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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele fangen an, jede Zahl schriftlich durch 5 zu teilen, und schaffen in einer Minute höchstens zwei. Bei den langen Zahlen geben sie auf. Jede Zahl besteht aus Zehnern und Einern. Die Zehner sind immer durch 5 teilbar. Ob die ganze Zahl teilbar ist, sagt nur die letzte Ziffer: 0 oder 5.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Teiler und Vielfache gehören zusammen: Geht 6 in 42 auf, ist 42 ein Vielfaches von 6.

  1. ●39
    Die Zahl 24 hat das Teilerpaar 2 · □. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
    Lösung zeigen
    1. 2 · □ = 24
    2. 24 : 2 = 12
    3. Probe: 2 · 12 = 24
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Welcher Rest bleibt, wenn du 791 durch 5 teilst? Du musst nicht ganz ausrechnen.
    791
    Lösung zeigen
    1. Die Einerziffer ist 1.
    2. Bis zur letzten 0 oder 5 davor fehlt 1. Der Rest ist 1.
    Ergebnis:
    1

ÜbenWeißt du das noch?

Teilen heißt in gleich große Gruppen aufteilen – was nicht aufgeht, bleibt als Rest.

  1. ●41
    24 : 4 = ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6
  2. ●42
    2 · 7 = ___
    7 in jeder Reihe2 Reihen
    Lösung zeigen
    1. 2 Reihen mit je 7 Punkten
    2. 2 · 7 = 14
    Ergebnis:
    14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenTeilbar heißt: es geht ohne Rest auf

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn sie sich ohne Rest in gleich große Gruppen legen lässt. Plättchen-Rechtecke zeigen alle Teiler auf einmal. Die Endziffernregeln folgen daraus, dass jede Zahl Zehner plus Einer ist.

WeiterdenkenDenk nach

Warum reicht bei der Teilbarkeit durch 5 ein Blick auf die letzte Ziffer, bei der Teilbarkeit durch 7 aber nicht?

1Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

60 hat sehr viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Deshalb sind Halbe, Drittel, Viertel und Fünftel einer Stunde ganze Minuten. Mit 100 ginge ein Drittel nicht glatt auf. Die Babylonier rechneten schon vor über 4000 Jahren mit der 60.

MerkenTeilbar heißt: ohne Rest

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.

In Sachaufgaben entscheidet die Sache, was mit dem Rest passiert.

BeispielTeilbar oder Rest?

Welche Zahl ist durch 8 teilbar: 65, 22, 24, 60? Begründe mit der Division.
65222460
Schritt für Schritt
  1. Jede Zahl durch 8 teilen und auf den Rest achten.
  2. 24 : 8 = 3; bei 65, 22, 60 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 24
  1. Jede Zahl durch 8 teilen und auf den Rest achten.
  2. 24 : 8 = 3; bei 65, 22, 60 bleibt ein Rest.
  3. Ohne Rest: 24
Ergebnis:
24

AchtungRest übersehen oder falsch genutzt

So nicht
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 2 Busse
So richtig
108 Kinder, 50 Plätze je Bus: 108 : 50 = 2 Rest 8 → 3 Busse

Erst teilen, dann den Rest ansehen. In Sachaufgaben entscheidet die Sache: übrig lassen oder aufrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahl ist durch 4 teilbar: 34, 20, 43, 67? Begründe mit der Division.
    34204367
    So fängst du an:
    Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 4 teilen und auf den Rest achten.
    2. 20 : 4 = 5; bei 34, 43, 67 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●2
    Ist 112 durch 7 teilbar? Begründe mit der Division.
    112: 7
    Lösung zeigen
    1. 112 : 7 = 16
    2. Kein Rest: teilbar.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★3
    Welche Zahl ist durch 3 teilbar: 15, 28, 49, 43? Begründe mit der Division.
    15284943
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 3 teilen und auf den Rest achten.
    2. 15 : 3 = 5; bei 28, 49, 43 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 15
    Ergebnis:
    15

2Ich finde Vielfache einer Zahl.

EntdeckenFrage

Warum werden Eier in Zehnerpackungen und Sechserpackungen verkauft, aber fast nie in Siebenerpackungen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sechs und zehn lassen sich gut in Reihen legen: 2 mal 3 oder 2 mal 5. Sieben hat außer 1 und 7 keine Teiler. Sieben Eier passen nur in eine lange Reihe, und die ist unpraktisch im Kühlschrank.

MerkenVielfache

Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.

Jede Zahl ist ein Vielfaches ihrer Teiler.

