Mathematik · Klasse 10 · Kapitel

Trigonometrie

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine 6 m lange Leiter steht im Winkel von 70 Grad zum Boden. Wie hoch reicht sie? Pythagoras hilft nicht – du kennst nur eine Seite.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Mit einer Seite und einem Winkel kommt Pythagoras nicht weiter; maßstäbliches Zeichnen liefert 5,6 oder 5,7 m. Die Klasse braucht den Zusammenhang zwischen Winkel und Seiten. Der Sinus von 70 Grad ist das Verhältnis Höhe zu Leiter, bei jeder Leiter dasselbe: 6 · sin(70°) ≈ 5,64 m.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse von Seiten – Zahlen ohne Einheit.

●40
Zwei Strahlen von Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Auf dem ersten Strahl: ZA = 4 cm, ZA' = 16 cm. Auf dem zweiten: ZB = 6 cm. Berechne die Länge von ZB'.
Lösung zeigen
1. Strahlensatz: ZA : ZA' = ZB : ZB'
2. Faktor: 16 : 4 = 4
3. ZB' = 6 · 4 = 24 cm
Ergebnis:
24 cm
●41
Die Zuordnung ist proportional.
x 2 4 6
y 10 20 30
Bestimme den Proportionalitätsfaktor und y für x = 9.
Lösung zeigen
1. x 2 4 6 9
  y 10 20 30 ? 45
  y : x 5 5 5 5
  y : x ist überall gleich – das ist der Proportionalitätsfaktor k = 5.
2. y(9) = 5 · 9 = 45
Ergebnis:
k = 5; y = 45

x	2	4	6
y	10	20	30

x	2	4	6	9
y	10	20	30	? 45
y : x	5	5	5	5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Verhältnis, kein Knopf am Taschenrechner

sin, cos und tan sind Verhältnisse von Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Sie hängen nur vom Winkel ab – deshalb liefert derselbe Winkel im großen und im kleinen Dreieck denselben Wert.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben Winkel, eines doppelt so groß. Warum ist der Sinus gleich?

1Ich benenne Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse zum Winkel.

EntdeckenFrage

Wie hat man die Höhe des Mount Everest gemessen, bevor jemand oben war?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1852 aus 160 km Entfernung mit Winkeln: sechs Messstationen, Sinus und Tangens – Ergebnis 8 840 m. Heute mit GPS: 8 849 m. Neun Meter Abweichung ohne einen Schritt auf den Berg.

MerkenSeiten benennen

Vom Winkel aus gesehen: Gegenkathete gegenüber, Ankathete daneben.

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Eselsbrücke: GAGA HühnerHof AG: Gegenkathete/Ankathete – sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A

BeispielGegenkathete und Ankathete zum Winkel benennen

Das Dreieck DEF ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei F. Gib die Gegenkathete und die Ankathete zum Winkel bei D an.

Schritt für Schritt

Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also f.
Gegenkathete: gegenüber vom Winkel bei D, also d.
Ankathete: liegt am Winkel bei D an und ist nicht die Hypotenuse, also e.

Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also f.
Gegenkathete: gegenüber vom Winkel bei D, also d.
Ankathete: liegt am Winkel bei D an und ist nicht die Hypotenuse, also e.

Ergebnis:

Gegenkathete d, Ankathete e

AchtungGegen- und Ankathete vertauscht

So nicht

sin α = Ankathete / Hypotenuse

So richtig

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.

ÜbenJetzt du

○1
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei C. Welche Seite ist die Gegenkathete von β?
So fängst du an:
Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also c.
Lösung zeigen
1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also c.
2. Gegenkathete: gegenüber vom Winkel β, also b.
3. Ankathete: liegt am Winkel β an und ist nicht die Hypotenuse, also a.
Ergebnis:
Gegenkathete b
●2
Das Dreieck KLM ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei L. Welche Seite ist die Ankathete zum Winkel bei K?
Lösung zeigen
1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also l.
2. Gegenkathete: gegenüber vom Winkel bei K, also k.
3. Ankathete: liegt am Winkel bei K an und ist nicht die Hypotenuse, also m.
Ergebnis:
Ankathete m
★3
Das Dreieck RST ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei T. Gib Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete zum Winkel bei R an.
Lösung zeigen
1. Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, also t.
2. Gegenkathete: gegenüber vom Winkel bei R, also r.
3. Ankathete: liegt am Winkel bei R an und ist nicht die Hypotenuse, also s.
Ergebnis:
Hypotenuse t, Gegenkathete r, Ankathete s

2Ich bestimme den Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.

