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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Symmetrie und Abbildungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Gruppen streiten. H sieht gefaltet und gedreht gleich aus, N nur gedreht, A nur gefaltet. „Sieht gleich aus“ reicht nicht, um sich zu einigen, und jede Gruppe hat andere Gruppen gebildet. Ihr habt zwei verschiedene Prüfungen benutzt, ohne es zu merken. Falten heißt achsensymmetrisch, halb herumdrehen heißt punktsymmetrisch. Mit diesen beiden Wörtern ist jede Entscheidung prüfbar.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Koordinatensystem hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

  1. ●28
    Zeichne den Punkt P(8 | 5) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
    Lösung zeigen
    1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
    2. 8 nach rechts, 5 nach oben
    Ergebnis:
    x = 8 nach rechts, y = 5 nach oben
  2. ●29
    Spiegle P(1 | 3) an der x-Achse. Wo liegt der Bildpunkt P'?
    Lösung zeigen
    1. Spiegeln an der x-Achse: y wechselt das Vorzeichen, x bleibt
    2. P'(1 | −3)
    Ergebnis:
    P'(1 | −3)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAbbilden heißt: jeder Punkt bewegt sich

Spiegeln, Drehen und Verschieben bewegen jeden Punkt einer Figur nach derselben Vorschrift. Die Figur bleibt dabei, wie sie ist: gleich lang, gleiche Winkel. Symmetrisch ist eine Figur, wenn eine solche Bewegung sie genau auf sich selbst legt.

Punktspiegelung an Z: Jeder Punkt des Dreiecks geht durch Z und gleich weit dahinterZJeder Punkt durch Z, gleich weit dahinter

WeiterdenkenDenk nach

Ein Dreieck wird zweimal hintereinander an demselben Punkt gespiegelt. Wo liegt es danach – und warum musst du dafür nichts zeichnen?

1Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Kreisen oder Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechsecke passen lückenlos aneinander, weil an jeder Ecke drei Winkel von 120° genau 360° ergeben. Kreise lassen Lücken, Fünfecke passen nicht. Thomas Hales hat 1999 bewiesen, dass Sechsecke dabei am wenigsten Wand für dieselbe Fläche brauchen.

MerkenAchsensymmetrisch und punktsymmetrisch

Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.

Punktsymmetrisch heißt: Halb herum gedreht liegt die Figur genau auf sich selbst.

BeispielAchsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?

Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
Schritt für Schritt
  1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
  2. Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht, schräg steigend, schräg fallend – zusammen 4.
  3. Die Figur hat 4 Symmetrieachsen.
  1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
  2. Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht, schräg steigend, schräg fallend – zusammen 4.
  3. Die Figur hat 4 Symmetrieachsen.
Ergebnis:
4

AchtungAchsen- und Punktsymmetrie verwechselt

So nicht
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Faltlinie durch die Mitte → achsensymmetrisch
So richtig
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Falten passt nicht, halbe Drehung passt → nur punktsymmetrisch

Zwei verschiedene Prüfungen: Falten für achsensymmetrisch, halb herumdrehen für punktsymmetrisch.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
    So fängst du an:
    Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht, schräg steigend, schräg fallend – zusammen 4.
    Lösung zeigen
    1. Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht, schräg steigend, schräg fallend – zusammen 4.
    2. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
    3. Die Figur ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.
    Ergebnis:
    achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
  2. ●2
    Lea sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
    2. Also stimmt die Aussage.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★3
    Die Figur im Bild hat 8 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie? Denke auch an schräge Achsen.
    Lösung zeigen
    1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
    2. Symmetrieachsen: schräg steigend – zusammen 1.
    3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
    Ergebnis:
    1

2Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

EntdeckenFrage

Warum gibt es keine Bodenfliesen in Form regelmäßiger Fünfecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Ecke eines regelmäßigen Fünfecks hat 108°. Drei davon ergeben 324°, vier schon 432°. Die 360° an einer Ecke werden nie genau erreicht, es bleibt immer eine Lücke oder etwas überlappt.

MerkenPunktspiegelung

Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.

Z liegt genau in der Mitte zwischen P und dem Bildpunkt P'.

