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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Wie viele Teiler hat die Zahl 24? Zähle 1 und 24 mit.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
    2. Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    3. Das sind 8 Teiler.
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 542 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    542
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 2.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 2. Der Rest ist 2.
    Ergebnis:
    2

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    35 : 7 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5
  2. ●42
    10 · 5 = ___
    5 in jeder Reihe10 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 10 Reihen mit je 5 Punkten
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

Zwölf Plättchen als Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6, 3 mal 4 – die Teiler von 121 · 122 · 63 · 4Teiler von 12:1, 2, 3, 4, 6, 12

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welcher Rest bleibt bei 146 : 5? Begründe mit der Division.
146: 5
Schritt für Schritt
  1. 29 · 5 = 145
  2. 146 − 145 = 1
  3. 146 : 5 = 29 Rest 1
  1. 29 · 5 = 145
  2. 146 − 145 = 1
  3. 146 : 5 = 29 Rest 1
Ergebnis:
Rest 1

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 86, 57, 32, 74? Begründe mit der Division.
    86573274
    So fängst du an:
    Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    2. 32 : 4 = 8; bei 86, 57, 74 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●2
    Welcher Rest bleibt bei 65 : 3? Begründe mit der Division.
    65: 3
    Lösung zeigen
    1. 21 · 3 = 63
    2. 65 − 63 = 2
    3. 65 : 3 = 21 Rest 2
    Ergebnis:
    Rest 2
  3. ★3
    Welche durch 12 teilbare Zahl liegt am nächsten an 637? Begründe mit der Division.
    620625630635640645650655
    Lösung zeigen
    1. 637 : 12 = 53 Rest 1
    2. Nach unten: 637 − 1 = 636. Nach oben: 637 + 11 = 648.
    3. Am nächsten: 636
    Ergebnis:
    636

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Ist 103 ein Vielfaches von 5? Schreibe sie der Reihe nach auf.
859095100105110115120103
Schritt für Schritt
  1. 103 : 5 = 20 Rest 3
  2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
  1. 103 : 5 = 20 Rest 3
  2. Es bleibt ein Rest: kein Vielfaches.
Ergebnis:
Nein

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 25 und 50 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    2530354045502550
    So fängst du an:
    Das erste Vielfache über 25: 28.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 25: 28.
    2. Immer 7 weiter: 28, 35, 42, 49
    Ergebnis:
    28, 35, 42, 49
  2. ●5
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 48 und 77 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    5055606570754877
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 48: 49.
    2. Immer 7 weiter: 49, 56, 63, 70
    Ergebnis:
    49, 56, 63, 70
  3. ★6
    Welches Vielfache von 15 liegt am nächsten an 1000? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    9709809901000101010201030
    Lösung zeigen
    1. 1000 : 15 = 66 Rest 10
    2. Darunter 990, darüber 1005.
    3. Am nächsten: 1005
    Ergebnis:
    1005

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Finde alle Teiler von 24. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
24 = 1 · 2424 = ? · ?
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  1. Teilerpaare: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6
  2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ergebnis:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
    2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
    Ergebnis:
    6 Teiler
  2. ●8
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 32 oder 14? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3214
    Lösung zeigen
    1. 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (6 Teiler)
    2. 14: 1, 2, 7, 14 (4 Teiler)
    3. 32 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    32
  3. ★9
    Finde alle Teiler von 45. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    45 = 1 · 4545 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 45, 3 · 15, 5 · 9
    2. Teiler der Größe nach: 1, 3, 5, 9, 15, 45
    Ergebnis:
    1, 3, 5, 9, 15, 45

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Welche Ziffer kann in die Lücke? Die Zahl 334_ soll durch 2 und durch 5 teilbar sein.
T3H3Z4E?
Schritt für Schritt
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
  1. Nur die letzte Ziffer entscheidet.
  2. Passend: 0
Ergebnis:
0

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 6539; 4513; 9688; 3605?
    So fängst du an:
    Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 9688
    Ergebnis:
    9688
  2. ●11
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 9745 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 5. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 5.
    Ergebnis:
    5
  3. ★12
    Welche Zahlen sind durch 2 teilbar: 30.882; 97.831; 50.033; 9245?
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
    2. Teilbar: 30.882
    Ergebnis:
    30.882

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 7820 teilbar?
T7H8Z2E0
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10.
  1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
  2. Teilbar durch 2, 5, 10.
Ergebnis:
2, 5, 10

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 4805 teilbar?
    T4H8Z0E5
    So fängst du an:
    Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
    2. Teilbar durch 5.
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 5600 teilbar?
    T5H6Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 00.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10, 100.
    Ergebnis:
    2, 5, 10, 100
  3. ★15
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 851 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 851 = 850 + 1
  2. 850 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 10 teilbar.
  1. Zerlegen: 851 = 850 + 1
  2. 850 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 10 teilbar.
Ergebnis:
nicht teilbar, weil 850 sicher teilbar ist und nur 1 zählt