EntdeckenFrage

Warum ist der Sinus eine Zahl ohne Einheit, obwohl er aus zwei Längen entsteht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil beim Teilen die Einheit wegfällt. Dadurch hängt der Wert nur vom Winkel ab und nicht von der Größe des Dreiecks – deshalb passt eine einzige Tabelle für alle Dreiecke.

Ausprobieren: Sinus am Einheitskreis

Einen Punkt um den Einheitskreis drehen – seine Höhe wird rechts zur Sinuskurve.

MerkenSinus

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse.

Ein Seitenverhältnis – hängt nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks.

BeispielDer Sinus als Verhältnis in ähnlichen Dreiecken

Zwei rechtwinklige Dreiecke haben denselben Winkel α. Im ersten ist die Gegenkathete von α 9 cm und die Hypotenuse 15 cm lang, im zweiten 18 cm und 30 cm. Berechne in beiden Gegenkathete : Hypotenuse. Was fällt auf?

Schritt für Schritt

Erstes Dreieck: 9 : 15 = 0,6.
Zweites Dreieck: 18 : 30 = 0,6.
Beide Verhältnisse sind gleich. Die Dreiecke sind ähnlich.
Das Verhältnis hängt nur vom Winkel α ab. Es heißt Sinus von α.

Erstes Dreieck: 9 : 15 = 0,6.
Zweites Dreieck: 18 : 30 = 0,6.
Beide Verhältnisse sind gleich. Die Dreiecke sind ähnlich.
Das Verhältnis hängt nur vom Winkel α ab. Es heißt Sinus von α.

Ergebnis:

beide 0,6; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht

sin(30) im Modus RAD → −0,988

So richtig

sin(30°) im Modus DEG → 0,5

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

○4
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben denselben Winkel α. Im ersten ist die Gegenkathete von α 20 cm und die Hypotenuse 42,5 cm lang, im zweiten 12 cm und 25,5 cm. Berechne in beiden Gegenkathete : Hypotenuse. Was fällt auf?
So fängst du an:
Erstes Dreieck: 20 : 42,5 ≈ 0,471.
Lösung zeigen
1. Erstes Dreieck: 20 : 42,5 ≈ 0,471.
2. Zweites Dreieck: 12 : 25,5 ≈ 0,471.
3. Beide Verhältnisse sind gleich. Die Dreiecke sind ähnlich.
4. Das Verhältnis hängt nur vom Winkel α ab. Es heißt Sinus von α.
Ergebnis:
beide etwa 0,471; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
●5
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben denselben Winkel α. Im ersten ist die Gegenkathete von α 16 cm und die Hypotenuse 34 cm lang, im zweiten 24 cm und 51 cm. Berechne in beiden Gegenkathete : Hypotenuse. Was fällt auf?
Lösung zeigen
1. Erstes Dreieck: 16 : 34 ≈ 0,471.
2. Zweites Dreieck: 24 : 51 ≈ 0,471.
3. Beide Verhältnisse sind gleich. Die Dreiecke sind ähnlich.
4. Das Verhältnis hängt nur vom Winkel α ab. Es heißt Sinus von α.
Ergebnis:
beide etwa 0,471; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
★6
Im ersten Dreieck mit dem Winkel α sind Gegenkathete und Hypotenuse 18 cm und 30 cm lang. Ein zweites rechtwinkliges Dreieck mit demselben Winkel α hat die Hypotenuse 45 cm. Wie lang ist seine Gegenkathete? Begründe ohne Winkel zu messen.
Lösung zeigen
1. Gleicher Winkel heißt: gleiches Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse.
2. Verhältnis im ersten Dreieck: 18 : 30 = 0,6.
3. Gegenkathete im zweiten: 45 · 0,6 = 27.
4. Das Verhältnis ist sin α – es gilt für alle Dreiecke mit diesem Winkel.
Ergebnis:
27 cm

3Ich berechne Seiten mit Sinus.