BeispielAn einem Punkt spiegeln

Das Dreieck A(5 | 5), B(4 | 7), C(7 | 6) wird an Z(7 | 5) gespiegelt. Wo liegt A'?
01234567891012345678ABCZ
Schritt für Schritt
  1. Von A nach Z: 2 nach rechts, von Z aus denselben Weg noch einmal.
  2. Bildpunkt: A'(9 | 5)
  1. Von A nach Z: 2 nach rechts, von Z aus denselben Weg noch einmal.
  2. Bildpunkt: A'(9 | 5)
Ergebnis:
A'(9 | 5)

AchtungBeim Spiegeln an einem Punkt nur bis zum Zentrum gegangen

So nicht
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: bis Z gegangen → P'(4 | 3)
So richtig
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: 2 rechts, 2 oben, dann noch einmal → P'(6 | 5)

Der Weg von P bis Z wird von Z aus noch einmal gegangen. Z liegt in der Mitte zwischen P und P'.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Punkt P(3 | 8) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(9 | 4). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    So fängst du an:
    Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    Lösung zeigen
    1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    2. Mitte von x: zwischen 3 und 9 liegt 6. Mitte von y: zwischen 8 und 4 liegt 6.
    Ergebnis:
    Z(6 | 6)
  2. ●5
    Der Punkt P(2 | 4) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(4 | 8). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    Lösung zeigen
    1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    2. Mitte von x: zwischen 2 und 4 liegt 3. Mitte von y: zwischen 4 und 8 liegt 6.
    Ergebnis:
    Z(3 | 6)
  3. ★6
    Spiegle das Dreieck A(10 | 4), B(6 | 2), C(8 | 7) am Punkt Z(7 | 5). Gib die Koordinaten aller drei Bildpunkte an.
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    1. A → Z: 3 nach links und 1 nach oben, weiter bis A'(4 | 6)
    2. B → Z: 1 nach rechts und 3 nach oben, weiter bis B'(8 | 8)
    3. C → Z: 1 nach links und 2 nach unten, weiter bis C'(6 | 3)
    Ergebnis:
    A'(4 | 6), B'(8 | 8), C'(6 | 3)

3Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

EntdeckenFrage

Warum hat jede Schneeflocke sechs Arme – und nie fünf oder acht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eiskristalle sind aus Wassermolekülen in einem sechseckigen Gitter gebaut. Deshalb wächst ein Schneekristall in sechs gleiche Richtungen und ist drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 60°.

MerkenDrehung um 90° und 180°

Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.

Bei 90° gegen den Uhrzeigersinn wird „3 nach rechts“ zu „3 nach oben“. Die halbe Drehung ist die Punktspiegelung.

BeispielUm einen Punkt drehen (90° und 180°)

Drehe P(6 | 5) um Z(5 | 3), und zwar um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Wo liegt P'?
01234567891012345678PZ
Schritt für Schritt
  1. Von Z nach P: 1 nach rechts und 2 nach oben. Gedreht: 2 nach links und 1 nach oben.
  2. Von Z aus: P'(3 | 4)
  1. Von Z nach P: 1 nach rechts und 2 nach oben. Gedreht: 2 nach links und 1 nach oben.
  2. Von Z aus: P'(3 | 4)
Ergebnis:
P'(3 | 4)

AchtungDrehwinkel oder Drehrichtung falsch

So nicht
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn → P'(3 | 1)
So richtig
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn: aus 2 nach rechts wird 2 nach oben → P'(3 | 5)

Eine volle Runde sind 360°. Gegen den Uhrzeigersinn heißt: nach links herum, wie die Zeiger rückwärts laufen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Drehe P(5 | 5) um Z(2 | 3), und zwar um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Wo liegt P'?
    01234567891012345678PZ
    So fängst du an:
    Von Z nach P: 3 nach rechts und 2 nach oben. Gedreht: 2 nach links und 3 nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach P: 3 nach rechts und 2 nach oben. Gedreht: 2 nach links und 3 nach oben.
    2. Von Z aus: P'(0 | 6)
    Ergebnis:
    P'(0 | 6)
  2. ●8
    Dreieck A(2 | 8), B(8 | 4), C(8 | 7): um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(5 | 5) drehen. Wo liegt C'?
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach C: 3 nach rechts und 2 nach oben. Gedreht: 2 nach links und 3 nach oben.
    2. Von Z aus: C'(3 | 8)
    Ergebnis:
    C'(3 | 8)
  3. ★9
    Der Punkt P(8 | 2) wurde um Z(8 | 4) gedreht und liegt jetzt bei P'(6 | 4). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 2 nach unten. Z nach P': 2 nach links.
    2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° im Uhrzeigersinn.
    Ergebnis:
    um 90° im Uhrzeigersinn

4Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift. Zweimal an derselben Achse gespiegelt ist wie gar nicht gespiegelt.

MerkenWelche Abbildung?

Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.

Sonst verrät eine Seite die Abbildung. Gleiche Richtung heißt Verschiebung, Gegenrichtung Punktspiegelung, Viertelrunde Drehung um 90°.

BeispielWelche Abbildung war es?

