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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

12 Plättchen in 3 gleichen Gruppen geht auf; bei 13 bleibt eines übrig12 : 3 = 4 – geht auf13 : 3 = 4 Rest 1

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 30.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·30, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·30, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 40.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 40 und 20.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 5 und 2 · 2 · 5
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 20
    3. kgV = 40 · 20 : ggT = 40
    Ergebnis:
    ggT 20; kgV 40

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 886 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 9: Quersumme 22 durch 9 teilbar?
  2. 886 prüfen: Quersumme 22, 22 : 9 = 2 Rest 4
  3. Probe: 886 : 9 = 98 Rest 4
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 9: Quersumme 22 durch 9 teilbar?
  2. 886 prüfen: Quersumme 22, 22 : 9 = 2 Rest 4
  3. Probe: 886 : 9 = 98 Rest 4
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

AchtungEndziffer-Regel für 2, 5 und 10 verwechselt

So nicht
Ist 35 durch 10 teilbar? → ja
So richtig
Ist 35 durch 10 teilbar? → nein, Endziffer 5

Schau nur auf die letzte Ziffer. Prüfe dann die Regel für genau diese Zahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 116 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 9: Quersumme 8 durch 9 teilbar?
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 8 durch 9 teilbar?
    2. 116 prüfen: Quersumme 8, 8 : 9 = 0 Rest 8
    3. Probe: 116 : 9 = 12 Rest 8
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●5
    Ist 554 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 14 durch 9 teilbar?
    2. 554 prüfen: Quersumme 14, 14 : 9 = 1 Rest 5
    3. Probe: 554 : 9 = 61 Rest 5
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 689 durch 25 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 25: letzte zwei Ziffern 00, 25, 50, 75
    2. 689 prüfen: letzte Ziffern 89
    3. Probe: 689 : 25 = 27 Rest 14
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 18 in Primfaktoren.
18????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 3 · 3
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 3 · 3
Ergebnis:
2 · 3 · 3

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht
Teiler von 12: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 20 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 5
  2. ●8
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5
  3. ★9
    Zerlege 84 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 6 und 9.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 6 und 9 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
  2. kgV = 6 · 9 : 3 = 18
  1. Teiler von 6 und 9 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
  2. kgV = 6 · 9 : 3 = 18
Ergebnis:
ggT 3, kgV 18

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4
So richtig
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
    So fängst du an:
    Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 10 · 15 : 5 = 30
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 30
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 21 und 28.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 21 und 28 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    2. kgV = 21 · 28 : 7 = 84
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 84
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 12 und 20 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 12 und 20 ist 4
    3. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
    Ergebnis:
    nach 60 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

40 Äpfel und 35 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
40erste Sorte35zweite Sorte
Schritt für Schritt
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 35: 1, 5, 7, 35
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 40 : 5 = 8 und 35 : 5 = 7
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 35: 1, 5, 7, 35
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 40 : 5 = 8 und 35 : 5 = 7
Ergebnis:
5

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten
So richtig
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 9 Minuten, Linie 2 alle 11 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    05101520Start911
    So fängst du an:
    Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
    3. 99 ist auch durch 9 teilbar: 99 : 9 = 11
    Ergebnis:
    99 Minuten
  2. ●14
    Für das Sportfest sollen 18 Mädchen und 15 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    18erste Sorte15zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 15: 1, 3, 5, 15
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 3, denn 18 : 3 = 6 und 15 : 3 = 5
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    77 Äpfel und 55 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
    77erste Sorte55zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 55: 1, 5, 11, 55
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 11, denn 77 : 11 = 7 und 55 : 11 = 5
    Ergebnis:
    11

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Bestimme alle Teiler von 18.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18
  2. ●17
    Zerlege 36 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 3
  3. ●18
    Ist 862 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 862 prüfen: letzte Ziffern 62
    3. Probe: 862 : 2 = 431
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  4. ●19
    Bestimme ggT und kgV von 8 und 12.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 8 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
    2. kgV = 8 · 12 : 4 = 24
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 24
  5. ●20
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 4 Minuten, Linie 2 alle 5 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    012345678910Start45
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20
    3. 20 ist auch durch 4 teilbar: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    20 Minuten
  6. ●21
    Bestimme alle Teiler von 24.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 291 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 21 und 28.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 84

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Aus 15 roten und 12 gelben Rosen sollen gleiche Sträuße werden. In jedem Strauß sind gleich viele rote und gleich viele gelbe Rosen, keine bleibt übrig. Wie viele Sträuße sind es höchstens?
    15erste Sorte12zweite Sorte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  2. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  3. ggT 20; kgV 40
  4. nein
  5. nein
  6. nein
  7. 2 · 2 · 5
  8. 3 · 3 · 5
  9. 2 · 2 · 3 · 7
  10. ggT 5, kgV 30
  11. ggT 7, kgV 84
  12. nach 60 Zähnen (kgV)
  13. 99 Minuten
  14. 3
  15. 11
  16. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  17. 2 · 2 · 3 · 3
  18. ja
  19. ggT 4, kgV 24
  20. 20 Minuten
  21. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  22. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  23. nein
  24. 3 · 3 · 5
  25. ggT 7, kgV 84
  26. 3