EntdeckenFrage

Wie lang ist der Schatten des Fernsehturms, wenn die Sonne 30 Grad hoch steht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Rund 637 Meter. Der Turm ist 368 Meter hoch, und Höhe geteilt durch Schattenlänge ergibt genau den Wert, der zum Sonnenstand gehört.

MerkenSeite mit Sinus berechnen

Gegenkathete = sin α · Hypotenuse.

Hypotenuse = Gegenkathete : sin α. Taschenrechner auf DEG.

BeispielSeiten mit dem Sinus berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c = 14 cm lang, der Winkel α = 60°. Berechne die Gegenkathete a.

Schritt für Schritt

Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, also a = c · sin(α)
sin(60°) ≈ 0,866
a ≈ 14 · 0,866 ≈ 12,12

Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, also a = c · sin(α)
sin(60°) ≈ 0,866
a ≈ 14 · 0,866 ≈ 12,12

Ergebnis:

≈ 12,12 cm

AchtungSinus und Kosinus verwechselt

So nicht

Gegenkathete gesucht → c · cos α

So richtig

Gegenkathete gesucht → c · sin α

Markiere zuerst die Gegenkathete zu α. Gegenkathete durch Hypotenuse ist der Sinus.

ÜbenJetzt du

○7
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c = 19 cm lang, der Winkel α = 52°. Berechne die Gegenkathete a.
So fängst du an:
Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, also a = c · sin(α)
Lösung zeigen
1. Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, also a = c · sin(α)
2. sin(52°) ≈ 0,788
3. a ≈ 19 · 0,788 ≈ 14,97
Ergebnis:
≈ 14,97 cm
●8
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c = 20 cm lang, der Winkel α = 50°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
1. Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, also a = c · sin(α)
2. sin(50°) ≈ 0,766
3. a ≈ 20 · 0,766 ≈ 15,32
Ergebnis:
≈ 15,32 cm
★9
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Gegenkathete a = 10 cm lang, der Winkel α = 38°. Berechne die Hypotenuse c.
Lösung zeigen
1. Sinus: sin(α) = a : c, umgestellt c = a : sin(α)
2. sin(38°) ≈ 0,6157
3. c ≈ 10 : 0,6157 ≈ 16,24
Ergebnis:
≈ 16,24 cm

4Ich nutze Kosinus und Tangens.

EntdeckenFrage

Warum darf eine Rampe für Rollstühle höchstens 6 Prozent steigen – wie viel Grad sind das?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Rund 3,4 Grad. Sechs Prozent heißt sechs Meter Anstieg auf hundert Meter Länge; steiler lässt sich eine Rampe mit eigener Kraft nicht mehr bewältigen.

MerkenGAGA HühnerHof AG

sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete.

BeispielSeiten mit Kosinus und Tangens berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Ankathete b = 7 cm lang, der Winkel α = 58°. Berechne die Gegenkathete a.

Schritt für Schritt

Gegeben Ankathete, gesucht Gegenkathete: Tangens, also a = b · tan(α)
tan(58°) ≈ 1,6003
a ≈ 7 · 1,6003 ≈ 11,2

Gegeben Ankathete, gesucht Gegenkathete: Tangens, also a = b · tan(α)
tan(58°) ≈ 1,6003
a ≈ 7 · 1,6003 ≈ 11,2

Ergebnis:

≈ 11,2 cm

AchtungFalsches Seitenverhältnis gewählt

So nicht

Ankathete und Gegenkathete → sin α

So richtig

Ankathete und Gegenkathete → tan α

Schreib auf, welche zwei Seiten beteiligt sind. Zwei Katheten heißt Tangens.

