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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Symmetrie und Abbildungen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Gruppen streiten. H sieht gefaltet und gedreht gleich aus, N nur gedreht, A nur gefaltet. „Sieht gleich aus“ reicht nicht, um sich zu einigen, und jede Gruppe hat andere Gruppen gebildet. Ihr habt zwei verschiedene Prüfungen benutzt, ohne es zu merken. Falten heißt achsensymmetrisch, halb herumdrehen heißt punktsymmetrisch. Mit diesen beiden Wörtern ist jede Entscheidung prüfbar.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Koordinatensystem hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

  1. ●30
    Zeichne den Punkt P(8 | 2) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
    Lösung zeigen
    1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
    2. 8 nach rechts, 2 nach oben
    Ergebnis:
    x = 8 nach rechts, y = 2 nach oben
  2. ●31
    Spiegle P(4 | 6) an der y-Achse. Wo liegt der Bildpunkt P'?
    Lösung zeigen
    1. Spiegeln an der y-Achse: x wechselt das Vorzeichen, y bleibt
    2. P'(−4 | 6)
    Ergebnis:
    P'(−4 | 6)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAbbilden heißt: jeder Punkt bewegt sich

Spiegeln, Drehen und Verschieben bewegen jeden Punkt einer Figur nach derselben Vorschrift. Die Figur bleibt dabei, wie sie ist: gleich lang, gleiche Winkel. Symmetrisch ist eine Figur, wenn eine solche Bewegung sie genau auf sich selbst legt.

Punktspiegelung an Z: Jeder Punkt des Dreiecks geht durch Z und gleich weit dahinterZJeder Punkt durch Z, gleich weit dahinter

WeiterdenkenDenk nach

Ein Dreieck wird zweimal hintereinander an demselben Punkt gespiegelt. Wo liegt es danach – und warum musst du dafür nichts zeichnen?

1Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

EntdeckenFrage

Warum bauen Bienen ihre Waben aus Sechsecken und nicht aus Kreisen oder Fünfecken?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechsecke passen lückenlos aneinander, weil an jeder Ecke drei Winkel von 120° genau 360° ergeben. Kreise lassen Lücken, Fünfecke passen nicht. Thomas Hales hat 1999 bewiesen, dass Sechsecke dabei am wenigsten Wand für dieselbe Fläche brauchen.

MerkenAchsensymmetrisch und punktsymmetrisch

Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.

Punktsymmetrisch heißt: Halb herum gedreht liegt die Figur genau auf sich selbst.

BeispielAchsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?

Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie?
Schritt für Schritt
  1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
  2. Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
  3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
  1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
  2. Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
  3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
Ergebnis:
1

AchtungAchsen- und Punktsymmetrie verwechselt

So nicht
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Faltlinie durch die Mitte → achsensymmetrisch
So richtig
Parallelogramm mit Seiten 5 cm und 3 cm: Falten passt nicht, halbe Drehung passt → nur punktsymmetrisch

Zwei verschiedene Prüfungen: Falten für achsensymmetrisch, halb herumdrehen für punktsymmetrisch.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
    So fängst du an:
    Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
    Lösung zeigen
    1. Symmetrieachsen: senkrecht – zusammen 1.
    2. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur nicht auf sich selbst.
    3. Die Figur ist nur achsensymmetrisch.
    Ergebnis:
    nur achsensymmetrisch
  2. ●2
    Aylin sagt: „Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch.“ Stimmt das? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Halb herum gedreht (180°) liegt die Figur nicht auf sich selbst.
    2. Also stimmt die Aussage nicht.
    Ergebnis:
    nein
  3. ★3
    Die Figur im Bild hat 8 Ecken. Wie viele Symmetrieachsen hat sie? Denke auch an schräge Achsen.
    Lösung zeigen
    1. Falte in Gedanken: senkrecht, waagerecht und schräg durch die Mitte.
    2. Symmetrieachsen: waagerecht – zusammen 1.
    3. Die Figur hat genau eine Symmetrieachse.
    Ergebnis:
    1

2Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

EntdeckenFrage

Warum gibt es keine Bodenfliesen in Form regelmäßiger Fünfecke?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Ecke eines regelmäßigen Fünfecks hat 108°. Drei davon ergeben 324°, vier schon 432°. Die 360° an einer Ecke werden nie genau erreicht, es bleibt immer eine Lücke oder etwas überlappt.

