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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

12 Plättchen in 3 gleichen Gruppen geht auf; bei 13 bleibt eines übrig12 : 3 = 4 – geht auf13 : 3 = 4 Rest 1

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 24.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·24, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·24, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 18.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 40 und 20.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 2 · 2 · 5 und 2 · 2 · 5
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 20
    3. kgV = 40 · 20 : ggT = 40
    Ergebnis:
    ggT 20; kgV 40

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 301 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
  2. 301 prüfen: letzte Ziffern 01
  3. Probe: 301 : 5 = 60 Rest 1
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
  2. 301 prüfen: letzte Ziffern 01
  3. Probe: 301 : 5 = 60 Rest 1
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

AchtungEndziffer-Regel für 2, 5 und 10 verwechselt

So nicht
Ist 35 durch 10 teilbar? → ja
So richtig
Ist 35 durch 10 teilbar? → nein, Endziffer 5

Schau nur auf die letzte Ziffer. Prüfe dann die Regel für genau diese Zahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 171 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 3: Quersumme 9 durch 3 teilbar?
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 9 durch 3 teilbar?
    2. 171 prüfen: Quersumme 9, 9 : 3 = 3
    3. Probe: 171 : 3 = 57
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  2. ●5
    Ist 194 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
    2. 194 prüfen: letzte Ziffern 94
    3. Probe: 194 : 10 = 19 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 7911 durch 25 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 25: letzte zwei Ziffern 00, 25, 50, 75
    2. 7911 prüfen: letzte Ziffern 11
    3. Probe: 7911 : 25 = 316 Rest 11
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 36 in Primfaktoren.
36????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 3

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht
Teiler von 12: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5
  2. ●8
    Zerlege 60 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 5
  3. ★9
    Zerlege 90 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3 · 5

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 20 und 30.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
  2. kgV = 20 · 30 : 10 = 60
  1. Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
  2. kgV = 20 · 30 : 10 = 60
Ergebnis:
ggT 10, kgV 60

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4
So richtig
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
    So fängst du an:
    Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 10 · 15 : 5 = 30
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 30
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 14 und 21.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 14 und 21 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    2. kgV = 14 · 21 : 7 = 42
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 42
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 12 und 20 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 12 und 20 ist 4
    3. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
    Ergebnis:
    nach 60 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 10 Sekunden, der andere alle 15 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
051015202530Start1015
Schritt für Schritt
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 15: 15, 30
  3. 30 ist auch durch 10 teilbar: 30 : 10 = 3
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 15: 15, 30
  3. 30 ist auch durch 10 teilbar: 30 : 10 = 3
Ergebnis:
30 Sekunden

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten
So richtig
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für das Sportfest sollen 25 Mädchen und 15 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    25erste Sorte15zweite Sorte
    So fängst du an:
    Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 15: 1, 3, 5, 15
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 25 : 5 = 5 und 15 : 5 = 3
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 4 Sekunden, der andere alle 11 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    05101520Start411
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44
    3. 44 ist auch durch 4 teilbar: 44 : 4 = 11
    Ergebnis:
    44 Sekunden
  3. ★15
    Aus 30 roten und 24 gelben Rosen sollen gleiche Sträuße werden. In jedem Strauß sind gleich viele rote und gleich viele gelbe Rosen, keine bleibt übrig. Wie viele Sträuße sind es höchstens?
    30erste Sorte24zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 6, denn 30 : 6 = 5 und 24 : 6 = 4
    Ergebnis:
    6

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Ist 348 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 15 durch 9 teilbar?
    2. 348 prüfen: Quersumme 15, 15 : 9 = 1 Rest 6
    3. Probe: 348 : 9 = 38 Rest 6
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●17
    Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 75
  3. ●18
    Für das Sportfest sollen 21 Mädchen und 9 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    21erste Sorte9zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 9: 1, 3, 9
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 3, denn 21 : 3 = 7 und 9 : 3 = 3
    Ergebnis:
    3
  4. ●19
    Zerlege 30 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 5
  5. ●20
    Ist 436 durch 2 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 2: letzte Ziffer gerade
    2. 436 prüfen: letzte Ziffern 36
    3. Probe: 436 : 2 = 218
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  6. ★21
    Für das Sportfest sollen 63 Mädchen und 27 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    63erste Sorte27zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 27: 1, 3, 9, 27
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 9, denn 63 : 9 = 7 und 27 : 9 = 3
    Ergebnis:
    9

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 36.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 459 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 20 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 5

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 20 und 30.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 10, kgV 60

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 9 Sekunden, der andere alle 13 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
    0510152025Start913
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117 Sekunden

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  2. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. ggT 20; kgV 40
  4. ja
  5. nein
  6. nein
  7. 3 · 3 · 5
  8. 2 · 2 · 3 · 5
  9. 2 · 3 · 3 · 5
  10. ggT 5, kgV 30
  11. ggT 7, kgV 42
  12. nach 60 Zähnen (kgV)
  13. 5
  14. 44 Sekunden
  15. 6
  16. nein
  17. ggT 5, kgV 75
  18. 3
  19. 2 · 3 · 5
  20. ja
  21. 9
  22. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  23. nein
  24. 2 · 2 · 5
  25. ggT 10, kgV 60
  26. 117 Sekunden