BeispielVielfache finden

Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 46 und 81 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
505560657075804681
Schritt für Schritt
  1. Das erste Vielfache über 46: 48.
  2. Immer 4 weiter: 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80
  1. Das erste Vielfache über 46: 48.
  2. Immer 4 weiter: 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80
Ergebnis:
48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80

AchtungTeiler und Vielfache verwechselt

So nicht
Vielfache von 6: 1, 2, 3, 6
So richtig
Vielfache von 6: 1 · 6, 2 · 6, 3 · 6 → 6, 12, 18

Vielfache sind größer als die Zahl, Teiler kleiner oder gleich. Vielfache stehen in der Malreihe.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Nenne alle Vielfachen von 4, die zwischen 45 und 74 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    4550556065704574
    So fängst du an:
    Das erste Vielfache über 45: 48.
    Lösung zeigen
    1. Das erste Vielfache über 45: 48.
    2. Immer 4 weiter: 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72
    Ergebnis:
    48, 52, 56, 60, 64, 68, 72
  2. ●5
    Schreibe die ersten 8 Vielfachen von 7 auf.
    0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Vielfache sind 7 · 1, 7 · 2, 7 · 3 und so weiter.
    2. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56
    Ergebnis:
    7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56
  3. ★6
    Ist 104 ein Vielfaches von 13? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    859095100105110115120104
    Lösung zeigen
    1. 104 : 13 = 8
    2. 104 = 13 · 8: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja

3Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

EntdeckenFrage

Wie kann man mit 36 Kindern beim Sportfest gleich große Mannschaften bilden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Mit jedem Teiler von 36: 2 Mannschaften zu 18, 3 zu 12, 4 zu 9, 6 zu 6, 9 zu 4 oder 12 zu 3. Mit 5 Mannschaften geht es nicht, denn 36 : 5 lässt einen Rest von 1.

MerkenTeiler in Paaren

Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.

So ist 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

BeispielAlle Teiler mit Teilerpaaren

Wie viele Teiler hat 28? Schreibe die Teilerpaare auf.
Schritt für Schritt
  1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
  2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
  1. Teilerpaare: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7
  2. 6 Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Ergebnis:
6 Teiler

AchtungTeiler vergessen

So nicht
Teiler von 24: 2, 3, 4, 6
So richtig
Teiler von 24: 1 · 24, 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teiler in Paaren suchen: 1 und die Zahl, 2 und die Hälfte, und so weiter bis zur Mitte.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie viele Teiler hat 18? Schreibe die Teilerpaare auf.
    So fängst du an:
    Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
    2. 6 Teiler: 1, 2, 3, 6, 9, 18
    Ergebnis:
    6 Teiler
  2. ●8
    Finde alle Teiler von 36. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    36 = 1 · 3636 = ? · ?
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
    2. Teiler der Größe nach: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  3. ★9
    Wie viele Teiler hat 36? Schreibe die Teilerpaare auf.
    Lösung zeigen
    1. Teilerpaare: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
    2. 9 Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    Ergebnis:
    9 Teiler

4Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

EntdeckenFrage

Woran erkennt eine Kassiererin sofort, ob ein Betrag in Cent auf 5 Cent aufgeht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie schaut nur auf die letzte Ziffer. Endet der Betrag auf 0 oder 5, geht er in 5-Cent-Münzen auf. Das liegt daran, dass die Zehner immer durch 5 teilbar sind und nur der Einer übrig bleibt.

MerkenEndziffern

Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.

Durch 5 teilbar sind Zahlen mit 0 oder 5 am Ende, durch 10 mit 0.

BeispielTeilbar durch 2, 5 und 10

Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 7863 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
  2. Durch keine der drei.
  1. Letzte Ziffer: 3. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
  2. Durch keine der drei.
Ergebnis:
durch keine

AchtungRegel an der falschen Ziffer geprüft

So nicht
438 beginnt mit 4, also durch 2 teilbar → 351 nicht
So richtig
438 endet auf 8 → durch 2 teilbar; 351 endet auf 1 → nicht durch 2 teilbar

Bei 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer. Die Quersumme hilft hier nicht.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welche Zahlen sind durch 10 teilbar: 5065; 4280; 7884; 5877?
    So fängst du an:
    Durch 10: letzte Ziffer 0.
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. Teilbar: 4280
    Ergebnis:
    4280
  2. ●11
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 9278 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 8. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Teilbar durch 2.
    Ergebnis:
    2
  3. ★12
    Wie viele Zahlen von 10 bis 59 sind durch 5 teilbar?
    10152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Die erste: 10, die letzte: 55.
    2. Immer 5 weiter: (55 − 10) : 5 + 1 = 10
    Ergebnis:
    10 Zahlen

5Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

EntdeckenFrage

Warum sind die Felder auf einem Schachbrett eine Quadratzahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Schachbrett hat 8 Reihen mit je 8 Feldern, also 8 · 8 = 64 Felder. Weil Reihen und Spalten gleich viele sind, ist das Brett ein Quadrat. Jede Zahl, die man so legen kann, heißt Quadratzahl.