ÜbenJetzt du

○10
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Ankathete b = 17 cm lang, der Winkel α = 55°. Berechne die Gegenkathete a.
So fängst du an:
Gegeben Ankathete, gesucht Gegenkathete: Tangens, also a = b · tan(α)
Lösung zeigen
1. Gegeben Ankathete, gesucht Gegenkathete: Tangens, also a = b · tan(α)
2. tan(55°) ≈ 1,4281
3. a ≈ 17 · 1,4281 ≈ 24,28
Ergebnis:
≈ 24,28 cm
●11
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c = 24 cm lang, der Winkel α = 58°. Berechne die Ankathete b.
Lösung zeigen
1. Gegeben Hypotenuse, gesucht Ankathete: Kosinus, also b = c · cos(α)
2. cos(58°) ≈ 0,5299
3. b ≈ 24 · 0,5299 ≈ 12,72
Ergebnis:
≈ 12,72 cm
★12
Ein Turm ist 29 m hoch. Vom Punkt A am Boden sieht man die Spitze unter dem Winkel α = 52°. Wie weit ist A vom Fuß des Turms entfernt?
Lösung zeigen
1. Turm ist Gegenkathete, gesucht die Ankathete am Boden: Tangens, b = a : tan(α)
2. tan(52°) ≈ 1,2799
3. b ≈ 29 : 1,2799 ≈ 22,66
Ergebnis:
≈ 22,66 m

5Ich berechne Winkel mit den Umkehrfunktionen.

EntdeckenFrage

Warum beginnt ein Landeanflug schon 17 Kilometer vor der Bahn?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Gleitwinkel international auf 3 Grad festgelegt ist. Aus 900 Metern Höhe ergibt das rund 17 Kilometer Anflugweg – so verlaufen alle Landungen gleich und berechenbar.

MerkenWinkel berechnen

Erst das Verhältnis, dann die Umkehrfunktion: α = sin⁻¹(…).

Am Rechner SHIFT + sin, cos oder tan.

BeispielWinkel mit Sinus, Kosinus, Tangens

Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Gegenkathete 6 cm, Hypotenuse 10 cm. Berechne α.

Schritt für Schritt

sin(α) = 0,6
α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°

sin(α) = 0,6
α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°

Ergebnis:

≈ 36,9°

AchtungNoch einmal: Gegen- und Ankathete vertauscht

So nicht

sin α = Ankathete / Hypotenuse

So richtig

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.

ÜbenJetzt du

○13
Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Gegenkathete 9 cm, Hypotenuse 15 cm. Berechne α.
So fängst du an:
sin(α) = 0,6
Lösung zeigen
1. sin(α) = 0,6
2. α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°
Ergebnis:
≈ 36,9°
●14
Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Gegenkathete 5 cm, Hypotenuse 13 cm. Berechne α.
Lösung zeigen
1. sin(α) = 0,385
2. α = sin⁻¹(0,385) ≈ 22,6°
Ergebnis:
≈ 22,6°
★15
Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Gegenkathete 15 cm, Hypotenuse 25 cm. Berechne α.
Lösung zeigen
1. sin(α) = 0,6
2. α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°
Ergebnis:
≈ 36,9°

6Ich löse Sachaufgaben (Steigung, Höhe, Schatten).

EntdeckenFrage

Warum steht ein Drachen an 100 m Schnur nie 100 m hoch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Schnur ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete zum Winkel am Boden. Bei 35° ist die Höhe 100 m · sin 35° ≈ 57 m. Selbst bei steilen 60° sind es nur etwa 87 m.

MerkenSachaufgaben

Skizze, rechten Winkel markieren, Winkel eintragen, Seiten benennen.

Dann die passende Funktion wählen.

BeispielSteigung in Prozent und Grad

Ein Schild zeigt 20 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel.

Schritt für Schritt

20 % heißt: 20 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,2
α = tan⁻¹(0,2) ≈ 11,3°

20 % heißt: 20 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,2
α = tan⁻¹(0,2) ≈ 11,3°

Ergebnis:

≈ 11,3°

AchtungSteigung in Prozent als Winkel in Grad gelesen

So nicht

Ein Schild zeigt 20 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel → 20°

So richtig

Ein Schild zeigt 20 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel → ≈ 11,3°

Zeichne das Steigungsdreieck: 100 waagerecht, 9 hoch. Rechne den Winkel mit dem Tangens.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Schild zeigt 6 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel.
So fängst du an:
6 % heißt: 6 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,06
Lösung zeigen
1. 6 % heißt: 6 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,06
2. α = tan⁻¹(0,06) ≈ 3,4°
Ergebnis:
≈ 3,4°
●17
Ein Schild zeigt 7 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel.
Lösung zeigen
1. 7 % heißt: 7 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,07
2. α = tan⁻¹(0,07) ≈ 4°
Ergebnis:
≈ 4°
★18
Ein Schild zeigt 25 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel. Berechne auch, wie viele Höhenmeter man auf 1000 m horizontaler Strecke gewinnt.
Lösung zeigen
1. 25 % heißt: 25 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,25
2. α = tan⁻¹(0,25) ≈ 14°
3. Höhe: 1000 · 0,25 = 250 m
Ergebnis:
≈ 14° · 250 m

7Ich berechne in allgemeinen Dreiecken über Höhen.

