Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Teilbarkeit und Primzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Vier Divisionen in einer Minute schafft niemand. Die Klasse merkt: Man braucht einen Blick, kein Verfahren. Die Quersumme verrät es: 4 + 1 + 1 + 3 = 9, also teilbar. In fünf Sekunden statt in einer Minute.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilen ohne Rest

Teilbar heißt: Es geht genau auf. 12 lässt sich in 3 gleiche Gruppen legen, 13 nicht. Eine Primzahl ist eine Zahl, die man nur als eine Reihe legen kann.

WeiterdenkenDenk nach

Kann eine Zahl mit der Endziffer 4 durch 5 teilbar sein? Woher weißt du das, ohne zu rechnen?

1Ich bestimme Teiler und Vielfache.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Zikade einen 17-Jahres-Zyklus – und was hat das mit Primzahlen zu tun?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fressfeinde mit 2-, 3- oder 4-Jahres-Zyklen treffen die Zikaden bei 13 oder 17 Jahren fast nie gleichzeitig – Primzahlen haben keine gemeinsamen Teiler mit kleinen Zahlen.

MerkenTeiler und Vielfache

6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.

18 ist Vielfaches von 6. Teiler in Paaren suchen: 1·18, 2·9, 3·6.

Eselsbrücke: Durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 geht; durch 9, wenn die Quersumme durch 9 geht

BeispielTeiler, Vielfache, ggT und kgV

Bestimme alle Teiler von 36.

Schritt für Schritt

Teilerpaare suchen: 1·36, …

Teilerpaare suchen: 1·36, …

Ergebnis:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

AchtungggT und kgV vertauscht

So nicht

ggT(12, 18) = 36

So richtig

ggT(12, 18) = 6, kgV(12, 18) = 36

ggT ist kleiner als die Zahlen, kgV größer.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme alle Teiler von 12.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12
●2
Bestimme alle Teiler von 30.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
★3
Bestimme ggT und kgV von 18 und 20.
Lösung zeigen
1. Primfaktoren: 2 · 3 · 3 und 2 · 2 · 5
2. ggT = gemeinsame Faktoren = 2
3. kgV = 18 · 20 : ggT = 180
Ergebnis:
ggT 2; kgV 180

2Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.

EntdeckenFrage

Warum kann man mit Primzahlen Geheimnisse schützen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zwei große Primzahlen zu multiplizieren ist leicht; das Produkt wieder zu zerlegen dauert selbst für Rechner Jahrtausende. Darauf beruht die Verschlüsselung jedes Online-Einkaufs.

MerkenTeilbarkeitsregeln

Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.

Durch 2, 5 und 10 entscheidet die letzte Ziffer, durch 3 und 9 die Quersumme.

BeispielTeilbarkeitsregeln

Ist 859 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.

Schritt für Schritt

Regel für 10: letzte Ziffer 0
859 prüfen: letzte Ziffern 59
Probe: 859 : 10 = 85 Rest 9
Antwort: nein

Regel für 10: letzte Ziffer 0
859 prüfen: letzte Ziffern 59
Probe: 859 : 10 = 85 Rest 9
Antwort: nein

Ergebnis:

nein

AchtungEndziffer-Regel für 2, 5 und 10 verwechselt

So nicht

Ist 35 durch 10 teilbar? → ja

So richtig

Ist 35 durch 10 teilbar? → nein, Endziffer 5

Schau nur auf die letzte Ziffer. Prüfe dann die Regel für genau diese Zahl.

ÜbenJetzt du

○4
Ist 256 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
So fängst du an:
Regel für 10: letzte Ziffer 0
Lösung zeigen
1. Regel für 10: letzte Ziffer 0
2. 256 prüfen: letzte Ziffern 56
3. Probe: 256 : 10 = 25 Rest 6
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
●5
Ist 653 durch 9 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 9: Quersumme 14 durch 9 teilbar?
2. 653 prüfen: Quersumme 14, 14 : 9 = 1 Rest 5
3. Probe: 653 : 9 = 72 Rest 5
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
★6
Ist 5623 durch 25 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 25: letzte zwei Ziffern 00, 25, 50, 75
2. 5623 prüfen: letzte Ziffern 23
3. Probe: 5623 : 25 = 224 Rest 23
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

3Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.