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTeilbar durch 100 und Zusammenhänge der Regeln

Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 6005 teilbar?
T6H0Z0E5
Schritt für Schritt
  1. Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
  2. Teilbar durch 5.
  1. Letzte Ziffer 5, letzte beiden Ziffern 05.
  2. Teilbar durch 5.
Ergebnis:
5

AchtungDurch 10 teilbar mit durch 100 teilbar verwechselt

So nicht
7310 endet auf 0 → durch 100 teilbar
So richtig
7310 endet auf 10, nicht auf 00 → nicht durch 100 teilbar

Durch 100 teilbar heißt: zwei Nullen am Ende. 730 ist durch 10 teilbar, aber nicht durch 100.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ist 347.800 durch 100 teilbar?
    HT3ZT4T7H8Z0E0
    So fängst du an:
    Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  2. ●14
    Ist 513.600 durch 100 teilbar?
    HT5ZT1T3H6Z0E0
    Lösung zeigen
    1. Durch 100 teilbar heißt: Die letzten beiden Ziffern sind 00. Hier: 00.
    2. Teilbar durch 100.
    Ergebnis:
    Ja
  3. ★15
    Durch welche der Zahlen 2, 5, 10 und 100 ist 5320 teilbar?
    T5H3Z2E0
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer 0, letzte beiden Ziffern 20.
    2. Teilbar durch 2, 5, 10.
    Ergebnis:
    2, 5, 10

6Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

EntdeckenFrage

Warum laufen Zikaden in Nordamerika nur alle 13 oder 17 Jahre aus dem Boden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

13 und 17 haben außer 1 und sich selbst keine Teiler. Ein Feind, der alle 2, 3 oder 4 Jahre häufig ist, trifft deshalb nur selten mit ihnen zusammen. Forscher vermuten, dass dieser Takt die Zikaden schützt.

MerkenRegeln am Stellenwert

Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.

Das Vielfache von 10 ist immer durch 2, 5 und 10 teilbar, also entscheidet der Einer.

BeispielEndziffernregeln begründen

Warum reicht bei 176 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
Schritt für Schritt
  1. Zerlegen: 176 = 170 + 6
  2. 170 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 6 an: durch 2 teilbar.
  1. Zerlegen: 176 = 170 + 6
  2. 170 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
  3. Es kommt nur auf 6 an: durch 2 teilbar.
Ergebnis:
teilbar, weil 170 sicher teilbar ist und nur 6 zählt

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum reicht bei 671 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    So fängst du an:
    Zerlegen: 671 = 670 + 1
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 671 = 670 + 1
    2. 670 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 670 sicher teilbar ist und nur 1 zählt
  2. ●17
    Warum reicht bei 402 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 10 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 402 = 400 + 2
    2. 400 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 10 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 2 an: nicht durch 10 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 400 sicher teilbar ist und nur 2 zählt
  3. ★18
    Warum reicht bei 1081 der Blick auf die letzte Ziffer, um die Teilbarkeit durch 2 zu prüfen?
    Lösung zeigen
    1. Zerlegen: 1081 = 1080 + 1
    2. 1080 ist ein Vielfaches von 10 und damit durch 2 teilbar.
    3. Es kommt nur auf 1 an: nicht durch 2 teilbar.
    Ergebnis:
    nicht teilbar, weil 1080 sicher teilbar ist und nur 1 zählt

7Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

EntdeckenFrage

Warum ergeben 1 + 3 + 5 + 7 + 9 zusammen eine Quadratzahl – und geht das immer so weiter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Summe ist 25, also 5 · 5. Aus Plättchen gelegt, bildet jede ungerade Zahl einen Winkel um das bisherige Quadrat. Nach 1, 3, 5, 7 und 9 Plättchen ist das Quadrat 5 breit und 5 hoch. Mit jeder weiteren ungeraden Zahl wächst es um eine Reihe.

MerkenQuadratzahlen

Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.

Mit so vielen Plättchen lässt sich ein Quadrat legen.