Durch welche Abbildung ist das Dreieck A'B'C' aus dem Dreieck ABC entstanden?
0123456789101112123456789ABCA'B'C'
Schritt für Schritt
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 1 nach rechts, A'B' zeigt 1 nach oben.
  3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 1 nach rechts, A'B' zeigt 1 nach oben.
  3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
Ergebnis:
Drehung um 90°

AchtungAbbildung am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°
So richtig
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung

Erst den Umlaufsinn prüfen, dann die Richtung einer Seite. Keine der Abbildungen ändert eine Länge.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Verschiebung aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    So fängst du an:
    Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 2 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 2 nach rechts und 1 nach oben.
    3. Gleiche Richtung: Die Figur wurde verschoben.
    4. Leon hat recht: Verschiebung.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●11
    Welche Abbildung führt ABC in A'B'C' über: Verschiebung, Punktspiegelung, Drehung um 90° oder Achsenspiegelung?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 2 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 2 nach links und 1 nach unten.
    3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
    Ergebnis:
    Punktspiegelung
  3. ★12
    Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Punktspiegelung aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 1 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 1 nach links und 1 nach oben.
    3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
    4. Leon hat nicht recht, es ist eine Drehung um 90°.
    Ergebnis:
    nein, Drehung um 90°

5Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Arten von Tapetenmustern gibt es überhaupt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau 17. Jedes Muster, das sich in zwei Richtungen endlos wiederholt, gehört zu einer von 17 Symmetriearten aus Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen. Das hat Jewgraf Fjodorow 1891 bewiesen.

MerkenDeckungsgleich

Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.

Bild und Figur sind deckungsgleich: Ausgeschnitten passen sie genau aufeinander.

BeispielDeckungsgleiche Figuren

Ein Rechteck ist 11 cm lang und 2 cm breit. Es wird verschoben. Welche Fläche hat das Bild?
Schritt für Schritt
  1. Die Verschiebung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
  2. 11 cm · 2 cm = 22 cm²
  1. Die Verschiebung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
  2. 11 cm · 2 cm = 22 cm²
Ergebnis:
22 cm²

AchtungUmfang statt Flächeninhalt

So nicht
Quadrat 6 m, Fläche → 24 m
So richtig
Quadrat 6 m, Fläche → 6 · 6 = 36 m²

Frag dich: Wie viele Kästchen passen hinein? Rechne Länge mal Breite.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Rechteck ist 12 cm lang und 9 cm breit. Es wird an einer Achse gespiegelt. Welche Fläche hat das Bild?
    So fängst du an:
    Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    Lösung zeigen
    1. Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 12 cm · 9 cm = 108 cm²
    Ergebnis:
    108 cm²
  2. ●14
    Kann man Figur 1 so ausschneiden, dass sie genau auf Figur 2 passt? Begründe.
    12
    Lösung zeigen
    1. Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
    2. Figur 1, verschoben, liegt genau auf Figur 2.
    3. Also sind sie deckungsgleich.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★15
    Ein Rechteck ist 3 cm lang und 4 cm breit. Es wird an einer Achse gespiegelt. Welchen Umfang hat das Bild?
    Lösung zeigen
    1. Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 2 · 3 cm + 2 · 4 cm = 14 cm
    Ergebnis:
    14 cm

6Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler Escher Eidechsen gezeichnet, die eine Fläche lückenlos füllen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher begann mit einem Parkett aus Vielecken. Was er an einer Seite wegschnitt, setzte er an der passenden anderen Seite wieder an. So blieb die Figur deckungsgleich und passte durch Drehen und Verschieben lückenlos an ihre Nachbarn.

MerkenBandornamente und Parkette

Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Ein Parkett bedeckt eine Fläche lückenlos, an jeder Ecke ergeben die Winkel 360°.

BeispielBandornamente untersuchen

Wie entsteht im Bild aus einem Motiv das nächste: Verschiebung, Achsenspiegelung oder Punktspiegelung?
Schritt für Schritt
  1. Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
  2. Das ist eine halbe Drehung, also eine Punktspiegelung.
  3. Jedes zweite Motiv entsteht durch eine Verschiebung um 6 Kästchen.
  1. Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
  2. Das ist eine halbe Drehung, also eine Punktspiegelung.
  3. Jedes zweite Motiv entsteht durch eine Verschiebung um 6 Kästchen.
Ergebnis:
Punktspiegelung

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(3 | 8)
So richtig
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(5 | 4)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht genau denselben Weg.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 5 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 9. Motiv?
    So fängst du an:
    Vor dem 9. Motiv liegen 8 Motive.
    Lösung zeigen
    1. Vor dem 9. Motiv liegen 8 Motive.
    2. Jede Verschiebung ist 5 cm lang.
    3. 8 · 5 cm = 40 cm
    Ergebnis:
    bei 40 cm
  2. ●17
    Durch welche Abbildung geht im Bandornament jedes Motiv in das direkt folgende über?
    Lösung zeigen
    1. Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    2. Das ist eine halbe Drehung, also eine Punktspiegelung.
    3. Jedes zweite Motiv entsteht durch eine Verschiebung um 6 Kästchen.
    Ergebnis:
    Punktspiegelung
  3. ★18
    Eine Borte beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 3,5 cm breit, dazwischen bleibt 1 cm frei. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 11. Motiv?
    Lösung zeigen
    1. Vor dem 11. Motiv liegen 10 Motive.
    2. Jede Verschiebung ist 4,5 cm lang.
    3. 10 · 4,5 cm = 45 cm
    Ergebnis:
    bei 45 cm

