Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Symmetrie und Abbildungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Gruppen streiten. H sieht gefaltet und gedreht gleich aus, N nur gedreht, A nur gefaltet. „Sieht gleich aus“ reicht nicht, um sich zu einigen, und jede Gruppe hat andere Gruppen gebildet. Ihr habt zwei verschiedene Prüfungen benutzt, ohne es zu merken. Falten heißt achsensymmetrisch, halb herumdrehen heißt punktsymmetrisch. Mit diesen beiden Wörtern ist jede Entscheidung prüfbar.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Koordinatensystem hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

●28
Zeichne den Punkt P(5 | 3) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 5 nach rechts, 3 nach oben
Ergebnis:
x = 5 nach rechts, y = 3 nach oben
●29
Spiegle P(4 | 5) an der y-Achse. Wo liegt der Bildpunkt P'?
Lösung zeigen
1. Spiegeln an der y-Achse: x wechselt das Vorzeichen, y bleibt
2. P'(−4 | 5)
Ergebnis:
P'(−4 | 5)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAbbilden heißt: jeder Punkt bewegt sich

Spiegeln, Drehen und Verschieben bewegen jeden Punkt einer Figur nach derselben Vorschrift. Die Figur bleibt dabei, wie sie ist: gleich lang, gleiche Winkel. Symmetrisch ist eine Figur, wenn eine solche Bewegung sie genau auf sich selbst legt.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Dreieck wird zweimal hintereinander an demselben Punkt gespiegelt. Wo liegt es danach – und warum musst du dafür nichts zeichnen?

1Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Kreisen oder Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechsecke passen lückenlos aneinander, weil an jeder Ecke drei Winkel von 120° genau 360° ergeben. Kreise lassen Lücken, Fünfecke passen nicht. Thomas Hales hat 1999 bewiesen, dass Sechsecke dabei am wenigsten Wand für dieselbe Fläche brauchen.

MerkenAchsensymmetrisch und punktsymmetrisch

Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.

Punktsymmetrisch heißt: Halb herum gedreht liegt die Figur genau auf sich selbst.

BeispielAchsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?

Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?

Schritt für Schritt

Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur nicht auf sich selbst.
Die Figur ist nur achsensymmetrisch.

Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur nicht auf sich selbst.
Die Figur ist nur achsensymmetrisch.

Ergebnis:

nur achsensymmetrisch

AchtungAchsen- und Punktsymmetrie verwechselt

So nicht

Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Faltlinie durch die Mitte → achsensymmetrisch

So richtig

Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Falten passt nicht, halbe Drehung passt → nur punktsymmetrisch

Zwei verschiedene Prüfungen: Falten für achsensymmetrisch, halb herumdrehen für punktsymmetrisch.

ÜbenJetzt du

○1
Mia sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
So fängst du an:
Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
Lösung zeigen
1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
2. Also stimmt die Aussage.
Ergebnis:
ja
●2
Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
Lösung zeigen
1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
2. Symmetrieachsen: senkrecht, waagerecht – zusammen 2.
3. Die Figur hat 2 Symmetrieachsen.
Ergebnis:
2
★3
Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon? Begründe.
Lösung zeigen
1. Keine Faltlinie teilt die Figur in zwei Hälften, die genau aufeinanderpassen.
2. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
3. Die Figur ist nur punktsymmetrisch.
Ergebnis:
nur punktsymmetrisch

2Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

EntdeckenFrage

Warum gibt es keine Bodenfliesen in Form regelmäßiger Fünfecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Ecke eines regelmäßigen Fünfecks hat 108°. Drei davon ergeben 324°, vier schon 432°. Die 360° an einer Ecke werden nie genau erreicht, es bleibt immer eine Lücke oder etwas überlappt.

MerkenPunktspiegelung

Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.

Z liegt genau in der Mitte zwischen P und dem Bildpunkt P'.

BeispielAn einem Punkt spiegeln

Spiegle den Punkt P(8 | 4) am Punkt Z(5 | 3). Gib die Koordinaten des Bildpunktes P' an.