EntdeckenFrage

Wie viele Primzahlen gibt es?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Unendlich viele. Euklid bewies es vor 2300 Jahren so: Multipliziert man alle bekannten Primzahlen und addiert eins, entsteht eine Zahl, die durch keine von ihnen teilbar ist.

MerkenPrimzahl

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

So wie 2, 3, 5, 7, 11. Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

BeispielPrimfaktorzerlegung

Zerlege 20 in Primfaktoren.

Schritt für Schritt

Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 5

Immer durch die kleinste Primzahl teilen: 2 · 2 · 5

Ergebnis:

2 · 2 · 5

Achtung1 und die Zahl selbst nicht als Teiler gezählt

So nicht

Teiler von 12: 2, 3, 4, 6

So richtig

Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Schreib zuerst 1 und die Zahl selbst auf.

ÜbenJetzt du

○7
Zerlege 12 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3
●8
Zerlege 30 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 3 · 5
★9
Zerlege 84 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 7

4Ich bestimme ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Zwei Busse fahren alle 12 und alle 18 Minuten – wann stehen sie gemeinsam an der Haltestelle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Alle 36 Minuten. Das ist die kleinste Zahl, die sich sowohl durch 12 als auch durch 18 teilen lässt – deshalb stehen in Fahrplänen selten krumme Takte.

MerkenggT und kgV

Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.

Beim kgV zählt jeder Primfaktor so oft, wie er höchstens vorkommt. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches.

BeispielggT und kgV

Bestimme ggT und kgV von 14 und 21.

Schritt für Schritt

Teiler von 14 und 21 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
kgV = 14 · 21 : 7 = 42

Teiler von 14 und 21 vergleichen: größter gemeinsamer ist 7
kgV = 14 · 21 : 7 = 42

Ergebnis:

ggT 7, kgV 42

AchtungZu den Teilern die Partner vergessen

So nicht

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4

So richtig

Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Schreib zu jedem Teiler seinen Partner dazu: 3 · 8 = 24, also auch 8.

ÜbenJetzt du

○10
Bestimme ggT und kgV von 6 und 9.
So fängst du an:
Teiler von 6 und 9 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
Lösung zeigen
1. Teiler von 6 und 9 vergleichen: größter gemeinsamer ist 3
2. kgV = 6 · 9 : 3 = 18
Ergebnis:
ggT 3, kgV 18
●11
Bestimme ggT und kgV von 15 und 25.
Lösung zeigen
1. Teiler von 15 und 25 vergleichen: größter gemeinsamer ist 5
2. kgV = 15 · 25 : 5 = 75
Ergebnis:
ggT 5, kgV 75
★12
Zwei Zahnräder haben 24 und 36 Zähne. Nach wie vielen Zähnen stehen beide wieder wie am Anfang? Entscheide: ggT oder kgV?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist das erste gemeinsame Vielfache – also das kgV
2. ggT von 24 und 36 ist 12
3. kgV = 24 · 36 : 12 = 72
Ergebnis:
nach 72 Zähnen (kgV)

5Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.

EntdeckenFrage

Wie zerschneidet man ein Blatt von 48 mal 36 Zentimetern restlos in gleich große Quadrate?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit Quadraten von 12 Zentimetern Kantenlänge: 12 ist die größte Zahl, die 48 und 36 gemeinsam teilt. Es werden genau 4 mal 3, also zwölf Stück.

MerkenSachaufgaben

Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

BeispielSachaufgaben: ggT oder kgV?

Lea hat alle 8 Tage Schwimmtraining, Tom alle 12 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?

Schritt für Schritt

Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Vielfache von 12: 12, 24
24 ist auch durch 8 teilbar: 24 : 8 = 3

Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
Vielfache von 12: 12, 24
24 ist auch durch 8 teilbar: 24 : 8 = 3

Ergebnis:

24 Tage

AchtungggT und kgV verwechselt

So nicht

Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 2 Minuten

So richtig

Bus alle 4, Bahn alle 6 Minuten → nach 12 Minuten

Frag dich: Wird aufgeteilt oder passiert etwas wieder gleichzeitig? Gleichzeitig heißt Vielfaches.

