Gib die Koordinaten des Bildpunktes P' an.
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von P nach Z: 1 nach links, von Z aus denselben Weg weiter.
    2. Bildpunkt: P'(4 | 5)
    Ergebnis:
    P'(4 | 5)
  3. ★6
    Spiegle P(7 | 7) am Punkt Z(7 | 6). Wie heißt der Bildpunkt P'? Prüfe, ob Z in der Mitte liegt.
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von P nach Z: 1 nach unten, von Z aus denselben Weg weiter.
    2. Bildpunkt: P'(7 | 5)
    3. Probe: Die Mitte von 7 und 7 ist 7, die von 7 und 5 ist 6.
    Ergebnis:
    P'(7 | 5)

3Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

EntdeckenFrage

Warum hat jede Schneeflocke sechs Arme – und nie fünf oder acht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eiskristalle sind aus Wassermolekülen in einem sechseckigen Gitter gebaut. Deshalb wächst ein Schneekristall in sechs gleiche Richtungen und ist drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 60°.

MerkenDrehung um 90° und 180°

Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.

Bei 90° gegen den Uhrzeigersinn wird „3 nach rechts“ zu „3 nach oben“. Die halbe Drehung ist die Punktspiegelung.

BeispielUm einen Punkt drehen (90° und 180°)

Dreieck A(4 | 0), B(4 | 3), C(6 | 5): um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(6 | 2) drehen. Wo liegt B'?
01234567891012345678ABCZ
Schritt für Schritt
  1. Von Z nach B: 2 nach links und 1 nach oben. Gedreht: 1 nach links und 2 nach unten.
  2. Von Z aus: B'(5 | 0)
  1. Von Z nach B: 2 nach links und 1 nach oben. Gedreht: 1 nach links und 2 nach unten.
  2. Von Z aus: B'(5 | 0)
Ergebnis:
B'(5 | 0)

AchtungDrehwinkel oder Drehrichtung falsch

So nicht
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn → P'(3 | 1)
So richtig
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn: aus 2 nach rechts wird 2 nach oben → P'(3 | 5)

Eine volle Runde sind 360°. Gegen den Uhrzeigersinn heißt: nach links herum, wie die Zeiger rückwärts laufen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Punkt P(8 | 0) wurde um Z(6 | 2) gedreht und liegt jetzt bei P'(4 | 4). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    So fängst du an:
    Z nach P: 2 nach rechts und 2 nach unten. Z nach P': 2 nach links und 2 nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 2 nach rechts und 2 nach unten. Z nach P': 2 nach links und 2 nach oben.
    2. Jede Richtung hat sich umgekehrt: eine halbe Drehung.
    Ergebnis:
    um 180°
  2. ●8
    Drehe P(5 | 6) um Z(6 | 5), und zwar um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Wo liegt P'?
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach P: 1 nach links und 1 nach oben. Gedreht: 1 nach links und 1 nach unten.
    2. Von Z aus: P'(5 | 4)
    Ergebnis:
    P'(5 | 4)
  3. ★9
    Der Punkt P(5 | 4) wurde um Z(4 | 6) gedreht und liegt jetzt bei P'(2 | 5). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 1 nach rechts und 2 nach unten. Z nach P': 2 nach links und 1 nach unten.
    2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° im Uhrzeigersinn.
    Ergebnis:
    um 90° im Uhrzeigersinn

4Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift. Zweimal an derselben Achse gespiegelt ist wie gar nicht gespiegelt.

MerkenWelche Abbildung?

Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.

Sonst verrät eine Seite die Abbildung. Gleiche Richtung heißt Verschiebung, Gegenrichtung Punktspiegelung, Viertelrunde Drehung um 90°.

BeispielWelche Abbildung war es?

Durch welche Abbildung ist das Dreieck A'B'C' aus dem Dreieck ABC entstanden?
0123456789101112123456789ABCA'B'C'
Schritt für Schritt
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 1 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 1 nach links und 1 nach oben.
  3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 1 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 1 nach links und 1 nach oben.
  3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
Ergebnis:
Punktspiegelung

AchtungAbbildung am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°
So richtig
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung

Erst den Umlaufsinn prüfen, dann die Richtung einer Seite. Keine der Abbildungen ändert eine Länge.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Achsenspiegelung aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    So fängst du an:
    Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 1 nach rechts, A'B' zeigt 1 nach unten.
    3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
    4. Leon hat nicht recht, es ist eine Drehung um 90°.
    Ergebnis:
    nein, Drehung um 90°
  2. ★11
    Durch welche Abbildung ist A'B'C' aus ABC entstanden? Gib auch Pfeil, Zentrum oder Achse an.
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': im Uhrzeigersinn.
    2. Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt – das schafft nur eine Achsenspiegelung.
    3. Achsenspiegelung an der senkrechten Achse durch (5 | 0)
    Ergebnis:
    Achsenspiegelung an der senkrechten Achse durch (5 | 0)

5Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Arten von Tapetenmustern gibt es überhaupt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau 17. Jedes Muster, das sich in zwei Richtungen endlos wiederholt, gehört zu einer von 17 Symmetriearten aus Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen. Das hat Jewgraf Fjodorow 1891 bewiesen.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenDeckungsgleich

Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.