Schritt für Schritt

Von P nach Z: 3 nach links und 1 nach unten, von Z aus denselben Weg weiter.
Bildpunkt: P'(2 | 2)

Von P nach Z: 3 nach links und 1 nach unten, von Z aus denselben Weg weiter.
Bildpunkt: P'(2 | 2)

Ergebnis:

P'(2 | 2)

AchtungBeim Spiegeln an einem Punkt nur bis zum Zentrum gegangen

So nicht

P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: bis Z gegangen → P'(4 | 3)

So richtig

P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: 2 rechts, 2 oben, dann noch einmal → P'(6 | 5)

Der Weg von P bis Z wird von Z aus noch einmal gegangen. Z liegt in der Mitte zwischen P und P'.

ÜbenJetzt du

○4
Das Dreieck A(8 | 0), B(2 | 2), C(8 | 3) wird an Z(5 | 2) gespiegelt. Wo liegt B'?
So fängst du an:
Von B nach Z: 3 nach rechts, von Z aus denselben Weg noch einmal.
Lösung zeigen
1. Von B nach Z: 3 nach rechts, von Z aus denselben Weg noch einmal.
2. Bildpunkt: B'(8 | 2)
Ergebnis:
B'(8 | 2)
●5
Der Punkt P(5 | 1) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(1 | 3). Wo liegt Z?
Lösung zeigen
1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
2. Mitte von x: zwischen 5 und 1 liegt 3. Mitte von y: zwischen 1 und 3 liegt 2.
Ergebnis:
Z(3 | 2)
★6
Spiegle P(7 | 8) am Punkt Z(5 | 6). Wie heißt der Bildpunkt P'? Prüfe, ob Z in der Mitte liegt.
Lösung zeigen
1. Von P nach Z: 2 nach links und 2 nach unten, von Z aus denselben Weg weiter.
2. Bildpunkt: P'(3 | 4)
3. Probe: Die Mitte von 7 und 3 ist 5, die von 8 und 4 ist 6.
Ergebnis:
P'(3 | 4)

3Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

EntdeckenFrage

Warum hat jede Schneeflocke sechs Arme – und nie fünf oder acht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eiskristalle sind aus Wassermolekülen in einem sechseckigen Gitter gebaut. Deshalb wächst ein Schneekristall in sechs gleiche Richtungen und ist drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 60°.

MerkenDrehung um 90° und 180°

Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.

Bei 90° gegen den Uhrzeigersinn wird „3 nach rechts“ zu „3 nach oben“. Die halbe Drehung ist die Punktspiegelung.

BeispielUm einen Punkt drehen (90° und 180°)

Dreieck A(4 | 2), B(2 | 8), C(5 | 4): um 180° um Z(4 | 5) drehen. Wo liegt B'?

Schritt für Schritt

Von Z nach B: 2 nach links und 3 nach oben. Gedreht: 2 nach rechts und 3 nach unten.
Von Z aus: B'(6 | 2)

Von Z nach B: 2 nach links und 3 nach oben. Gedreht: 2 nach rechts und 3 nach unten.
Von Z aus: B'(6 | 2)

Ergebnis:

B'(6 | 2)

AchtungDrehwinkel oder Drehrichtung falsch

So nicht

P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn → P'(3 | 1)

So richtig

P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn: aus 2 nach rechts wird 2 nach oben → P'(3 | 5)

Eine volle Runde sind 360°. Gegen den Uhrzeigersinn heißt: nach links herum, wie die Zeiger rückwärts laufen.

