Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 40.

Schritt für Schritt

Teilerpaare suchen: 1·40, …

Teilerpaare suchen: 1·40, …

Ergebnis:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht

ggT(12, 18) = 36

So richtig

ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme alle Teiler von 18.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 6, 9, 18
●2
Bestimme alle Teiler von 36.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
★3
Bestimme ggT und kgV von 48 und 15.
Lösung zeigen
1. Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 und 3 · 5
2. ggT = gemeinsame Faktoren = 3
3. kgV = 48 · 15 : ggT = 240
Ergebnis:
ggT 3; kgV 240

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 602 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.

Schritt für Schritt

Regel für 9: Quersumme 8 durch 9 teilbar?
602 prüfen: Quersumme 8, 8 : 9 = 0 Rest 8
Probe: 602 : 9 = 66 Rest 8
Antwort: nein

Regel für 9: Quersumme 8 durch 9 teilbar?
602 prüfen: Quersumme 8, 8 : 9 = 0 Rest 8
Probe: 602 : 9 = 66 Rest 8
Antwort: nein

Ergebnis:

nein

ÜbenJetzt du

○4
Ist 958 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
So fängst du an:
Regel für 10: letzte Ziffer 0
Lösung zeigen
1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
2. 958 prüfen: letzte Ziffern 58
3. Probe: 958 : 10 = 95 Rest 8
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
●5
Ist 231 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
2. 231 prüfen: letzte Ziffern 31
3. Probe: 231 : 10 = 23 Rest 1
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
★6
Ist 9988 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 3: Quersumme 34 durch 3 teilbar?
2. 9988 prüfen: Quersumme 34, 34 : 3 = 11 Rest 1
3. Probe: 9988 : 3 = 3329 Rest 1
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 36 in Primfaktoren.

Schritt für Schritt

Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3

Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3

Ergebnis:

2 · 2 · 3 · 3

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht

Teiler von 12: 2, 3, 4, 6

So richtig

Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

○7
Zerlege 12 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3
●8
Zerlege 24 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 2 · 3
★9
Zerlege 210 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 3 · 5 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 16 und 24.

Schritt für Schritt

Teiler von 16 und 24 vergleichen: größter gemeinsamer ist 8
kgV = 16 · 24 : 8 = 48

Teiler von 16 und 24 vergleichen: größter gemeinsamer ist 8
kgV = 16 · 24 : 8 = 48

Ergebnis:

ggT 8, kgV 48

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4

So richtig

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

○10
Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
So fängst du an:
Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
Lösung zeigen
1. Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
2. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
Ergebnis:
ggT 4, kgV 80
●11
Bestimme ggT und kgV von 9 und 12.
Lösung zeigen
1. Teiler von 9 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
2. kgV = 9 · 12 : 3 = 36
Ergebnis:
ggT 3, kgV 36
★12
Zwei Zahnräder haben 21 und 28 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
2. ggT von 21 und 28 ist 7
3. kgV = 21 · 28 : 7 = 84
Ergebnis:
nach 84 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 8 Minuten, Linie 2 alle 10 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?

Schritt für Schritt

Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Vielfache von 10: 10, 20, 30, 40
40 ist auch durch 8 teilbar: 40 : 8 = 5

Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Vielfache von 10: 10, 20, 30, 40
40 ist auch durch 8 teilbar: 40 : 8 = 5

Ergebnis:

40 Minuten

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht

Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten

So richtig

Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

○13
Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 8 Minuten, Linie 2 alle 14 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
So fängst du an:
Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 14: 14, 28, 42, 56
3. 56 ist auch durch 8 teilbar: 56 : 8 = 7
Ergebnis:
56 Minuten
●14
Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 5 Minuten, Linie 2 alle 14 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 14: 14, 28, 42, 56, 70
3. 70 ist auch durch 5 teilbar: 70 : 5 = 14
Ergebnis:
70 Minuten
★15
Für das Sportfest sollen 84 Mädchen und 24 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
Lösung zeigen
1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
2. Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
3. Größter gemeinsamer Teiler: 12, denn 84 : 12 = 7 und 24 : 12 = 2
Ergebnis:
12

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Bestimme alle Teiler von 24.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
●17
Ist 871 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 9: Quersumme 16 durch 9 teilbar?
2. 871 prüfen: Quersumme 16, 16 : 9 = 1 Rest 7
3. Probe: 871 : 9 = 96 Rest 7
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
●18
Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
Lösung zeigen
1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
Ergebnis:
ggT 5, kgV 75
●19
Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 3 Minuten, Linie 2 alle 14 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 14: 14, 28, 42
3. 42 ist auch durch 3 teilbar: 42 : 3 = 14
Ergebnis:
42 Minuten
●20
Zerlege 60 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 5
●21
Ist 974 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 3: Quersumme 20 durch 3 teilbar?
2. 974 prüfen: Quersumme 20, 20 : 3 = 6 Rest 2
3. Probe: 974 : 3 = 324 Rest 2
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache: 6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl: Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV: Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben: Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich bestimme Teiler und Vielfache.
22
Bestimme alle Teiler von 36.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.
23
Ist 182 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein
Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.
24
Zerlege 60 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 5
Ich bestimme ggT und kgV.
25
Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ggT 5, kgV 30
Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.
26
Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 9 Sekunden, der andere alle 15 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
Lösung zeigen
Ergebnis:
45 Sekunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

1, 2, 3, 6, 9, 18
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
ggT 3; kgV 240
nein
nein
nein
2 · 2 · 3
2 · 2 · 2 · 3
2 · 3 · 5 · 7
ggT 4, kgV 80
ggT 3, kgV 36
nach 84 Zähnen (kgV)
56 Minuten
70 Minuten
12
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
nein
ggT 5, kgV 75
42 Minuten
2 · 2 · 3 · 5
nein
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
nein
2 · 2 · 3 · 5
ggT 5, kgV 30
45 Sekunden