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Can sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist achsensymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht, schräg steigend, schräg fallend – zusammen 4.
    2. Also stimmt die Aussage.
    Ergebnis:
    ja
  2. ●20
    Eine punktsymmetrische Figur hat die Ecken A(2 | 1), B(4 | 3), C(2 | 5), D(0 | 3). Wo liegt das Zentrum Z?
    01234567891012345678ABCD
    Lösung zeigen
    1. D(0 | 3) und B(4 | 3) liegen sich gegenüber.
    2. Mitte von x: zwischen 0 und 4 liegt 2. Mitte von y: zwischen 3 und 3 liegt 3.
    Ergebnis:
    Z(2 | 3)
  3. ●21
    Das Dreieck A(1 | 1), B(5 | 1), C(3 | 7) wird an Z(3 | 4) gespiegelt. Wo liegt C'?
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Von C nach Z: 3 nach unten, von Z aus denselben Weg noch einmal.
    2. Bildpunkt: C'(3 | 1)
    Ergebnis:
    C'(3 | 1)
  4. ●22
    Der Punkt P(2 | 4) wurde um Z(2 | 2) gedreht und liegt jetzt bei P'(0 | 2). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 2 nach oben. Z nach P': 2 nach links.
    2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
    Ergebnis:
    um 90° gegen den Uhrzeigersinn
  5. ●23
    Welche Figuren sind NICHT durch eine Verschiebung aus der blauen Figur entstanden?
    ABCblau
    Lösung zeigen
    1. Verschoben heißt: Jede Kante zeigt noch in dieselbe Richtung wie vorher.
    2. Anders liegen: A gespiegelt, C gedreht.
    3. Nicht verschoben: A und C
    Ergebnis:
    A und C
  6. ●24
    Lisa will ihren Tisch nur mit regelmäßigen Fünfecken bekleben, ohne Lücke und ohne Überlappung. Jede Ecke hat 108°. Geht das?
    Lösung zeigen
    1. An jeder Ecke des Parketts müssen die Winkel zusammen genau 360° ergeben.
    2. 3 · 108° = 324°, 4 · 108° = 432°
    3. 360° wird nie genau erreicht.
    Ergebnis:
    nein

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.
Punktspiegelung
Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.
Drehung um 90° und 180°
Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.
Welche Abbildung?
Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.
Deckungsgleich
Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.
Bandornamente und Parkette
Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

    25
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nur achsensymmetrisch

  2. Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

    26
    Der Punkt P(5 | 1) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(1 | 3). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Z(3 | 2)

  3. Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

    27
    Sind die Figuren 1 und 2 deckungsgleich? Begründe.
    12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe achsensymmetrisch und punktsymmetrisch mit ihren zwei Prüfungen: Falten und halb herumdrehen.

Wo brauchst du das?

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Buchstaben und Logos, Fliesen und Tapeten, Spielkarten, die auf dem Kopf gleich aussehen. Beruf: Fliesenleger, Grafikdesign, Maschinenbau: Muster und Bauteile durch Spiegeln und Drehen planen.

Wörter

Achsensymmetrisch
links und rechts gleich, wie gespiegelt
Punktsymmetrisch
um den Punkt gedreht sieht es gleich aus

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel, Verschieben, Spiegeln, Drehen

Darauf baut auf: Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem

Lösungen

  1. achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
  2. ja
  3. 1
  4. Z(6 | 6)
  5. Z(3 | 6)
  6. A'(4 | 6), B'(8 | 8), C'(6 | 3)
  7. P'(0 | 6)
  8. C'(3 | 8)
  9. um 90° im Uhrzeigersinn
  10. ja
  11. Punktspiegelung
  12. nein, Drehung um 90°
  13. 108 cm²
  14. ja
  15. 14 cm
  16. bei 40 cm
  17. Punktspiegelung
  18. bei 45 cm
  19. ja
  20. Z(2 | 3)
  21. C'(3 | 1)
  22. um 90° gegen den Uhrzeigersinn
  23. A und C
  24. nein
  25. nur achsensymmetrisch
  26. Z(3 | 2)
  27. nein
  28. x = 8 nach rechts, y = 5 nach oben
  29. P'(1 | −3)