MerkenPunktspiegelung

Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.

Z liegt genau in der Mitte zwischen P und dem Bildpunkt P'.

BeispielAn einem Punkt spiegeln

Spiegle den Punkt P(5 | 2) am Punkt Z(6 | 5). Gib die Koordinaten des Bildpunktes P' an.
01234567891012345678PZ
Schritt für Schritt
  1. Von P nach Z: 1 nach rechts und 3 nach oben, von Z aus denselben Weg weiter.
  2. Bildpunkt: P'(7 | 8)
  1. Von P nach Z: 1 nach rechts und 3 nach oben, von Z aus denselben Weg weiter.
  2. Bildpunkt: P'(7 | 8)
Ergebnis:
P'(7 | 8)

AchtungBeim Spiegeln an einem Punkt nur bis zum Zentrum gegangen

So nicht
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: bis Z gegangen → P'(4 | 3)
So richtig
P(2 | 1) an Z(4 | 3) spiegeln: 2 rechts, 2 oben, dann noch einmal → P'(6 | 5)

Der Weg von P bis Z wird von Z aus noch einmal gegangen. Z liegt in der Mitte zwischen P und P'.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Das Dreieck A(5 | 4), B(3 | 4), C(7 | 7) wird an Z(6 | 5) gespiegelt. Wo liegt A'?
    01234567891012345678ABCZ
    So fängst du an:
    Von A nach Z: 1 nach rechts und 1 nach oben, von Z aus denselben Weg noch einmal.
    Lösung zeigen
    1. Von A nach Z: 1 nach rechts und 1 nach oben, von Z aus denselben Weg noch einmal.
    2. Bildpunkt: A'(7 | 6)
    Ergebnis:
    A'(7 | 6)
  2. ●5
    Das Dreieck A(2 | 7), B(6 | 7), C(1 | 4) wird an Z(4 | 6) gespiegelt. Wo liegt C'?
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    1. Von C nach Z: 3 nach rechts und 2 nach oben, von Z aus denselben Weg noch einmal.
    2. Bildpunkt: C'(7 | 8)
    Ergebnis:
    C'(7 | 8)
  3. ★6
    Spiegle P(10 | 4) am Punkt Z(6 | 4). Wie heißt der Bildpunkt P'? Prüfe, ob Z in der Mitte liegt.
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von P nach Z: 4 nach links, von Z aus denselben Weg weiter.
    2. Bildpunkt: P'(2 | 4)
    3. Probe: Die Mitte von 10 und 2 ist 6, die von 4 und 4 ist 4.
    Ergebnis:
    P'(2 | 4)

3Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

EntdeckenFrage

Warum hat jede Schneeflocke sechs Arme – und nie fünf oder acht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eiskristalle sind aus Wassermolekülen in einem sechseckigen Gitter gebaut. Deshalb wächst ein Schneekristall in sechs gleiche Richtungen und ist drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 60°.

MerkenDrehung um 90° und 180°

Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.

Bei 90° gegen den Uhrzeigersinn wird „3 nach rechts“ zu „3 nach oben“. Die halbe Drehung ist die Punktspiegelung.