ÜbenJetzt du

○13
49 Äpfel und 21 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
So fängst du an:
Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
Lösung zeigen
1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
2. Teiler von 21: 1, 3, 7, 21
3. Größter gemeinsamer Teiler: 7, denn 49 : 7 = 7 und 21 : 7 = 3
Ergebnis:
7
●14
Zwei Leuchttürme blinken gleichzeitig. Der eine blinkt alle 10 Sekunden, der andere alle 11 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie wieder zusammen?
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
3. 110 ist auch durch 10 teilbar: 110 : 10 = 11
Ergebnis:
110 Sekunden
★15
Lea hat alle 18 Tage Schwimmtraining, Tom alle 27 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
Lösung zeigen
1. Wieder gleichzeitig: das kleinste gemeinsame Vielfache, also das kgV.
2. Vielfache von 27: 27, 54
3. 54 ist auch durch 18 teilbar: 54 : 18 = 3
Ergebnis:
54 Tage

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●16
Bestimme alle Teiler von 24.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
●17
Zerlege 60 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 3 · 5
●18
Ist 832 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
2. 832 prüfen: letzte Ziffern 32
3. Probe: 832 : 5 = 166 Rest 2
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein
●19
Bestimme ggT und kgV von 16 und 20.
Lösung zeigen
1. Teiler von 16 und 20 vergleichen: größter gemeinsamer ist 4
2. kgV = 16 · 20 : 4 = 80
Ergebnis:
ggT 4, kgV 80
●20
48 Äpfel und 18 Birnen sollen in Tüten verteilt werden. Jede Tüte bekommt gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen, nichts bleibt übrig. Wie viele Tüten werden es höchstens?
Lösung zeigen
1. Gleiche Teile, nichts bleibt übrig, möglichst viele: der größte gemeinsame Teiler.
2. Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
3. Größter gemeinsamer Teiler: 6, denn 48 : 6 = 8 und 18 : 6 = 3
Ergebnis:
6
●21
Ist 273 durch 5 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
1. Regel für 5: letzte Ziffer 0 oder 5
2. 273 prüfen: letzte Ziffern 73
3. Probe: 273 : 5 = 54 Rest 3
4. Antwort: nein
Ergebnis:
nein

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teiler und Vielfache: 6 ist Teiler von 18, weil 18 : 6 aufgeht.
Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sieht man ohne zu rechnen.
Primzahl: Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
ggT und kgV: Der ggT nimmt die gemeinsamen Primfaktoren, das kgV alle.
Sachaufgaben: Gleich große Stücke ohne Rest → ggT. Wann treffen sich zwei Takte wieder → kgV.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich bestimme Teiler und Vielfache.
22
Bestimme alle Teiler von 12.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Ich kenne die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10.
23
Ist 364 durch 10 teilbar? Begründe mit der Regel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein
Ich erkenne Primzahlen und zerlege in Primfaktoren.
24
Zerlege 20 in Primfaktoren.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 · 2 · 5
Ich bestimme ggT und kgV.
25
Bestimme ggT und kgV von 14 und 21.
Lösung zeigen
Ergebnis:
ggT 7, kgV 42
Ich löse Sachaufgaben mit ggT und kgV.
26
Lea hat alle 5 Tage Schwimmtraining, Tom alle 8 Tage. Heute trainieren beide. In wie vielen Tagen trainieren sie wieder am selben Tag?
Lösung zeigen
Ergebnis:
40 Tage

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welche dieser Zahlen sind durch 3 teilbar: 4.113, 7.406, 51.921, 88.888? Du hast eine Minute, keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit sehen, ohne zu dividieren.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gerecht teilen, Muster erkennen, Termine im Takt. Beruf: IT (Prüfziffern, Verschlüsselung), Verpackung.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches: das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Teiler, Vielfache und Teilbarkeit, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Brüche und Dezimalzahlen vernetzen, Brüche und Dezimalzahlen

Lösungen

1, 2, 3, 4, 6, 12
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
ggT 2; kgV 180
nein
nein
nein
2 · 2 · 3
2 · 3 · 5
2 · 2 · 3 · 7
ggT 3, kgV 18
ggT 5, kgV 75
nach 72 Zähnen (kgV)
7
110 Sekunden
54 Tage
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2 · 2 · 3 · 5
nein
ggT 4, kgV 80
6
nein
1, 2, 3, 4, 6, 12
nein
2 · 2 · 5
ggT 7, kgV 42
40 Tage