Bild und Figur sind deckungsgleich: Ausgeschnitten passen sie genau aufeinander.

BeispielDeckungsgleiche Figuren

Ein Rechteck ist 10 cm lang und 2 cm breit. Es wird verschoben. Welche Fläche hat das Bild?
Schritt für Schritt
  1. Die Verschiebung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
  2. 10 cm · 2 cm = 20 cm²
  1. Die Verschiebung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
  2. 10 cm · 2 cm = 20 cm²
Ergebnis:
20 cm²

AchtungUmfang statt Flächeninhalt

So nicht
Quadrat 6 m, Fläche → 24 m
So richtig
Quadrat 6 m, Fläche → 6 · 6 = 36 m²

Frag dich: Wie viele Kästchen passen hinein? Rechne Länge mal Breite.

ÜbenJetzt du

  1. ○12
    Im Dreieck ABC ist AB 8 cm lang, der Winkel bei B misst 120°. Es wird an einem Punkt gespiegelt. Wie lang ist A'B', wie groß der Winkel bei B'?
    So fängst du an:
    Die Punktspiegelung ändert keine Länge und keinen Winkel.
    Lösung zeigen
    1. Die Punktspiegelung ändert keine Länge und keinen Winkel.
    2. A'B' ist 8 cm lang, der Winkel bei B' misst 120°.
    Ergebnis:
    8 cm und 120°
  2. ●13
    Im Dreieck ABC ist AB 4 cm lang, der Winkel bei B misst 70°. Es wird an einem Punkt gespiegelt. Wie lang ist A'B', wie groß der Winkel bei B'?
    Lösung zeigen
    1. Die Punktspiegelung ändert keine Länge und keinen Winkel.
    2. A'B' ist 4 cm lang, der Winkel bei B' misst 70°.
    Ergebnis:
    4 cm und 70°
  3. ★14
    Sind die Figuren 1 und 2 deckungsgleich? Begründe.
    12
    Lösung zeigen
    1. Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
    2. Keine Lage von Figur 1 passt genau auf Figur 2: Die Form ist anders.
    3. Gleich viele Kästchen reichen nicht, sie sind nicht deckungsgleich.
    Ergebnis:
    nein

6Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler Escher Eidechsen gezeichnet, die eine Fläche lückenlos füllen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher begann mit einem Parkett aus Vielecken. Was er an einer Seite wegschnitt, setzte er an der passenden anderen Seite wieder an. So blieb die Figur deckungsgleich und passte durch Drehen und Verschieben lückenlos an ihre Nachbarn.

MerkenBandornamente und Parkette

Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Ein Parkett bedeckt eine Fläche lückenlos, an jeder Ecke ergeben die Winkel 360°.

BeispielBandornamente untersuchen

Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 6 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 11. Motiv?
Schritt für Schritt
  1. Vor dem 11. Motiv liegen 10 Motive.
  2. Jede Verschiebung ist 6 cm lang.
  3. 10 · 6 cm = 60 cm
  1. Vor dem 11. Motiv liegen 10 Motive.
  2. Jede Verschiebung ist 6 cm lang.
  3. 10 · 6 cm = 60 cm
Ergebnis:
bei 60 cm

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(3 | 8)
So richtig
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(5 | 4)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht genau denselben Weg.

ÜbenJetzt du

  1. ○15
    Durch welche Abbildung geht im Bandornament jedes Motiv in das direkt folgende über?
    So fängst du an:
    Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    Lösung zeigen
    1. Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    2. Das ist eine halbe Drehung, also eine Punktspiegelung.
    3. Jedes zweite Motiv entsteht durch eine Verschiebung um 6 Kästchen.
    Ergebnis:
    Punktspiegelung
  2. ●16
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 5 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 14. Motiv?
    Lösung zeigen
    1. Vor dem 14. Motiv liegen 13 Motive.
    2. Jede Verschiebung ist 5 cm lang.
    3. 13 · 5 cm = 65 cm
    Ergebnis:
    bei 65 cm
  3. ★17
    Eine Tapetenborte ist 100 cm lang. Ein Motiv ist 3 cm breit, zwischen zwei Motiven sind 2 cm frei. Wie viele ganze Motive passen darauf, wenn die Borte mit einem Motiv beginnt?
    Lösung zeigen
    1. Motiv und Lücke zusammen: 3 cm + 2 cm = 5 cm.
    2. Das letzte Motiv braucht keine Lücke dahinter: 100 cm + 2 cm = 102 cm.
    3. 102 : 5 = 20 Rest 2
    Ergebnis:
    20 Motive