BeispielUm einen Punkt drehen (90° und 180°)

Drehe P(6 | 6) um Z(5 | 3), und zwar um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Wo liegt P'?
01234567891012345678PZ
Schritt für Schritt
  1. Von Z nach P: 1 nach rechts und 3 nach oben. Gedreht: 3 nach links und 1 nach oben.
  2. Von Z aus: P'(2 | 4)
  1. Von Z nach P: 1 nach rechts und 3 nach oben. Gedreht: 3 nach links und 1 nach oben.
  2. Von Z aus: P'(2 | 4)
Ergebnis:
P'(2 | 4)

AchtungDrehwinkel oder Drehrichtung falsch

So nicht
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn → P'(3 | 1)
So richtig
P(5 | 3) um Z(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn: aus 2 nach rechts wird 2 nach oben → P'(3 | 5)

Eine volle Runde sind 360°. Gegen den Uhrzeigersinn heißt: nach links herum, wie die Zeiger rückwärts laufen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Dreieck A(2 | 2), B(6 | 8), C(6 | 6): um 90° gegen den Uhrzeigersinn um Z(4 | 5) drehen. Wo liegt B'?
    01234567891012345678ABCZ
    So fängst du an:
    Von Z nach B: 2 nach rechts und 3 nach oben. Gedreht: 3 nach links und 2 nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach B: 2 nach rechts und 3 nach oben. Gedreht: 3 nach links und 2 nach oben.
    2. Von Z aus: B'(1 | 7)
    Ergebnis:
    B'(1 | 7)
  2. ●8
    Drehe P(8 | 4) um Z(6 | 6), und zwar um 90° im Uhrzeigersinn. Wo liegt P'?
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach P: 2 nach rechts und 2 nach unten. Gedreht: 2 nach links und 2 nach unten.
    2. Von Z aus: P'(4 | 4)
    Ergebnis:
    P'(4 | 4)
  3. ★9
    Drehe P(2 | 5) um 90° im Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(3 | 3). Welche Koordinaten hat P'?
    01234567891012345678PZ
    Lösung zeigen
    1. Von Z nach P: 1 nach links und 2 nach oben. Gedreht: 2 nach rechts und 1 nach oben.
    2. Von Z aus: P'(5 | 4)
    Ergebnis:
    P'(5 | 4)

4Ich erkenne, durch welche Abbildung eine Figur auf ihr Bild abgebildet wird.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift. Zweimal an derselben Achse gespiegelt ist wie gar nicht gespiegelt.

MerkenWelche Abbildung?

Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.

Sonst verrät eine Seite die Abbildung. Gleiche Richtung heißt Verschiebung, Gegenrichtung Punktspiegelung, Viertelrunde Drehung um 90°.

BeispielWelche Abbildung war es?

Durch welche Abbildung ist das Dreieck A'B'C' aus dem Dreieck ABC entstanden?
0123456789101112123456789ABCA'B'C'
Schritt für Schritt
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 2 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 2 nach rechts und 1 nach unten.
  3. Gleiche Richtung: Die Figur wurde verschoben.
  1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
  2. AB zeigt 2 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 2 nach rechts und 1 nach unten.
  3. Gleiche Richtung: Die Figur wurde verschoben.
Ergebnis:
Verschiebung

AchtungAbbildung am Aussehen statt an Eigenschaften erkannt

So nicht
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Drehung um 90°
So richtig
ABC läuft gegen den Uhrzeigersinn, A'B'C' im Uhrzeigersinn → Umlaufsinn umgekehrt → Achsenspiegelung

Erst den Umlaufsinn prüfen, dann die Richtung einer Seite. Keine der Abbildungen ändert eine Länge.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Abbildung führt ABC in A'B'C' über: Verschiebung, Punktspiegelung, Drehung um 90° oder Achsenspiegelung?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    So fängst du an:
    Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 2 nach rechts, A'B' zeigt 2 nach rechts.
    3. Gleiche Richtung: Die Figur wurde verschoben.
    Ergebnis:
    Verschiebung
  2. ●11
    Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Drehung um 90° aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 3 nach rechts und 1 nach oben, A'B' zeigt 1 nach links und 3 nach oben.
    3. Um eine Viertelrunde gedreht: eine Drehung um 90°.
    4. Leon hat recht: Drehung um 90°.
    Ergebnis:
    ja
  3. ★12
    Leon sagt: „Das gelbe Dreieck A'B'C' ist durch eine Achsenspiegelung aus ABC entstanden.“ Hat er recht?
    0123456789101112123456789ABCA'B'C'
    Lösung zeigen
    1. Umlaufsinn A, B, C: gegen den Uhrzeigersinn; A', B', C': gegen den Uhrzeigersinn.
    2. AB zeigt 1 nach rechts und 1 nach unten, A'B' zeigt 1 nach links und 1 nach oben.
    3. Genau die Gegenrichtung: eine Punktspiegelung.
    4. Leon hat nicht recht, es ist eine Punktspiegelung.
    Ergebnis:
    nein, Punktspiegelung

5Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Arten von Tapetenmustern gibt es überhaupt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Genau 17. Jedes Muster, das sich in zwei Richtungen endlos wiederholt, gehört zu einer von 17 Symmetriearten aus Verschiebungen, Spiegelungen und Drehungen. Das hat Jewgraf Fjodorow 1891 bewiesen.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenDeckungsgleich

Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.

Bild und Figur sind deckungsgleich: Ausgeschnitten passen sie genau aufeinander.

BeispielDeckungsgleiche Figuren

Ein Rechteck ist 12 cm lang und 5 cm breit. Es wird an einer Achse gespiegelt. Welche Fläche hat das Bild?
Schritt für Schritt
  1. Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
  2. 12 cm · 5 cm = 60 cm²
  1. Die Achsenspiegelung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
  2. 12 cm · 5 cm = 60 cm²
Ergebnis:
60 cm²

AchtungÜbertrag vergessen

So nicht
47 + 38 = 75
So richtig
47 + 38: 7 + 8 = 15, 5 hin, 1 weiter → 85

Schreib den Übertrag klein über die nächste Stelle. Zähl ihn dort mit.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Rechteck ist 7 cm lang und 2 cm breit. Es wird um 90° gedreht. Welche Fläche hat das Bild?
    So fängst du an:
    Die Drehung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    Lösung zeigen
    1. Die Drehung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 7 cm · 2 cm = 14 cm²
    Ergebnis:
    14 cm²
  2. ●14
    Im Dreieck ABC ist AB 4 cm lang, der Winkel bei B misst 110°. Es wird verschoben. Wie lang ist A'B', wie groß der Winkel bei B'?
    Lösung zeigen
    1. Die Verschiebung ändert keine Länge und keinen Winkel.
    2. A'B' ist 4 cm lang, der Winkel bei B' misst 110°.
    Ergebnis:
    4 cm und 110°
  3. ★15
    Ein Rechteck ist 8 cm lang und 3 cm breit. Es wird verschoben. Welchen Umfang hat das Bild?
    Lösung zeigen
    1. Die Verschiebung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 2 · 8 cm + 2 · 3 cm = 22 cm
    Ergebnis:
    22 cm

6Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler Escher Eidechsen gezeichnet, die eine Fläche lückenlos füllen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher begann mit einem Parkett aus Vielecken. Was er an einer Seite wegschnitt, setzte er an der passenden anderen Seite wieder an. So blieb die Figur deckungsgleich und passte durch Drehen und Verschieben lückenlos an ihre Nachbarn.

MerkenBandornamente und Parkette

Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Ein Parkett bedeckt eine Fläche lückenlos, an jeder Ecke ergeben die Winkel 360°.