AchtungNoch einmal: Regel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zerlege 891 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 891 durch 5 teilbar?
    H8Z9E1
    So fängst du an:
    891 = 890 + 1
    Lösung zeigen
    1. 891 = 890 + 1
    2. 890 ist durch 5 teilbar, 1 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●17
    Zerlege 431 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 431 durch 10 teilbar?
    H4Z3E1
    Lösung zeigen
    1. 431 = 430 + 1
    2. 430 ist durch 10 teilbar, 1 nicht: Nein.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★18
    Warum reicht bei 41.398 der Blick auf die letzten beiden Ziffern, um die Teilbarkeit durch 100 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 41.398 = 41.300 + 98
    2. 41.300 ist ein Vielfaches von 100 und damit durch 100 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 98 an: nicht durch 100 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 41.300 sicher teilbar ist und nur 98 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 69 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
  1. 8 · 8 = 64 ist zu klein, 9 · 9 = 81 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ist 40 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    So fängst du an:
    6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  2. ●20
    Ist 58 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 7 = 49 ist zu klein, 8 · 8 = 64 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★21
    Ist 30 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß.
    2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
    Ergebnis:
    Nein

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

32 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
32 Kinder210 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
  1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
Ergebnis:
4, 8

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 8 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 70 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    8 Stück70 Förmchen
    So fängst du an:
    70 : 8 = 8 Rest 6
    Lösung zeigen
    1. 70 : 8 = 8 Rest 6
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 9 Packungen.
    Ergebnis:
    9 Packungen
  2. ●23
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 5 Stück. Kann Elias genau 75 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    5 Stück75 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. 75 passt: 75 : 5 = 15 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 15 Bögen
  3. ★24
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 6 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 145 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    6 Stück145 Förmchen
    Lösung zeigen
    1. 145 : 6 = 24 Rest 1
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 25 Packungen.
    Ergebnis:
    25 Packungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 3 teilbar: 49, 80, 36, 65? Begründe mit der Division.
    49803665
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
    2. 36 : 3 = 12; bei 49, 80, 65 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●26
    Auf eine Albumseite passen 6 Fotos. Jonas hat 44 Fotos. Wie viele Seiten werden voll, wie viele Fotos bleiben?
    6 Fotos44 Fotos
    Lösung zeigen
    1. 44 : 6 = 7 Rest 2
    2. 7 volle Seiten, 2 Fotos auf der letzten Seite.
    Ergebnis:
    7 volle Seiten, 2 Fotos
  3. ●27
    Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 9 auf.
    01020304050607080
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter.
    2. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
    Ergebnis:
    9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
  4. ●28
    Welche Zahl hat mehr Teiler: 30 oder 16? Schreibe die Teilerpaare auf.
    3016
    Lösung zeigen
    1. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 Teiler)
    2. 16: 1, 2, 4, 8, 16 (5 Teiler)
    3. 30 hat mehr Teiler.
    Ergebnis:
    30
  5. ●29
    Das Bild zeigt 15 Plättchen als Rechteck mit 3 Reihen. Welche anderen Rechtecke kannst du aus denselben Plättchen legen?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare von 15: 1 · 15, 3 · 5.
    2. Reihen mal Länge, außer 3 · 5: 1 · 15
    Ergebnis:
    1 · 15
  6. ●30
    Welche Zahlen sind durch 5 teilbar: 5864; 2263; 7365; 5163?
    Lösung zeigen
    1. Durch 5: letzte Ziffer 0 oder 5.
    2. Teilbar: 7365
    Ergebnis:
    7365

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Welcher Rest bleibt bei 42 : 9? Begründe mit der Division.
    42: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Rest 6

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Ist 77 ein Vielfaches von 7? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    606570758085909577
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Wie viele Teiler hat 32? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Teiler

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 7345 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 1605 teilbar?
    T1H6Z0E5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 762 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 762 durch 5 teilbar?
    H7Z6E2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Ist 62 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    Ein Bus fährt ab 7:00 Uhr alle 15 Minuten. Fährt um 7:21 Uhr ein Bus?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. 32
  2. Rest 2
  3. 636
  4. 28, 35, 42, 49
  5. 49, 56, 63, 70
  6. 1005
  7. 6 Teiler
  8. 32
  9. 1, 3, 5, 9, 15, 45
  10. 9688
  11. 5
  12. 30.882
  13. 5
  14. 2, 5, 10, 100
  15. falsch
  16. Nein
  17. Nein
  18. nicht teilbar, weil 41.300 sicher teilbar ist und nur 98 zählt
  19. Nein
  20. Nein
  21. Nein
  22. 9 Packungen
  23. Ja, 15 Bögen
  24. 25 Packungen
  25. 36
  26. 7 volle Seiten, 2 Fotos
  27. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
  28. 30
  29. 1 · 15
  30. 7365
  31. Rest 6
  32. Ja
  33. 6 Teiler
  34. 5
  35. 5
  36. Nein
  37. Nein
  38. Nein
  39. 8
  40. 2
  41. 5
  42. 50