EntdeckenFrage

Wie misst man vom Ufer aus, wie weit ein Boot draußen ist, ohne hinzufahren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man peilt das Boot von zwei Punkten an, die 100 m auseinander liegen, und misst die Winkel 60° und 70°. Die Höhe zum Boot teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige. Mit dem Tangens folgt etwa 106 m Abstand vom Ufer.

MerkenAllgemeine Dreiecke

Höhe einzeichnen → zwei rechtwinklige Dreiecke. In jedem mit sin, cos, tan rechnen.

BeispielSinussatz über die Höhe

Dreieck ABC: a = 11 cm, α = 55°, β = 75°. Berechne b über die Höhe h von C auf c.

Schritt für Schritt

Die Höhe h teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Rechts: h = a · sin β ≈ 11 · 0,9659 ≈ 10,63 cm
Links: h = b · sin α, also b = h : sin α ≈ 10,63 : 0,8192 ≈ 13 cm
Anderer Weg: gleich mit dem Sinussatz, b = a · sin β : sin α ≈ 13 cm

Die Höhe h teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Rechts: h = a · sin β ≈ 11 · 0,9659 ≈ 10,63 cm
Links: h = b · sin α, also b = h : sin α ≈ 10,63 : 0,8192 ≈ 13 cm
Anderer Weg: gleich mit dem Sinussatz, b = a · sin β : sin α ≈ 13 cm

Ergebnis:

b ≈ 13 cm

AchtungWurzel am Ende vergessen

So nicht

a = 3, b = 4 → c = 25

So richtig

a = 3, b = 4 → c = √25 = 5

Ziehe am Ende die Wurzel.

ÜbenJetzt du

○19
Dreieck ABC: a = 8 cm, α = 80°, β = 65°. Berechne b über die Höhe h von C auf c.
So fängst du an:
Die Höhe h teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Lösung zeigen
1. Die Höhe h teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
2. Rechts: h = a · sin β ≈ 8 · 0,9063 ≈ 7,25 cm
3. Links: h = b · sin α, also b = h : sin α ≈ 7,25 : 0,9848 ≈ 7,4 cm
4. Anderer Weg: gleich mit dem Sinussatz, b = a · sin β : sin α ≈ 7,4 cm
Ergebnis:
b ≈ 7,4 cm
●20
Dreieck ABC: a = 5 cm, α = 45°, β = 80°. Berechne b über die Höhe h von C auf c.
Lösung zeigen
1. Die Höhe h teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
2. Rechts: h = a · sin β ≈ 5 · 0,9848 ≈ 4,92 cm
3. Links: h = b · sin α, also b = h : sin α ≈ 4,92 : 0,7071 ≈ 7 cm
4. Anderer Weg: gleich mit dem Sinussatz, b = a · sin β : sin α ≈ 7 cm
Ergebnis:
b ≈ 7 cm
★21
Dreieck ABC: a = 9 cm, α = 65°, β = 55°. Berechne die Seite c.
Lösung zeigen
1. γ = 180° − 65° − 55° = 60°
2. Höhe h von B auf b: h = a · sin γ ≈ 9 · 0,866 ≈ 7,79 cm
3. Außerdem h = c · sin α, also c = h : sin α ≈ 7,79 : 0,9063 ≈ 8,6 cm
4. Kurz, der Sinussatz: c : sin γ = a : sin α
Ergebnis:
c ≈ 8,6 cm

8Ich verbinde Trigonometrie und Pythagoras.

EntdeckenFrage

Warum ergibt (sin 37°)² + (cos 37°)² genau 1 – und bei jedem anderen Winkel auch?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1. Dann sind die Katheten genau sin α und cos α. Der Satz des Pythagoras sagt (sin α)² + (cos α)² = 1². Bei 37° sind das etwa 0,602² + 0,799².

MerkenThemen verbinden

In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Erst das Thema erkennen (Welche Regel passt?), dann rechnen, dann die Antwort im Sachzusammenhang prüfen.

