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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 24.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·24, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·24, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 30.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 36.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 48 und 45.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 und 3 · 3 · 5
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 3
    3. kgV = 48 · 45 : ggT = 720
    Ergebnis:
    ggT 3; kgV 720

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 207 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 3: Quersumme 9 durch 3 teilbar?
  2. 207 prüfen: Quersumme 9, 9 : 3 = 3
  3. Probe: 207 : 3 = 69
  4. Antwort: ja
  1. Regel für 3: Quersumme 9 durch 3 teilbar?
  2. 207 prüfen: Quersumme 9, 9 : 3 = 3
  3. Probe: 207 : 3 = 69
  4. Antwort: ja
Ergebnis:
ja

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 489 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 9: Quersumme 21 durch 9 teilbar?
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 21 durch 9 teilbar?
    2. 489 prüfen: Quersumme 21, 21 : 9 = 2 Rest 3
    3. Probe: 489 : 9 = 54 Rest 3
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●5
    Ist 620 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 620 prüfen: letzte Ziffern 20
    3. Probe: 620 : 2 = 310
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  3. ★6
    Ist 2184 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 15 durch 9 teilbar?
    2. 2184 prüfen: Quersumme 15, 15 : 9 = 1 Rest 6
    3. Probe: 2184 : 9 = 242 Rest 6
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 30 in Primfaktoren.
30????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 3 · 5
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 3 · 5
Ergebnis:
2 · 3 · 5

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 20 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 5
  2. ●8
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5
  3. ★9
    Zerlege 84 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 12 und 20.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
  1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
Ergebnis:
ggT 4, kgV 60

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 24 und 36.
    So fängst du an:
    Teiler von 24 und 36 vergleichen: größter gemeinsamer ist 12
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 24 und 36 vergleichen: größter gemeinsamer ist 12
    2. kgV = 24 · 36 : 12 = 72
    Ergebnis:
    ggT 12, kgV 72
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
    2. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 80
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 6 und 9 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 6 und 9 ist 3
    3. kgV = 6 · 9 : 3 = 18
    Ergebnis:
    nach 18 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 9 Sekunden, der andere alle 13 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
0510152025Start913
Schritt für Schritt
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117
  3. 117 ist auch durch 9 teilbar: 117 : 9 = 13
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117
  3. 117 ist auch durch 9 teilbar: 117 : 9 = 13
Ergebnis:
117 Sekunden

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    24 Äpfel und 16 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
    24erste Sorte16zweite Sorte
    So fängst du an:
    Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 16: 1, 2, 4, 8, 16
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 8, denn 24 : 8 = 3 und 16 : 8 = 2
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 12 Sekunden, der andere alle 13 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    0510152025Start1213
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143, 156
    3. 156 ist auch durch 12 teilbar: 156 : 12 = 13
    Ergebnis:
    156 Sekunden
  3. ★15
    Lea hat alle 20 Tage Schwimmtraining, Tom alle 30 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
    0102030405060Start2030
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 30: 30, 60
    3. 60 ist auch durch 20 teilbar: 60 : 20 = 3
    Ergebnis:
    60 Tage

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Bestimme alle Teiler von 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 12
  2. ●17
    Zerlege 60 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 5
  3. ●18
    Ist 904 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    2. 904 prüfen: letzte Ziffern 04
    3. Probe: 904 : 5 = 180 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  4. ●19
    Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 75
  5. ●20
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 6 Minuten, Linie 2 alle 11 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    05101520Start611
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66
    3. 66 ist auch durch 6 teilbar: 66 : 6 = 11
    Ergebnis:
    66 Minuten
  6. ●21
    Zerlege 24 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 2 · 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 40.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 377 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 12 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 30

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 6 Sekunden, der andere alle 8 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    0246810121416Start68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Sekunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  3. ggT 3; kgV 720
  4. nein
  5. ja
  6. nein
  7. 2 · 2 · 5
  8. 3 · 3 · 5
  9. 2 · 2 · 3 · 7
  10. ggT 12, kgV 72
  11. ggT 4, kgV 80
  12. nach 18 Zähnen (kgV)
  13. 8
  14. 156 Sekunden
  15. 60 Tage
  16. 1, 2, 3, 4, 6, 12
  17. 2 · 2 · 3 · 5
  18. nein
  19. ggT 5, kgV 75
  20. 66 Minuten
  21. 2 · 2 · 2 · 3
  22. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  23. nein
  24. 2 · 2 · 3
  25. ggT 5, kgV 30
  26. 24 Sekunden