BeispielQuadratzahlen als Plättchenquadrate

Ist 45 eine Quadratzahl? Begründe mit einem Plättchenquadrat.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
  1. 6 · 6 = 36 ist zu klein, 7 · 7 = 49 zu groß.
  2. Kein Plättchenquadrat passt genau: keine Quadratzahl.
Ergebnis:
Nein

AchtungQuadratzahl mit dem Doppelten verwechselt

So nicht
Quadratzahl von 6: 6 + 6 = 12
So richtig
Quadratzahl von 6: 6 · 6 = 36

Quadratzahl heißt: die Zahl mal sich selbst. 6 · 6 = 36, nicht 6 + 6 = 12.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Aus dem Quadrat mit Seite 4 wird eines mit Seite 5. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    So fängst du an:
    Vorher: 4 · 4 = 16. Nachher: 5 · 5 = 25.
    Lösung zeigen
    1. Vorher: 4 · 4 = 16. Nachher: 5 · 5 = 25.
    2. Dazu: 25 − 16 = 9
    Ergebnis:
    9 Plättchen
  2. ●20
    Ein Quadrat aus Plättchen hat 9 Plättchen an jeder Seite. Wie viele Plättchen sind es?
    Lösung zeigen
    1. 9 Reihen mit je 9 Plättchen.
    2. 9 · 9 = 81
    Ergebnis:
    81 Plättchen
  3. ★21
    Welche Quadratzahlen liegen zwischen 28 und 75?
    Lösung zeigen
    1. Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
    2. Zwischen 28 und 75: 36, 49, 64
    Ergebnis:
    36, 49, 64

8Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

EntdeckenFrage

Warum kann man einen Wandkalender von 2015 im Jahr 2026 wieder aufhängen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein normales Jahr hat 365 = 52 · 7 + 1 Tage und verschiebt die Wochentage um 1. Ein Schaltjahr verschiebt sie um 2. Von 2015 bis 2026 sind es 11 Jahre mit den Schaltjahren 2016, 2020 und 2024: 11 + 3 = 14. 14 ist ein Vielfaches von 7, und beide Jahre sind keine Schaltjahre.

MerkenTeiler im Alltag

Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

BeispielTeiler und Vielfache im Alltag

32 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
32 Kinder210 Kinder
Schritt für Schritt
  1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
  1. Gesucht sind Teiler von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
  2. Zwischen 2 und 10: 4, 8
Ergebnis:
4, 8

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Muffinförmchen gibt es nur in Packungen zu 12 Stück. Für das Schulfest braucht die Klasse mindestens 70 Förmchen. Wie viele Packungen kauft sie?
    12 Stück70 Förmchen
    So fängst du an:
    70 : 12 = 5 Rest 10
    Lösung zeigen
    1. 70 : 12 = 5 Rest 10
    2. Für den Rest braucht es noch eine Packung: 6 Packungen.
    Ergebnis:
    6 Packungen
  2. ●23
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 10 Stück. Kann Hanna genau 69 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    10 Stück69 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 10: letzte Ziffer 0.
    2. 69 passt nicht: Es bleibt ein Rest.
    Ergebnis:
    Nein
  3. ★24
    Sticker gibt es nur in Bögen zu 2 Stück. Kann Aylin genau 292 Sticker kaufen? Nutze eine Teilbarkeitsregel.
    2 Stück292 Sticker
    Lösung zeigen
    1. Durch 2: letzte Ziffer gerade.
    2. 292 passt: 292 : 2 = 146 Bögen.
    Ergebnis:
    Ja, 146 Bögen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahl ist durch 7 teilbar: 92, 82, 56, 80? Begründe mit der Division.
    92825680
    Lösung zeigen
    1. Jede Zahl durch 7 teilen und auf den Rest achten.
    2. 56 : 7 = 8; bei 92, 82, 80 bleibt ein Rest.
    3. Ohne Rest: 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●26
    27 Kinder sollen Gruppen zu je 7 bilden. Wie viele volle Gruppen gibt es, und wie viele Kinder bleiben übrig?
    27 Kinder7
    Lösung zeigen
    1. 27 : 7 = 3 Rest 6
    2. 3 volle Gruppen, 6 bleiben übrig.
    Ergebnis:
    3 Gruppen, 6 übrig
  3. ●27
    Ist 24 ein Vielfaches von 3? Schreibe sie der Reihe nach auf.
    51015202530354024
    Lösung zeigen
    1. 24 : 3 = 8
    2. 24 = 3 · 8: ein Vielfaches.
    Ergebnis:
    Ja
  4. ●28
    Kann Sofia aus 7 Plättchen ein Rechteck mit genau 5 gleich langen Reihen legen?
    Lösung zeigen
    1. 7 : 5 = 1 Rest 2
    2. Es bleibt ein Rest: Das geht nicht.
    Ergebnis:
    Nein
  5. ●29
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 2811 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    1. Letzte Ziffer: 1. Gerade Endziffer heißt durch 2, 0 oder 5 durch 5, 0 durch 10.
    2. Durch keine der drei.
    Ergebnis:
    durch keine
  6. ●30
    Stimmt die Aussage? Begründe oder finde ein Gegenbeispiel. „Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.“
    Lösung zeigen
    1. Mit der letzten Ziffer prüfen.
    2. Gegenbeispiel 12: gerade, endet aber nicht auf 0.
    Ergebnis:
    falsch