ÜbenJetzt du

○7
Drehe P(5 | 2) um Z(3 | 5), und zwar um 180°. Wo liegt P'?
So fängst du an:
Von Z nach P: 2 nach rechts und 3 nach unten. Gedreht: 2 nach links und 3 nach oben.
Lösung zeigen
1. Von Z nach P: 2 nach rechts und 3 nach unten. Gedreht: 2 nach links und 3 nach oben.
2. Von Z aus: P'(1 | 8)
Ergebnis:
P'(1 | 8)
●8
Der Punkt P(4 | 5) wurde um Z(5 | 5) gedreht und liegt jetzt bei P'(5 | 4). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
Lösung zeigen
1. Z nach P: 1 nach links. Z nach P': 1 nach unten.
2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
Ergebnis:
um 90° gegen den Uhrzeigersinn
★9
Drehe das Dreieck A(6 | 2), B(9 | 4), C(4 | 4) um 90° im Uhrzeigersinn um Z(6 | 3). Gib die Koordinaten von A', B' und C' an.
Lösung zeigen
1. A: 1 nach unten wird 1 nach links
2. B: 3 nach rechts und 1 nach oben wird 1 nach rechts und 3 nach unten
3. C: 2 nach links und 1 nach oben wird 1 nach rechts und 2 nach oben
Ergebnis:
A'(5 | 3), B'(7 | 0), C'(7 | 5)

4Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift. Zweimal an derselben Achse gespiegelt ist wie gar nicht gespiegelt.

MerkenWelche Abbildung?

Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.

Sonst verrät eine Seite die Abbildung. Gleiche Richtung heißt Verschiebung, Gegenrichtung Punktspiegelung, Viertelrunde Drehung um 90°.

BeispielWelche Abbildung war es?

Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Drehung um 90° aus ABC entstanden.“ Hat er recht?

Schritt für Schritt

Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': im Uhrzeigersinn.
Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt – das schafft nur eine Achsenspiegelung.
Leon hat nicht recht, es ist eine Achsenspiegelung.

Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': im Uhrzeigersinn.
Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt – das schafft nur eine Achsenspiegelung.
Leon hat nicht recht, es ist eine Achsenspiegelung.

Ergebnis:

nein, Achsenspiegelung

AchtungAbbildung am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht

ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°

So richtig

ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung

Erst den Umlaufsinn prüfen, dann die Richtung einer Seite. Keine der Abbildungen ändert eine Länge.

ÜbenJetzt du

○10
Welche Abbildung führt ABC in A'B'C' über: Verschiebung, Punktspiegelung, Drehung um 90° oder Achsenspiegelung?
So fängst du an:
Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
Lösung zeigen
1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
2. AB zeigt 1 nach rechts, A'B' zeigt 1 nach oben.
3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
Ergebnis:
Drehung um 90°
●11
Durch welche Abbildung ist das Dreieck A'B'C' aus dem Dreieck ABC entstanden?
Lösung zeigen
1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
2. AB zeigt 3 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 1 nach rechts und 3 nach oben.
3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
Ergebnis:
Drehung um 90°
★12
Durch welche Abbildung ist A'B'C' aus ABC entstanden? Gib auch Pfeil, Zentrum oder Achse an.
Lösung zeigen
1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
2. AB zeigt 1 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 1 nach links und 1 nach unten.
3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
4. Drehung um 90° im Uhrzeigersinn um Z(7 | 3)
Ergebnis:
Drehung um 90° im Uhrzeigersinn um Z(7 | 3)

5Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Arten von Tapetenmustern gibt es überhaupt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau 17. Jedes Muster, das sich in zwei Richtungen endlos wiederholt, gehört zu einer von 17 Symmetriearten aus Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen. Das hat Jewgraf Fjodorow 1891 bewiesen.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenDeckungsgleich

Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.

Bild und Figur sind deckungsgleich: Ausgeschnitten passen sie genau aufeinander.

BeispielDeckungsgleiche Figuren

Ein Rechteck ist 11 cm lang und 4 cm breit. Es wird an einer Achse gespiegelt. Welche Fläche hat das Bild?

Schritt für Schritt

Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
11 cm · 4 cm = 44 cm²

Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
11 cm · 4 cm = 44 cm²

Ergebnis:

44 cm²

AchtungEiner beim Malnehmen nicht malgenommen

So nicht

24 · 4 = 80 + 4 = 84

So richtig

24 · 4 = 20 · 4 + 4 · 4 = 80 + 16 = 96

Zerlege die Zahl. Nimm jeden Teil mal.