BeispielTrigonometrie und Pythagoras verbinden

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist a = 11 cm und α = 35°. Berechne erst die Hypotenuse c mit dem Sinus, dann b mit dem Satz des Pythagoras.

Schritt für Schritt

Sinus: c = a : sin(α) ≈ 11 : 0,5736 ≈ 19,18
Pythagoras: b² = c² − a² ≈ 367,87 − 121 = 246,87
b ≈ √246,87 ≈ 15,71

Sinus: c = a : sin(α) ≈ 11 : 0,5736 ≈ 19,18
Pythagoras: b² = c² − a² ≈ 367,87 − 121 = 246,87
b ≈ √246,87 ≈ 15,71

Ergebnis:

≈ 15,71 cm

AchtungKathete mit Plus statt Minus

So nicht

c = 13, a = 5 → b² = 169 + 25

So richtig

c = 13, a = 5 → b² = 169 − 25 = 144, b = 12

Markiere zuerst die Hypotenuse. Suchst du eine Kathete, ziehst du ab.

ÜbenJetzt du

○22
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist a = 6 cm und α = 45°. Berechne erst die Hypotenuse c mit dem Sinus, dann b mit dem Satz des Pythagoras.
So fängst du an:
Sinus: c = a : sin(α) ≈ 6 : 0,7071 ≈ 8,49
Lösung zeigen
1. Sinus: c = a : sin(α) ≈ 6 : 0,7071 ≈ 8,49
2. Pythagoras: b² = c² − a² ≈ 72,08 − 36 = 36,08
3. b ≈ √36,08 ≈ 6,01
Ergebnis:
≈ 6,01 cm
●23
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist a = 7 cm und α = 42°. Berechne erst die Hypotenuse c mit dem Sinus, dann b mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung zeigen
1. Sinus: c = a : sin(α) ≈ 7 : 0,6691 ≈ 10,46
2. Pythagoras: b² = c² − a² ≈ 109,41 − 49 = 60,41
3. b ≈ √60,41 ≈ 7,77
Ergebnis:
≈ 7,77 cm
★24
Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Katheten a = 20 cm und b = 16 cm. Berechne die Hypotenuse c und damit den Winkel α mit dem Sinus.
Lösung zeigen
1. Pythagoras: c² = 400 + 256 = 656, also c ≈ 25,61
2. Sinus: sin(α) = a : c ≈ 20 : 25,61 ≈ 0,7809
3. α ≈ sin⁻¹(0,7809) ≈ 51,3°
Ergebnis:
≈ 51,3°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 20 cm, Winkel α = 40°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
1. sin(α) = a/c → a = c · sin(40°)
2. a = 20 · 0,6428 ≈ 12,86 cm
Ergebnis:
≈ 12,86 cm
●26
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 33 m und b = 44 m. Berechne die Hypotenuse c.
Lösung zeigen
1. c² = a² + b² = 1089 + 1936 = 3025
2. c = √3025 = 55 m
Ergebnis:
55 m
●27
Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Gegenkathete 8 cm, Hypotenuse 17 cm. Berechne α.
Lösung zeigen
1. sin(α) = 0,471
2. α = sin⁻¹(0,471) ≈ 28,1°
Ergebnis:
≈ 28,1°
●28
Ein Schild zeigt 8 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel.
Lösung zeigen
1. 8 % heißt: 8 m hoch auf 100 m waagerecht → tan(α) = 0,08
2. α = tan⁻¹(0,08) ≈ 4,6°
Ergebnis:
≈ 4,6°
●29
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c = 5 cm lang, der Winkel α = 58°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
1. Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, also a = c · sin(α)
2. sin(58°) ≈ 0,848
3. a ≈ 5 · 0,848 ≈ 4,24
Ergebnis:
≈ 4,24 cm
●30
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Ankathete b = 16 cm lang, der Winkel α = 38°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
1. Gegeben Ankathete, gesucht Gegenkathete: Tangens, also a = b · tan(α)
2. tan(38°) ≈ 0,7813
3. a ≈ 16 · 0,7813 ≈ 12,5
Ergebnis:
≈ 12,5 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Seiten benennen: Vom Winkel aus gesehen: Gegenkathete gegenüber, Ankathete daneben.
Sinus: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse.
Seite mit Sinus berechnen: Gegenkathete = sin α · Hypotenuse.
GAGA HühnerHof AG: sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete.
Winkel berechnen: Erst das Verhältnis, dann die Umkehrfunktion: α = sin⁻¹(…).
Sachaufgaben: Skizze, rechten Winkel markieren, Winkel eintragen, Seiten benennen.
Allgemeine Dreiecke: Höhe einzeichnen → zwei rechtwinklige Dreiecke. In jedem mit sin, cos, tan rechnen.
Themen verbinden: In Prüfungen kommen mehrere Themen in einer Aufgabe.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich benenne Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse zum Winkel.
31
Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, der rechte Winkel liegt bei C. Gib die Gegenkathete und die Ankathete von α an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Gegenkathete a, Ankathete b
Ich bestimme den Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.
32
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben denselben Winkel α. Im ersten ist die Gegenkathete von α 10 cm und die Hypotenuse 26 cm lang, im zweiten 5 cm und 13 cm. Berechne in beiden Gegenkathete : Hypotenuse. Was fällt auf?
Lösung zeigen
Ergebnis:
beide etwa 0,385; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
Ich berechne Seiten mit Sinus.
33
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c = 6 cm lang, der Winkel α = 35°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 3,44 cm
Ich nutze Kosinus und Tangens.
34
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Ankathete b = 17 cm lang, der Winkel α = 65°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 36,46 cm
Ich berechne Winkel mit den Umkehrfunktionen.
35
Rechtwinkliges Dreieck, Winkel α: Gegenkathete 12 cm, Hypotenuse 20 cm. Berechne α.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 36,9°
Ich löse Sachaufgaben (Steigung, Höhe, Schatten).
36
Ein Schild zeigt 14 % Steigung. Berechne den Steigungswinkel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 8°
Ich berechne in allgemeinen Dreiecken über Höhen.
37
Dreieck ABC: a = 5 cm, α = 60°, β = 65°. Berechne b über die Höhe h von C auf c.
Lösung zeigen
Ergebnis:
b ≈ 5,2 cm
Ich verbinde Trigonometrie und Pythagoras.
38
Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist a = 7 cm und α = 42°. Berechne erst die Hypotenuse c mit dem Sinus, dann b mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 7,77 cm
Ich bereite die Abschlussprüfung vor.
39
Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse c = 12 cm, Winkel α = 50°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 9,19 cm

