Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 40.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·40, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·40, …
Ergebnis:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 18.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 12
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 30 und 60.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 3 · 5 und 2 · 2 · 3 · 5
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 30
    3. kgV = 30 · 60 : ggT = 60
    Ergebnis:
    ggT 30; kgV 60

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 545 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 9: Quersumme 14 durch 9 teilbar?
  2. 545 prüfen: Quersumme 14, 14 : 9 = 1 Rest 5
  3. Probe: 545 : 9 = 60 Rest 5
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 9: Quersumme 14 durch 9 teilbar?
  2. 545 prüfen: Quersumme 14, 14 : 9 = 1 Rest 5
  3. Probe: 545 : 9 = 60 Rest 5
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 681 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 3: Quersumme 15 durch 3 teilbar?
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 15 durch 3 teilbar?
    2. 681 prüfen: Quersumme 15, 15 : 3 = 5
    3. Probe: 681 : 3 = 227
    4. Antwort: ja
    Ergebnis:
    ja
  2. ●5
    Ist 560 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 11 durch 3 teilbar?
    2. 560 prüfen: Quersumme 11, 11 : 3 = 3 Rest 2
    3. Probe: 560 : 3 = 186 Rest 2
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 9442 durch 6 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 6: durch 2 und durch 3
    2. 9442 prüfen: letzte Ziffern 42
    3. Probe: 9442 : 6 = 1573 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 60 in Primfaktoren.
60????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 5
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 5
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 5

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5
  2. ●8
    Zerlege 36 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 3
  3. ★9
    Zerlege 210 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 5 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 12 und 20.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
  1. Teiler von 12 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
  2. kgV = 12 · 20 : 4 = 60
Ergebnis:
ggT 4, kgV 60

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
    So fängst du an:
    Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 10 · 15 : 5 = 30
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 30
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 21 und 28.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 21 und 28 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    2. kgV = 21 · 28 : 7 = 84
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 84
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 16 und 20 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 16 und 20 ist 4
    3. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
    Ergebnis:
    nach 80 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 6 Sekunden, der andere alle 10 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
02468101214161820Start610
Schritt für Schritt
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 10: 10, 20, 30
  3. 30 ist auch durch 6 teilbar: 30 : 6 = 5
  1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
  2. Vielfache von 10: 10, 20, 30
  3. 30 ist auch durch 6 teilbar: 30 : 6 = 5
Ergebnis:
30 Sekunden

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für das Sportfest sollen 30 Mädchen und 25 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    30erste Sorte25zweite Sorte
    So fängst du an:
    Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 25: 1, 5, 25
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 30 : 5 = 6 und 25 : 5 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Lea hat alle 4 Tage Schwimmtraining, Tom alle 5 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
    012345678910Start45
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20
    3. 20 ist auch durch 4 teilbar: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    20 Tage
  3. ★15
    Lea hat alle 21 Tage Schwimmtraining, Tom alle 30 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
    0102030405060Start2130
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210
    3. 210 ist auch durch 21 teilbar: 210 : 21 = 10
    Ergebnis:
    210 Tage

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  2. ●17
    Zerlege 30 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 5
  3. ●18
    Ist 864 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
    2. 864 prüfen: letzte Ziffern 64
    3. Probe: 864 : 5 = 172 Rest 4
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  4. ●19
    Bestimme ggT und kgV von 20 und 30.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 20 und 30 vergleichen: größter gemeinsamer ist 10
    2. kgV = 20 · 30 : 10 = 60
    Ergebnis:
    ggT 10, kgV 60
  5. ●20
    Für das Sportfest sollen 28 Mädchen und 16 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    28erste Sorte16zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 16: 1, 2, 4, 8, 16
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 4, denn 28 : 4 = 7 und 16 : 4 = 4
    Ergebnis:
    4
  6. ●21
    Bestimme alle Teiler von 36.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 30.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 874 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 45 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 · 3 · 5

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 6 und 9.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 3, kgV 18

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Für das Sportfest sollen 28 Mädchen und 12 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    28erste Sorte12zweite Sorte
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  2. 1, 2, 3, 4, 6, 12
  3. ggT 30; kgV 60
  4. ja
  5. nein
  6. nein
  7. 3 · 3 · 5
  8. 2 · 2 · 3 · 3
  9. 2 · 3 · 5 · 7
  10. ggT 5, kgV 30
  11. ggT 7, kgV 84
  12. nach 80 Zähnen (kgV)
  13. 5
  14. 20 Tage
  15. 210 Tage
  16. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  17. 2 · 3 · 5
  18. nein
  19. ggT 10, kgV 60
  20. 4
  21. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  22. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  23. nein
  24. 3 · 3 · 5
  25. ggT 3, kgV 18
  26. 4