BeispielBandornamente untersuchen

Ein Stoffband ist 97 cm lang. Das Muster darauf wird immer um 7 cm verschoben. Wie viele ganze Motive passen auf das Band?
Schritt für Schritt
  1. Jedes Motiv braucht 7 cm.
  2. 97 : 7 = 13 Rest 6
  3. Der Rest reicht für kein ganzes Motiv mehr.
  1. Jedes Motiv braucht 7 cm.
  2. 97 : 7 = 13 Rest 6
  3. Der Rest reicht für kein ganzes Motiv mehr.
Ergebnis:
13 Motive

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(3 | 8)
So richtig
P(2 | 5) um 3 nach rechts und 1 nach unten → P'(5 | 4)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht genau denselben Weg.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Durch welche Abbildung geht im Bandornament jedes Motiv in das direkt folgende über?
    So fängst du an:
    Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    Lösung zeigen
    1. Nachbarn stehen auf dem Kopf und seitenverkehrt.
    2. Das ist eine halbe Drehung, also eine Punktspiegelung.
    3. Jedes zweite Motiv entsteht durch eine Verschiebung um 6 Kästchen.
    Ergebnis:
    Punktspiegelung
  2. ●17
    Ein Stoffband ist 68 cm lang. Das Muster darauf wird immer um 6 cm verschoben. Wie viele ganze Motive passen auf das Band?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Motiv braucht 6 cm.
    2. 68 : 6 = 11 Rest 2
    3. Der Rest reicht für kein ganzes Motiv mehr.
    Ergebnis:
    11 Motive
  3. ★18
    Eine Tapetenborte ist 100 cm lang. Ein Motiv ist 4 cm breit, zwischen zwei Motiven sind 1 cm frei. Wie viele ganze Motive passen darauf, wenn die Borte mit einem Motiv beginnt?
    Lösung zeigen
    1. Motiv und Lücke zusammen: 4 cm + 1 cm = 5 cm.
    2. Das letzte Motiv braucht keine Lücke dahinter: 100 cm + 1 cm = 101 cm.
    3. 101 : 5 = 20 Rest 1
    Ergebnis:
    20 Motive

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Die Figur mit 4 Ecken ist punktsymmetrisch zum Zentrum Z. Welche Ecke liegt der Ecke A gegenüber?
    01234567891012345678ABCDZ
    Lösung zeigen
    1. Von A nach Z: 3 nach rechts und 2 nach oben.
    2. Von Z aus denselben Weg weiter: 3 nach rechts und 2 nach oben.
    3. Dort liegt die Ecke C.
    Ergebnis:
    C
  2. ●20
    Der Punkt P(3 | 4) wurde an einem Punkt Z gespiegelt. Der Bildpunkt ist P'(9 | 6). Wo liegt Z?
    01234567891012345678PP'
    Lösung zeigen
    1. Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P'.
    2. Mitte von x: zwischen 3 und 9 liegt 6. Mitte von y: zwischen 4 und 6 liegt 5.
    Ergebnis:
    Z(6 | 5)
  3. ●21
    Der Punkt P(1 | 2) wurde um Z(2 | 4) gedreht und liegt jetzt bei P'(4 | 3). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    1. Z nach P: 1 nach links und 2 nach unten. Z nach P': 2 nach rechts und 1 nach unten.
    2. Die Wege stehen senkrecht aufeinander: um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
    Ergebnis:
    um 90° gegen den Uhrzeigersinn
  4. ●22
    Welche gelbe Figur ist durch eine Verschiebung aus der blauen Figur entstanden?
    ABCblau
    Lösung zeigen
    1. Verschoben heißt: Jede Kante zeigt noch in dieselbe Richtung wie vorher.
    2. Anders liegen: A gedreht, B gespiegelt.
    3. Verschoben: C
    Ergebnis:
    C
  5. ●23
    Ein Rechteck ist 7 cm lang und 4 cm breit. Es wird um 90° gedreht. Welche Fläche hat das Bild?
    Lösung zeigen
    1. Die Drehung ändert keine Länge: Das Bildrechteck hat dieselben Seiten.
    2. 7 cm · 4 cm = 28 cm²
    Ergebnis:
    28 cm²
  6. ●24
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 8 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 7. Motiv?
    Lösung zeigen
    1. Vor dem 7. Motiv liegen 6 Motive.
    2. Jede Verschiebung ist 8 cm lang.
    3. 6 · 8 cm = 48 cm
    Ergebnis:
    bei 48 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
Achsensymmetrisch heißt: Gefaltet liegen beide Hälften genau aufeinander.
Punktspiegelung
Beim Spiegeln an Z geht man von P bis Z und denselben Weg noch einmal weiter.
Drehung um 90° und 180°
Bei einer Drehung dreht sich der Weg vom Zentrum zum Punkt mit.
Welche Abbildung?
Kehrt sich der Umlaufsinn um, war es eine Achsenspiegelung.
Deckungsgleich
Spiegeln, Drehen und Verschieben ändern keine Länge und keinen Winkel.
Bandornamente und Parkette
Ein Bandornament wiederholt ein Motiv durch Verschieben, Spiegeln oder Drehen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne achsensymmetrische und punktsymmetrische Figuren.