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Vielfache
Die Vielfachen einer Zahl stehen in ihrer Malreihe.
Teiler in Paaren
Teiler kommen immer in Paaren, deren Produkt die Zahl ist.
Endziffern
Durch 2 teilbar sind Zahlen mit gerader Endziffer.
Themen verbinden
In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.
Regeln am Stellenwert
Jede Zahl ist ein Vielfaches von 10 plus ihre Einer.
Quadratzahlen
Eine Quadratzahl ist eine Zahl mal sich selbst.
Teiler im Alltag
Gleich große Gruppen suchen heißt Teiler suchen. Packungen und Takte führen auf Vielfache.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich entscheide, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, und nutze den Rest.

    31
    Ist 119 durch 6 teilbar? Begründe mit der Division.
    119: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, Rest 5

  2. Ich finde Vielfache einer Zahl.

    32
    Nenne alle Vielfachen von 7, die zwischen 20 und 56 liegen. Schreibe sie der Reihe nach auf.
    20253035404550552056
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21, 28, 35, 42, 49

  3. Ich finde alle Teiler einer Zahl mit Teilerpaaren.

    33
    Finde alle Teiler von 30. Suche Teilerpaare. Schreibe die Teilerpaare auf.
    30 = 1 · 3030 = ? · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  4. Ich nutze die Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

    34
    Durch welche der Zahlen 2, 5 und 10 ist 7629 teilbar? Schau auf die letzte Ziffer.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    durch keine

  5. Ich prüfe die Teilbarkeit durch 100 und verbinde die Regeln.

    35
    Ist 50.000 durch 100 teilbar?
    ZT5T0H0Z0E0
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ja

  6. Ich begründe die Regeln mit dem Stellenwert.

    36
    Zerlege 463 in ein Vielfaches von 10 und den Rest. Entscheide damit: Ist 463 durch 10 teilbar?
    H4Z6E3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein

  7. Ich lege Quadratzahlen mit Plättchen und erkenne sie.

    37
    Aus dem Quadrat mit Seite 8 wird eines mit Seite 9. Wie viele Plättchen kommen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Plättchen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Teilern und Vielfachen.

    38
    32 Kinder sollen gleich große Gruppen bilden. In jeder Gruppe sollen mehr als 2 und weniger als 10 Kinder sein. Welche Gruppengrößen gehen?
    32 Kinder210 Kinder
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4, 8

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in einer Minute: Welche dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? 385, 1492, 7000, 243, 88.885, 3.456.790.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Teilbar heißt ohne Rest; die Endziffer verrät die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Gruppen im Sport bilden, Süßigkeiten gerecht teilen, Packungen für ein Fest kaufen. Beruf: Logistik mit Paletten und Kartons, Stundenpläne, Tischordnung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht
Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Malnehmen und Teilen bis 1000, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Teilbarkeit und Primzahlen

Lösungen

  1. 20
  2. Ja
  3. 15
  4. 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72
  5. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56
  6. Ja
  7. 6 Teiler
  8. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  9. 9 Teiler
  10. 4280
  11. 2
  12. 10 Zahlen
  13. Ja
  14. Ja
  15. 2, 5, 10
  16. nicht teilbar, weil 670 sicher teilbar ist und nur 1 zählt
  17. nicht teilbar, weil 400 sicher teilbar ist und nur 2 zählt
  18. nicht teilbar, weil 1080 sicher teilbar ist und nur 1 zählt
  19. 9 Plättchen
  20. 81 Plättchen
  21. 36, 49, 64
  22. 6 Packungen
  23. Nein
  24. Ja, 146 Bögen
  25. 56
  26. 3 Gruppen, 6 übrig
  27. Ja
  28. Nein
  29. durch keine
  30. falsch
  31. Nein, Rest 5
  32. 21, 28, 35, 42, 49
  33. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  34. durch keine
  35. Ja
  36. Nein
  37. 17 Plättchen
  38. 4, 8
  39. 12
  40. 1
  41. 6
  42. 14