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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

12 Plättchen in 3 gleichen Gruppen geht auf; bei 13 bleibt eines übrig12 : 3 = 4 – geht auf13 : 3 = 4 Rest 1

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 18.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·18, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·18, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 6, 9, 18

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 30.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 40.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 40 und 15.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 5 und 3 · 5
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 5
    3. kgV = 40 · 15 : ggT = 120
    Ergebnis:
    ggT 5; kgV 120

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 715 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
  2. 715 prüfen: letzte Ziffern 15
  3. Probe: 715 : 2 = 357 Rest 1
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
  2. 715 prüfen: letzte Ziffern 15
  3. Probe: 715 : 2 = 357 Rest 1
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

AchtungTeilbarkeitsregeln nicht verbunden

So nicht
340 teilbar durch … → 10
So richtig
340 teilbar durch … → 2, 5, 10

Denk an 10 = 2 · 5. Was durch 10 teilbar ist, ist auch durch 2 und durch 5 teilbar.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 495 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 495 prüfen: letzte Ziffern 95
    3. Probe: 495 : 2 = 247 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●5
    Ist 430 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 7 durch 9 teilbar?
    2. 430 prüfen: Quersumme 7, 7 : 9 = 0 Rest 7
    3. Probe: 430 : 9 = 47 Rest 7
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 5055 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 15 durch 3 teilbar?
    2. 5055 prüfen: Quersumme 15, 15 : 3 = 5
    3. Probe: 5055 : 3 = 1685
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 24 in Primfaktoren.
24????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 2 · 3
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 2 · 3
Ergebnis:
2 · 2 · 2 · 3

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht
Teiler von 12: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 60 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 5
  2. ●8
    Zerlege 18 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3
  3. ★9
    Zerlege 90 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3 · 5

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
  1. Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
Ergebnis:
ggT 4, kgV 80

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4
So richtig
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 14 und 21.
    So fängst du an:
    Teiler von 14 und 21 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 14 und 21 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    2. kgV = 14 · 21 : 7 = 42
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 42
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 10 · 15 : 5 = 30
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 30
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 18 und 27 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 18 und 27 ist 9
    3. kgV = 18 · 27 : 9 = 54
    Ergebnis:
    nach 54 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Aus 32 roten und 24 gelben Rosen sollen gleiche Sträuße werden. In jedem Strauß sind gleich viele rote und gleich viele gelbe Rosen, keine bleibt übrig. Wie viele Sträuße sind es höchstens?
32erste Sorte24zweite Sorte
Schritt für Schritt
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 8, denn 32 : 8 = 4 und 24 : 8 = 3
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 8, denn 32 : 8 = 4 und 24 : 8 = 3
Ergebnis:
8

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten
So richtig
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 5 Minuten, Linie 2 alle 9 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    024681012141618Start59
    So fängst du an:
    Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 9: 9, 18, 27, 36, 45
    3. 45 ist auch durch 5 teilbar: 45 : 5 = 9
    Ergebnis:
    45 Minuten
  2. ●14
    Für das Sportfest sollen 49 Mädchen und 35 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    49erste Sorte35zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 35: 1, 5, 7, 35
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 7, denn 49 : 7 = 7 und 35 : 7 = 5
    Ergebnis:
    7
  3. ★15
    Für das Sportfest sollen 75 Mädchen und 45 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    75erste Sorte45zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 15, denn 75 : 15 = 5 und 45 : 15 = 3
    Ergebnis:
    15

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ist 708 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
    2. 708 prüfen: letzte Ziffern 08
    3. Probe: 708 : 10 = 70 Rest 8
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●17
    Bestimme ggT und kgV von 8 und 12.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 8 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
    2. kgV = 8 · 12 : 4 = 24
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 24
  3. ●18
    24 Äpfel und 20 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
    24erste Sorte20zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 4, denn 24 : 4 = 6 und 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    4
  4. ●19
    Ist 383 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
    2. 383 prüfen: letzte Ziffern 83
    3. Probe: 383 : 10 = 38 Rest 3
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  5. ●20
    Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 75
  6. ★21
    Lea hat alle 24 Tage Schwimmtraining, Tom alle 27 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
    01020304050Start2427
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 27: 27, 54, 81, 108, 135, 162, 189, 216
    3. 216 ist auch durch 24 teilbar: 216 : 24 = 9
    Ergebnis:
    216 Tage

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 36.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 571 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 60 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 5

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 4, kgV 80

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 5 Minuten, Linie 2 alle 12 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    05101520Start512
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 Minuten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  2. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
  3. ggT 5; kgV 120
  4. nein
  5. nein
  6. ja
  7. 2 · 2 · 3 · 5
  8. 2 · 3 · 3
  9. 2 · 3 · 3 · 5
  10. ggT 7, kgV 42
  11. ggT 5, kgV 30
  12. nach 54 Zähnen (kgV)
  13. 45 Minuten
  14. 7
  15. 15
  16. nein
  17. ggT 4, kgV 24
  18. 4
  19. nein
  20. ggT 5, kgV 75
  21. 216 Tage
  22. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  23. nein
  24. 2 · 2 · 3 · 5
  25. ggT 4, kgV 80
  26. 60 Minuten