    25
    Die Figur im Bild hat 4 Ecken. Ist sie achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keins davon?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nur punktsymmetrisch

  2. Ich spiegle Punkte und Figuren an einem Punkt.

    26
    Das Dreieck A(6 | 8), B(6 | 2), C(4 | 8) wird an Z(7 | 5) gespiegelt. Wo liegt B'?
    01234567891012345678ABCZ
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B'(8 | 8)

  3. Ich drehe Punkte und Figuren um einen Punkt um 90° und 180°.

    27
    Der Punkt P(5 | 1) wurde um Z(3 | 2) gedreht und liegt jetzt bei P'(1 | 3). Um wie viel Grad, in welche Richtung?
    01234567891012345678PP'Z
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    um 180°

  4. Ich begründe, dass Abbildungen Längen und Winkel erhalten (deckungsgleiche Figuren).

    28
    Ein Rechteck ist 12 cm lang und 3 cm breit. Es wird an einem Punkt gespiegelt. Welche Fläche hat das Bild?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 cm²

  5. Ich untersuche Bandornamente und Parkette.

    29
    Ein Bandornament beginnt bei 0 cm. Jedes Motiv ist 6 cm breit und wird ohne Lücke verschoben. Bei wie vielen Zentimetern beginnt das 7. Motiv?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    bei 36 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

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Sortiere diese zwölf Buchstaben in zwei Gruppen: die, die „irgendwie gleich aussehen“, und die anderen: A, F, H, M, N, O, R, S, T, X, Z, G. Jede Entscheidung muss so begründet sein, dass niemand widersprechen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Begriffe achsensymmetrisch und punktsymmetrisch mit ihren zwei Prüfungen: Falten und halb herumdrehen.

Wo brauchst du das?

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Buchstaben und Logos, Fliesen und Tapeten, Spielkarten, die auf dem Kopf gleich aussehen. Beruf: Fliesenleger, Grafikdesign, Maschinenbau: Muster und Bauteile durch Spiegeln und Drehen planen.

Wörter

Achsensymmetrisch
links und rechts gleich, wie gespiegelt
Punktsymmetrisch
um den Punkt gedreht sieht es gleich aus

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel, Verschieben, Spiegeln, Drehen

Darauf baut auf: Kongruenzabbildungen im Koordinatensystem

Lösungen

  1. nur achsensymmetrisch
  2. nein
  3. 1
  4. A'(7 | 6)
  5. C'(7 | 8)
  6. P'(2 | 4)
  7. B'(1 | 7)
  8. P'(4 | 4)
  9. P'(5 | 4)
  10. Verschiebung
  11. ja
  12. nein, Punktspiegelung
  13. 14 cm²
  14. 4 cm und 110°
  15. 22 cm
  16. Punktspiegelung
  17. 11 Motive
  18. 20 Motive
  19. C
  20. Z(6 | 5)
  21. um 90° gegen den Uhrzeigersinn
  22. C
  23. 28 cm²
  24. bei 48 cm
  25. nur punktsymmetrisch
  26. B'(8 | 8)
  27. um 180°
  28. 36 cm²
  29. bei 36 cm
  30. x = 8 nach rechts, y = 2 nach oben
  31. P'(−4 | 6)