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine 6 m lange Leiter steht im Winkel von 70 Grad zum Boden. Wie hoch reicht sie? Pythagoras hilft nicht – du kennst nur eine Seite.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Sinus, Kosinus, Tangens: Seiten aus Winkeln rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Steigung am Berg, Höhe eines Turms aus der Entfernung. Beruf: Vermessung, Luftfahrt, Musik (Schwingungen), Bau.

Wörter

Funktion: eine Regel, die aus einer Zahl eine andere macht
Hypotenuse: die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel
Steigung: wie stark es nach oben geht, pro Schritt nach rechts

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Satz des Pythagoras, Ähnlichkeit und Strahlensätze

Darauf baut auf: Trigonometrische Funktionen

Lösungen

Gegenkathete b
Ankathete m
Hypotenuse t, Gegenkathete r, Ankathete s
beide etwa 0,471; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
beide etwa 0,471; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
27 cm
≈ 14,97 cm
≈ 15,32 cm
≈ 16,24 cm
≈ 24,28 cm
≈ 12,72 cm
≈ 22,66 m
≈ 36,9°
≈ 22,6°
≈ 36,9°
≈ 3,4°
≈ 4°
≈ 14° · 250 m
b ≈ 7,4 cm
b ≈ 7 cm
c ≈ 8,6 cm
≈ 6,01 cm
≈ 7,77 cm
≈ 51,3°
≈ 12,86 cm
55 m
≈ 28,1°
≈ 4,6°
≈ 4,24 cm
≈ 12,5 cm
Gegenkathete a, Ankathete b
beide etwa 0,385; gleicher Winkel, gleiches Verhältnis (sin α)
≈ 3,44 cm
≈ 36,46 cm
≈ 36,9°
≈ 8°
b ≈ 5,2 cm
≈ 7,77 cm
≈ 9,19 cm
24 cm
k = 5; y = 45