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●18
    Emil sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
    2. Also stimmt die Aussage.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●19
    Die Figur mit der Ecke C(6 | 6) ist punktsymmetrisch. Verbinde gegenüberliegende Ecken. Wo schneiden sich die Strecken?
    01234567891012345678ABCD
    Lösung zeigen
    1. C(6 | 6) und A(0 | 4) liegen sich gegenüber.
    2. Mitte von x: zwischen 6 und 0 liegt 3. Mitte von y: zwischen 6 und 4 liegt 5.
    Ergebnis:
    Z(3 | 5)
  3. ●20
    Spiegle den Punkt P(6 | 4) am Punkt Z(7 | 3). Gib die Koordinaten des Bildpunktes P' an.
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von P nach Z: 1 nach rechts und 1 nach unten, von Z aus denselben Weg weiter.
    2. Bildpunkt: P'(8 | 2)
    Ergebnis:
    P'(8 | 2)
  4. ●21
    Drehe P(9 | 2) um Z(8 | 5), und zwar um 180°. Wo liegt P'?
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach P: 1 nach rechts und 3 nach unten. Gedreht: 1 nach links und 3 nach oben.
    2. Von Z aus: P'(7 | 8)
    Ergebnis:
    P'(7 | 8)
  5. ●22
    Figur B ist durch eine Verschiebung aus der blauen Figur entstanden. Beschreibe den Verschiebungspfeil.
    ABCblau
    Lösung zeigen
    1. Suche eine Ecke der blauen Figur und dieselbe Ecke in Figur B.
    2. Zähle die Kästchen: 8 nach rechts.
    3. Jede andere Ecke geht denselben Weg.
    Ergebnis:
    8 nach rechts
  6. ●23
    Im Dreieck ABC ist AB 7 cm lang, der Winkel bei B misst 120°. Es wird an einem Punkt gespiegelt. Wie lang ist A'B', wie groß der Winkel bei B'?
    Lösung zeigen
    1. Die Punktspiegelung ändert keine Länge und keinen Winkel.
    2. A'B' ist 7 cm lang, der Winkel bei B' misst 120°.
    Ergebnis:
    7 cm und 120°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.
Punktspiegelung
Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.
Drehung um 90° und 180°
Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.
Welche Abbildung?
Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.
Deckungsgleich
Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.
Bandornamente und Parkette
Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

    24
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  2. Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

    25
    Das Dreieck A(8 | 5), B(4 | 2), C(5 | 8) wird an Z(7 | 5) gespiegelt. Wo liegt A'?
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    A'(6 | 5)

  3. Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

    26
    Der Punkt P(6 | 5) wurde um Z(3 | 6) gedreht und liegt jetzt bei P'(0 | 7). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    um 180°

  4. Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

    27
    Durch welche Abbildung ist das Dreieck A'B'C' aus dem Dreieck ABC entstanden?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Achsenspiegelung

  5. Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

    28
    Ein Rechteck ist 11 cm lang und 6 cm breit. Es wird verschoben. Welche Fläche hat das Bild?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66 cm²

  6. Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

    29
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 5 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 15. Motiv?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    bei 70 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe achsensymmetrisch und punktsymmetrisch mit ihren zwei Prüfungen: Falten und halb herumdrehen.

Wo brauchst du das?

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Buchstaben und Logos, Fliesen und Tapeten, Spielkarten, die auf dem Kopf gleich aussehen. Beruf: Fliesenleger, Grafikdesign, Maschinenbau: Muster und Bauteile durch Spiegeln und Drehen planen.

Wörter

Achsensymmetrisch
links und rechts gleich, wie gespiegelt
Punktsymmetrisch
um den Punkt gedreht sieht es gleich aus

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel, Verschieben, Spiegeln, Drehen

Darauf baut auf: Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem

Lösungen

  1. nur achsensymmetrisch
  2. ja
  3. nur punktsymmetrisch
  4. Z(6 | 5)
  5. P'(4 | 5)
  6. P'(7 | 5)
  7. um 180°
  8. P'(5 | 4)
  9. um 90° im Uhrzeigersinn
  10. nein, Drehung um 90°
  11. Achsenspiegelung an der senkrechten Achse durch (5 | 0)
  12. 8 cm und 120°
  13. 4 cm und 70°
  14. nein
  15. Punktspiegelung
  16. bei 65 cm
  17. 20 Motive
  18. ja
  19. Z(3 | 5)
  20. P'(8 | 2)
  21. P'(7 | 8)
  22. 8 nach rechts
  23. 7 cm und 120°
  24. 2
  25. A'(6 | 5)
  26. um 180°
  27. Achsenspiegelung
  28. 66 cm²
  29. bei 70 cm
  30. x = 6 nach rechts, y = 5 nach oben
  31. P'(−1 | 2)