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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

12 Plättchen in 3 gleichen Gruppen geht auf; bei 13 bleibt eines übrig12 : 3 = 4 – geht auf13 : 3 = 4 Rest 1

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 36.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare suchen: 1·36, …
  1. Teilerpaare suchen: 1·36, …
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Bestimme alle Teiler von 24.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. ●2
    Bestimme alle Teiler von 12.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 12
  3. ★3
    Bestimme ggT und kgV von 30 und 32.
    Lösung zeigen
    1. Primfaktoren: 2 · 3 · 5 und 2 · 2 · 2 · 2 · 2
    2. ggT = gemeinsame Faktoren = 2
    3. kgV = 30 · 32 : ggT = 480
    Ergebnis:
    ggT 2; kgV 480

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 502 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
Schritt für Schritt
  1. Regel für 9: Quersumme 7 durch 9 teilbar?
  2. 502 prüfen: Quersumme 7, 7 : 9 = 0 Rest 7
  3. Probe: 502 : 9 = 55 Rest 7
  4. Antwort: nein
  1. Regel für 9: Quersumme 7 durch 9 teilbar?
  2. 502 prüfen: Quersumme 7, 7 : 9 = 0 Rest 7
  3. Probe: 502 : 9 = 55 Rest 7
  4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

AchtungEndziffer-Regel für 2, 5 und 10 verwechselt

So nicht
Ist 35 durch 10 teilbar? → ja
So richtig
Ist 35 durch 10 teilbar? → nein, Endziffer 5

Schau nur auf die letzte Ziffer. Prüfe dann die Regel für genau diese Zahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ist 133 durch 3 teilbar? Begründe mit der Regel.
    So fängst du an:
    Regel für 3: Quersumme 7 durch 3 teilbar?
    Lösung zeigen
    1. Regel für 3: Quersumme 7 durch 3 teilbar?
    2. 133 prüfen: Quersumme 7, 7 : 3 = 2 Rest 1
    3. Probe: 133 : 3 = 44 Rest 1
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  2. ●5
    Ist 637 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
    2. 637 prüfen: letzte Ziffern 37
    3. Probe: 637 : 10 = 63 Rest 7
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  3. ★6
    Ist 9618 durch 4 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 4: letzte zwei Ziffern 18 durch 4 teilbar?
    2. 9618 prüfen: letzte Ziffern 18
    3. Probe: 9618 : 4 = 2404 Rest 2
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 36 in Primfaktoren.
36????bis nur Primzahlen bleiben
Schritt für Schritt
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3
  1. Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 3 · 3
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 3

AchtungNoch einmal: ggT und kgV vertauscht

So nicht
ggT(12, 18) = 36
So richtig
ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zerlege 30 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 5
  2. ●8
    Zerlege 18 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 3 · 3
  3. ★9
    Zerlege 84 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 10 und 15.
Schritt für Schritt
  1. Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
  2. kgV = 10 · 15 : 5 = 30
  1. Teiler von 10 und 15 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
  2. kgV = 10 · 15 : 5 = 30
Ergebnis:
ggT 5, kgV 30

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht
Teiler von 12: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
    So fängst du an:
    Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
    2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
    Ergebnis:
    ggT 5, kgV 75
  2. ●11
    Bestimme ggT und kgV von 14 und 21.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 14 und 21 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
    2. kgV = 14 · 21 : 7 = 42
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 42
  3. ★12
    Zwei Zahnräder haben 16 und 24 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
    2. ggT von 16 und 24 ist 8
    3. kgV = 16 · 24 : 8 = 48
    Ergebnis:
    nach 48 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Für das Sportfest sollen 25 Mädchen und 20 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
25erste Sorte20zweite Sorte
Schritt für Schritt
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 25 : 5 = 5 und 20 : 5 = 4
  1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
  2. Teiler von 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 25 : 5 = 5 und 20 : 5 = 4
Ergebnis:
5

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten
So richtig
Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Für das Sportfest sollen 25 Mädchen und 15 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    25erste Sorte15zweite Sorte
    So fängst du an:
    Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 15: 1, 3, 5, 15
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 5, denn 25 : 5 = 5 und 15 : 5 = 3
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Für das Sportfest sollen 56 Mädchen und 32 Jungen auf möglichst viele Gruppen verteilt werden. In jeder Gruppe sind gleich viele Mädchen und gleich viele Jungen. Wie viele Gruppen werden es?
    56erste Sorte32zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 8, denn 56 : 8 = 7 und 32 : 8 = 4
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Aus 32 roten und 24 gelben Rosen sollen gleiche Sträuße werden. In jedem Strauß sind gleich viele rote und gleich viele gelbe Rosen, keine bleibt übrig. Wie viele Sträuße sind es höchstens?
    32erste Sorte24zweite Sorte
    Lösung zeigen
    1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
    2. Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    3. Größter gemeinsamer Teiler: 8, denn 32 : 8 = 4 und 24 : 8 = 3
    Ergebnis:
    8

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●16
    Bestimme alle Teiler von 18.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 6, 9, 18
  2. ●17
    Zerlege 24 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 2 · 3
  3. ●18
    Ist 147 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    1. Regel für 9: Quersumme 12 durch 9 teilbar?
    2. 147 prüfen: Quersumme 12, 12 : 9 = 1 Rest 3
    3. Probe: 147 : 9 = 16 Rest 3
    4. Antwort: nein
    Ergebnis:
    nein
  4. ●19
    Bestimme ggT und kgV von 12 und 18.
    Lösung zeigen
    1. Teiler von 12 und 18 vergleichen: größter gemeinsamer ist 6
    2. kgV = 12 · 18 : 6 = 36
    Ergebnis:
    ggT 6, kgV 36
  5. ●20
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 10 Minuten, Linie 2 alle 11 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    05101520Start1011
    Lösung zeigen
    1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
    2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
    3. 110 ist auch durch 10 teilbar: 110 : 10 = 11
    Ergebnis:
    110 Minuten
  6. ●21
    Bestimme alle Teiler von 48.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache
6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV
Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben
Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich bestimme Teiler und Vielfache.

    22
    Bestimme alle Teiler von 24.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

  2. Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

    23
    Ist 651 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  3. Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

    24
    Zerlege 36 in Primfaktoren.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 · 2 · 3 · 3

  4. Ich bestimme ggT und kgV.

    25
    Bestimme ggT und kgV von 14 und 21.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ggT 7, kgV 42

  5. Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

    26
    Zwei Busse fahren um 8:00 Uhr zusammen ab. Linie 1 fährt alle 5 Minuten, Linie 2 alle 13 Minuten. Nach wie vielen Minuten fahren sie wieder gleichzeitig ab?
    0510152025Start513
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65 Minuten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

  1. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. 1, 2, 3, 4, 6, 12
  3. ggT 2; kgV 480
  4. nein
  5. nein
  6. nein
  7. 2 · 3 · 5
  8. 2 · 3 · 3
  9. 2 · 2 · 3 · 7
  10. ggT 5, kgV 75
  11. ggT 7, kgV 42
  12. nach 48 Zähnen (kgV)
  13. 5
  14. 8
  15. 8
  16. 1, 2, 3, 6, 9, 18
  17. 2 · 2 · 2 · 3
  18. nein
  19. ggT 6, kgV 36
  20. 110 Minuten
  21. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  22. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  23. nein
  24. 2 · 2 · 3 · 3
  25. ggT 7, kgV 42
  26. 65 Minuten