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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

12 Plättchen in 3 gleichen Gruppen geht auf; bei 13 bleibt eines übrig12 : 3 = 4 – geht auf13 : 3 = 4 Rest 1

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 12.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·12, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·12, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 30.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 18.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 12 und 8.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 2 · 3 und 2 · 2 · 2
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 4
    3. kgV = 12 · 8 : ggT = 24
    Ergebnis:
    ggT 4; kgV 24

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 229 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
  2. 229 prüfen: letzte Ziffern 29
  3. Probe: 229 : 10 = 22 Rest 9
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
  2. 229 prüfen: letzte Ziffern 29
  3. Probe: 229 : 10 = 22 Rest 9
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

AchtungEndziffer-Regel für 2, 5 und 10 verwechselt

So nicht
Ist 35 durch 10 teilbar? → ja
So richtig
Ist 35 durch 10 teilbar? → nein, Endziffer 5

Schau nur auf die letzte Ziffer. Prüfe dann die Regel für genau diese Zahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 826 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 826 prüfen: letzte Ziffern 26
    3. Probe: 826 : 2 = 413
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  2. ●5
    Ist 201 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 3 durch 3 teilbar?
    2. 201 prüfen: Quersumme 3, 3 : 3 = 1
    3. Probe: 201 : 3 = 67
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  3. ★6
    Ist 3028 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    2. 3028 prüfen: letzte Ziffern 28
    3. Probe: 3028 : 5 = 605 Rest 3
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 45 in Primfaktoren.
45????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 3 · 3 · 5
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 3 · 3 · 5
Ergebnis:
3 · 3 · 5

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht
Teiler von 12: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 18 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3
  2. ●8
    Zerlege 24 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 2 · 3
  3. ★9
    Zerlege 84 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 20 und 30.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
  2. kgV = 20 · 30 : 10 = 60
  1. Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
  2. kgV = 20 · 30 : 10 = 60
Ergebnis:
ggT 10, kgV 60

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4
So richtig
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 9 und 12.
    So fängst du an:
    Teiler von 9 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 9 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
    2. kgV = 9 · 12 : 3 = 36
    Ergebnis:
    ggT 3, kgV 36
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 21 und 28.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 21 und 28 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    2. kgV = 21 · 28 : 7 = 84
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 84
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 14 und 21 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 14 und 21 ist 7
    3. kgV = 14 · 21 : 7 = 42
    Ergebnis:
    nach 42 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 12 Sekunden, der andere alle 15 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
051015202530Start1215
Schritt für Schritt
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60
  3. 60 ist auch durch 12 teilbar: 60 : 12 = 5
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60
  3. 60 ist auch durch 12 teilbar: 60 : 12 = 5
Ergebnis:
60 Sekunden

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten
So richtig
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für das Sportfest sollen 42 Mädchen und 30 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    42erste Sorte30zweite Sorte
    So fängst du an:
    Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 6, denn 42 : 6 = 7 und 30 : 6 = 5
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Lea hat alle 10 Tage Schwimmtraining, Tom alle 11 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
    05101520Start1011
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
    3. 110 ist auch durch 10 teilbar: 110 : 10 = 11
    Ergebnis:
    110 Tage
  3. ★15
    105 Äpfel und 60 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
    105erste Sorte60zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 15, denn 105 : 15 = 7 und 60 : 15 = 4
    Ergebnis:
    15

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Zerlege 30 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 5
  2. ●17
    Ist 421 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    2. 421 prüfen: letzte Ziffern 21
    3. Probe: 421 : 5 = 84 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ●18
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 4 Minuten, Linie 2 alle 5 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    012345678910Start45
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20
    3. 20 ist auch durch 4 teilbar: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    20 Minuten
  4. ●19
    Zerlege 60 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 5
  5. ●20
    Ist 870 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 15 durch 3 teilbar?
    2. 870 prüfen: Quersumme 15, 15 : 3 = 5
    3. Probe: 870 : 3 = 290
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  6. ●21
    Bestimme ggT und kgV von 12 und 18.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 12 und 18 vergleichen: größter gemeinsamer ist 6
    2. kgV = 12 · 18 : 6 = 36
    Ergebnis:
    ggT 6, kgV 36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 36.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 963 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 12 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 80

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Lea hat alle 7 Tage Schwimmtraining, Tom alle 12 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
    05101520Start712
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84 Tage

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. ggT 4; kgV 24
  4. ja
  5. ja
  6. nein
  7. 2 · 3 · 3
  8. 2 · 2 · 2 · 3
  9. 2 · 2 · 3 · 7
  10. ggT 3, kgV 36
  11. ggT 7, kgV 84
  12. nach 42 Zähnen (kgV)
  13. 6
  14. 110 Tage
  15. 15
  16. 2 · 3 · 5
  17. nein
  18. 20 Minuten
  19. 2 · 2 · 3 · 5
  20. ja
  21. ggT 6, kgV 36
  22. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  23. nein
  24. 2 · 2 · 3
  25. ggT 4, kgV 80
  26. 84 Tage