ÜbenJetzt du

○13
Kann man Figur 1 so ausschneiden, dass sie genau auf Figur 2 passt? Begründe.
So fängst du an:
Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
Lösung zeigen
1. Beide Figuren bestehen aus 5 Kästchen.
2. Figur 1, verschoben, liegt genau auf Figur 2.
3. Also sind sie deckungsgleich.
Ergebnis:
ja
●14
Im Dreieck ABC ist AB 5 cm lang, der Winkel bei B misst 110°. Es wird verschoben. Wie lang ist A'B', wie groß der Winkel bei B'?
Lösung zeigen
1. Die Verschiebung ändert keine Länge und keinen Winkel.
2. A'B' ist 5 cm lang, der Winkel bei B' misst 110°.
Ergebnis:
5 cm und 110°
★15
Ein Dreieck ABC hat die Seiten 6,5 cm, 3 cm und 4 cm. Bei B ist ein Winkel von 120°. Es wird an einem Punkt gespiegelt. Welchen Umfang hat das Bilddreieck, und wie groß ist der Winkel bei B'?
Lösung zeigen
1. Die Punktspiegelung ändert keine Länge und keinen Winkel.
2. Umfang: 6,5 cm + 3 cm + 4 cm = 13,5 cm
3. Winkel bei B' wie bei B: 120°
Ergebnis:
13,5 cm und 120°

6Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler Escher Eidechsen gezeichnet, die eine Fläche lückenlos füllen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher begann mit einem Parkett aus Vielecken. Was er an einer Seite wegschnitt, setzte er an der passenden anderen Seite wieder an. So blieb die Figur deckungsgleich und passte durch Drehen und Verschieben lückenlos an ihre Nachbarn.

MerkenBandornamente und Parkette

Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Ein Parkett bedeckt eine Fläche lückenlos, an jeder Ecke ergeben die Winkel 360°.

BeispielBandornamente untersuchen

Ein Stoffband ist 79 cm lang. Das Muster darauf wird immer um 7 cm verschoben. Wie viele ganze Motive passen auf das Band?

Schritt für Schritt

Jedes Motiv braucht 7 cm.
79 : 7 = 11 Rest 2
Der Rest reicht für kein ganzes Motiv mehr.

Jedes Motiv braucht 7 cm.
79 : 7 = 11 Rest 2
Der Rest reicht für kein ganzes Motiv mehr.

Ergebnis:

11 Motive

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht

P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(3 | 8)

So richtig

P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(5 | 4)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht genau denselben Weg.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Stoffband ist 54 cm lang. Das Muster darauf wird immer um 8 cm verschoben. Wie viele ganze Motive passen auf das Band?
So fängst du an:
Jedes Motiv braucht 8 cm.
Lösung zeigen
1. Jedes Motiv braucht 8 cm.
2. 54 : 8 = 6 Rest 6
3. Der Rest reicht für kein ganzes Motiv mehr.
Ergebnis:
6 Motive
●17
Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 6 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 8. Motiv?
Lösung zeigen
1. Vor dem 8. Motiv liegen 7 Motive.
2. Jede Verschiebung ist 6 cm lang.
3. 7 · 6 cm = 42 cm
Ergebnis:
bei 42 cm
★18
Eine Tapetenborte ist 120 cm lang. Ein Motiv ist 5 cm breit, zwischen zwei Motiven sind 1 cm frei. Wie viele ganze Motive passen darauf, wenn die Borte mit einem Motiv beginnt?
Lösung zeigen
1. Motiv und Lücke zusammen: 5 cm + 1 cm = 6 cm.
2. Das letzte Motiv braucht keine Lücke dahinter: 120 cm + 1 cm = 121 cm.
3. 121 : 6 = 20 Rest 1
Ergebnis:
20 Motive

