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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 36.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·36, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·36, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 24.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 24 und 27.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 3 und 3 · 3 · 3
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 3
    3. kgV = 24 · 27 : ggT = 216
    Ergebnis:
    ggT 3; kgV 216

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 475 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
  2. 475 prüfen: letzte Ziffern 75
  3. Probe: 475 : 2 = 237 Rest 1
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
  2. 475 prüfen: letzte Ziffern 75
  3. Probe: 475 : 2 = 237 Rest 1
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 762 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 762 prüfen: letzte Ziffern 62
    3. Probe: 762 : 2 = 381
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  2. ●5
    Ist 988 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 25 durch 3 teilbar?
    2. 988 prüfen: Quersumme 25, 25 : 3 = 8 Rest 1
    3. Probe: 988 : 3 = 329 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 8761 durch 25 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 25: letzte zwei Ziffern 00, 25, 50, 75
    2. 8761 prüfen: letzte Ziffern 61
    3. Probe: 8761 : 25 = 350 Rest 11
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 30 in Primfaktoren.
30????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 3 · 5
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 3 · 5
Ergebnis:
2 · 3 · 5

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 36 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 3
  2. ●8
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5
  3. ★9
    Zerlege 90 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3 · 5

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
  2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
  1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
  2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
Ergebnis:
ggT 5, kgV 75

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 12 und 18.
    So fängst du an:
    Teiler von 12 und 18 vergleichen: größter gemeinsamer ist 6
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 12 und 18 vergleichen: größter gemeinsamer ist 6
    2. kgV = 12 · 18 : 6 = 36
    Ergebnis:
    ggT 6, kgV 36
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 24 und 36.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 24 und 36 vergleichen: größter gemeinsamer ist 12
    2. kgV = 24 · 36 : 12 = 72
    Ergebnis:
    ggT 12, kgV 72
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 15 und 25 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 15 und 25 ist 5
    3. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
    Ergebnis:
    nach 75 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Lea hat alle 6 Tage Schwimmtraining, Tom alle 8 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
0246810121416Start68
Schritt für Schritt
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 8: 8, 16, 24
  3. 24 ist auch durch 6 teilbar: 24 : 6 = 4
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 8: 8, 16, 24
  3. 24 ist auch durch 6 teilbar: 24 : 6 = 4
Ergebnis:
24 Tage

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für das Sportfest sollen 15 Mädchen und 9 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    15erste Sorte9zweite Sorte
    So fängst du an:
    Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 9: 1, 3, 9
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 3, denn 15 : 3 = 5 und 9 : 3 = 3
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 9 Minuten, Linie 2 alle 14 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    0510152025Start914
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126
    3. 126 ist auch durch 9 teilbar: 126 : 9 = 14
    Ergebnis:
    126 Minuten
  3. ★15
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 24 Minuten, Linie 2 alle 26 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    01020304050Start2426
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 26: 26, 52, 78, 104, 130, 156, 182, 208, 234, 260, 286, 312
    3. 312 ist auch durch 24 teilbar: 312 : 24 = 13
    Ergebnis:
    312 Minuten

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ist 984 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    2. 984 prüfen: letzte Ziffern 84
    3. Probe: 984 : 5 = 196 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●17
    Bestimme ggT und kgV von 9 und 12.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 9 und 12 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
    2. kgV = 9 · 12 : 3 = 36
    Ergebnis:
    ggT 3, kgV 36
  3. ●18
    Für das Sportfest sollen 72 Mädchen und 56 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    72erste Sorte56zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 8, denn 72 : 8 = 9 und 56 : 8 = 7
    Ergebnis:
    8
  4. ●19
    Bestimme alle Teiler von 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 12
  5. ●20
    Ist 224 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 8 durch 3 teilbar?
    2. 224 prüfen: Quersumme 8, 8 : 3 = 2 Rest 2
    3. Probe: 224 : 3 = 74 Rest 2
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  6. ★21
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 10 Sekunden, der andere alle 16 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    051015202530Start1016
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 16: 16, 32, 48, 64, 80
    3. 80 ist auch durch 10 teilbar: 80 : 10 = 8
    Ergebnis:
    80 Sekunden

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 757 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 18 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 18 und 27.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 9, kgV 54

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Für das Sportfest sollen 36 Mädchen und 20 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    36erste Sorte20zweite Sorte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  3. ggT 3; kgV 216
  4. ja
  5. nein
  6. nein
  7. 2 · 2 · 3 · 3
  8. 3 · 3 · 5
  9. 2 · 3 · 3 · 5
  10. ggT 6, kgV 36
  11. ggT 12, kgV 72
  12. nach 75 Zähnen (kgV)
  13. 3
  14. 126 Minuten
  15. 312 Minuten
  16. nein
  17. ggT 3, kgV 36
  18. 8
  19. 1, 2, 3, 4, 6, 12
  20. nein
  21. 80 Sekunden
  22. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  23. nein
  24. 2 · 3 · 3
  25. ggT 9, kgV 54
  26. 4