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
Emil sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur genau auf sich selbst.
2. Also stimmt die Aussage.
Ergebnis:
ja
●20
Die Figur mit der Ecke C(4 | 2) ist punktsymmetrisch. Verbinde gegenüberliegende Ecken. Wo schneiden sich die Strecken?
Lösung zeigen
1. C(4 | 2) und A(4 | 0) liegen sich gegenüber.
2. Mitte von x: zwischen 4 und 4 liegt 4. Mitte von y: zwischen 2 und 0 liegt 1.
Ergebnis:
Z(4 | 1)
●21
Der Punkt P(9 | 1) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(5 | 7). Wo liegt Z?
Lösung zeigen
1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
2. Mitte von x: zwischen 9 und 5 liegt 7. Mitte von y: zwischen 1 und 7 liegt 4.
Ergebnis:
Z(7 | 4)
●22
Der Punkt P(2 | 4) wurde um Z(4 | 6) gedreht und liegt jetzt bei P'(6 | 4). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
Lösung zeigen
1. Z nach P: 2 nach links und 2 nach unten. Z nach P': 2 nach rechts und 2 nach unten.
2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
Ergebnis:
um 90° gegen den Uhrzeigersinn
●23
Welche Figuren sind NICHT durch eine Verschiebung aus der blauen Figur entstanden?
Lösung zeigen
1. Verschoben heißt: Jede Kante zeigt noch in dieselbe Richtung wie vorher.
2. Anders liegen: A gespiegelt, C gedreht.
3. Nicht verschoben: A und C
Ergebnis:
A und C
●24
Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Punktspiegelung aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
Lösung zeigen
1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
2. AB zeigt 2 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 2 nach links und 1 nach unten.
3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
4. Leon hat recht: Punktspiegelung.
Ergebnis:
ja

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Achsensymmetrisch und punktsymmetrisch: Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.
Punktspiegelung: Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.
Drehung um 90° und 180°: Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.
Welche Abbildung?: Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.
Deckungsgleich: Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.
Bandornamente und Parkette: Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.
25
Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nur achsensymmetrisch
Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.
26
Spiegle den Punkt P(4 | 5) am Punkt Z(5 | 5). Gib die Koordinaten des Bildpunktes P' an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
P'(6 | 5)
Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).
27
Im Dreieck ABC ist AB 8 cm lang, der Winkel bei B misst 110°. Es wird an einem Punkt gespiegelt. Wie lang ist A'B', wie groß der Winkel bei B'?
Lösung zeigen
Ergebnis:
8 cm und 110°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe achsensymmetrisch und punktsymmetrisch mit ihren zwei Prüfungen: Falten und halb herumdrehen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Buchstaben und Logos, Fliesen und Tapeten, Spielkarten, die auf dem Kopf gleich aussehen. Beruf: Fliesenleger, Grafikdesign, Maschinenbau: Muster und Bauteile durch Spiegeln und Drehen planen.

Wörter

Achsensymmetrisch: links und rechts gleich, wie gespiegelt
Punktsymmetrisch: um den Punkt gedreht sieht es gleich aus

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel, Verschieben, Spiegeln, Drehen

Darauf baut auf: Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem

Lösungen

ja
2
nur punktsymmetrisch
B'(8 | 2)
Z(3 | 2)
P'(3 | 4)
P'(1 | 8)
um 90° gegen den Uhrzeigersinn
A'(5 | 3), B'(7 | 0), C'(7 | 5)
Drehung um 90°
Drehung um 90°
Drehung um 90° im Uhrzeigersinn um Z(7 | 3)
ja
5 cm und 110°
13,5 cm und 120°
6 Motive
bei 42 cm
20 Motive
ja
Z(4 | 1)
Z(7 | 4)
um 90° gegen den Uhrzeigersinn
A und C
ja
nur achsensymmetrisch
P'(6 | 5)
8 cm und 110°
x = 5 nach rechts, y = 3 nach oben
P'(−4 | 5)