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Mathematik · Klasse 11 und 12 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Vektoren im Raum

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Eine Drohne fliegt 30 m nach Osten, 40 m nach Norden, 10 m hoch, dann 20 m nach Westen und 5 m hoch. Wo ist sie? Beschreib es ohne Zeichnung so, dass eine zweite Drohne genau dorthin fliegt.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Wortbeschreibungen werden lang und mehrdeutig; Zeichnungen im Raum gelingen nicht. Die Klasse braucht ein Zahlentripel je Bewegung. Jede Bewegung als (Ost|Nord|Hoch): (30|40|10) + (−20|0|5) = (10|40|15). Addieren reicht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Vektor ist eine Verschiebung: Richtung und Länge, kein fester Ort.

  1. ●36
    P'(−4 | −1) ist das Bild von P(2 | −2) bei einer Verschiebung. Welcher Punkt Q wird auf Q'(−2 | −3) abgebildet?
    −6−4−2246−6−4−2246PP'Q'
    Lösung zeigen
    1. Von P nach P': x ändert sich um −6, y um 1
    2. Der Pfeil: 6 nach links und 1 nach oben
    3. Q' rückwärts: Q(4 | −4)
    Ergebnis:
    Q(4 | −4)
  2. ●37
    Verschiebe das Dreieck mit A(−2 | 0), B(3 | −2), C(−4 | −3) um 3 nach rechts und 5 nach oben. Wo liegen die Bildpunkte A', B' und C'?
    −6−4−2246−6−4−2246ABC
    Lösung zeigen
    1. Jeder Punkt geht denselben Weg: 3 nach rechts und 5 nach oben.
    2. A(−2 | 0) → A'(1 | 5)
    3. B(3 | −2) → B'(6 | 3)
    4. C(−4 | −3) → C'(−1 | 2)
    Ergebnis:
    A'(1 | 5), B'(6 | 3), C'(−1 | 2)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Vektor ist eine Verschiebung

Ein Vektor hat Richtung und Länge, aber keinen festen Ort. Derselbe Vektor kann überall im Raum angesetzt werden – das unterscheidet ihn vom Punkt.

Dreimal derselbe Pfeil an verschiedenen Stellen: Ein Vektor hat Richtung und Länge, aber keinen festen OrtvvvPunkt: fester OrtDreimal derselbe Vektor

WeiterdenkenDenk nach

Worin unterscheiden sich der Punkt P(2|3|1) und der Vektor (2|3|1)?

1Ich zeichne Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.

EntdeckenFrage

Warum fliegt ein Flugzeug schräg, um geradeaus zu kommen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der Wind ein Vektor ist: Flugvektor plus Windvektor ergibt den Weg über Grund. Piloten rechnen den Vorhaltewinkel – Vektoraddition mit Konsequenzen.

MerkenKoordinaten im Raum

P(x₁ | x₂ | x₃): erst nach vorn (x₁, schräg), dann nach rechts (x₂), dann nach oben (x₃).

Eselsbrücke: Vektor von A nach B: „Spitze minus Fuß“ – AB = B − A

BeispielPunkte im Raum ablesen

Der Punkt P hat die x₃-Koordinate 2. Lies am Bild die beiden anderen Koordinaten ab und gib P vollständig an.
x₁x₂x₃111222333444555P
Schritt für Schritt
  1. Entlang der x₁-Achse: 1 Einheiten.
  2. Dann parallel zur x₂-Achse: 3 Einheiten.
  3. Dann nach oben parallel zur x₃-Achse: 2 Einheiten.
  1. Entlang der x₁-Achse: 1 Einheiten.
  2. Dann parallel zur x₂-Achse: 3 Einheiten.
  3. Dann nach oben parallel zur x₃-Achse: 2 Einheiten.
Ergebnis:
P(1 | 3 | 2)

AchtungVerbindungsvektor falsch herum

So nicht
A(1; 2), B(4; 6): AB = A − B = (−3; −4)
So richtig
A(1; 2), B(4; 6): AB = B − A = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4)

AB = B − A (Spitze minus Fuß).

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lies die Koordinaten des Punkts P ab. Folge dem gestrichelten Weg: erst entlang x₁, dann x₂, dann x₃.
    x₁x₂x₃111222333444555P
    So fängst du an:
    Entlang der x₁-Achse: 3 Einheiten.
    Lösung zeigen
    1. Entlang der x₁-Achse: 3 Einheiten.
    2. Dann parallel zur x₂-Achse: 1 Einheiten.
    3. Dann nach oben parallel zur x₃-Achse: 2 Einheiten.
    Ergebnis:
    P(3 | 1 | 2)
  2. ●2
    Der Punkt P hat die x₃-Koordinate 1. Lies am Bild die beiden anderen Koordinaten ab und gib P vollständig an.
    x₁x₂x₃111222333444555P
    Lösung zeigen
    1. Entlang der x₁-Achse: 2 Einheiten.
    2. Dann parallel zur x₂-Achse: 3 Einheiten.
    3. Dann nach oben parallel zur x₃-Achse: 1 Einheiten.
    Ergebnis:
    P(2 | 3 | 1)
  3. ★3
    Lies die Koordinaten von P ab. Gib dann den Punkt Q an, der P an der x₁x₃-Ebene spiegelt, und den Punkt R, auf den P senkrecht auf diese Ebene fällt.
    x₁x₂x₃111222333444555P
    Lösung zeigen
    1. P(4 | 2 | 1).
    2. Spiegeln an der x₁x₃-Ebene: Das Vorzeichen von x₂ wechselt.
    3. Q(4 | −2 | 1).
    4. Senkrecht auf die Ebene fallen: Diese Koordinate wird 0, R(4 | 0 | 1).
    Ergebnis:
    P(4 | 2 | 1), Q(4 | −2 | 1), R(4 | 0 | 1)

2Ich rechne mit Vektoren: Addition, Vielfache, Verbindungsvektoren.

EntdeckenFrage

Warum sagt ein Vektor nicht, wo etwas ist, sondern nur, wohin es geht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil er allein Richtung und Länge festhält. Derselbe Pfeil darf überall im Raum liegen; erst ein Pfeil, der im Ursprung beginnt, legt einen bestimmten Punkt fest.

MerkenMit Vektoren rechnen

Komponentenweise: Vektor AB = B − A. Addition und Vielfache ebenfalls Komponente für Komponente.

BeispielMit Vektoren rechnen

a = (1 | −1 | −2), b = (4 | 3 | 1). Berechne a + 3 · b.
x1y1z1ab
Schritt für Schritt
  1. komponentenweise: 1 + 3 · (4), −1 + 3 · (3), −2 + 3 · (1)
  2. = (13 | 8 | 1)
  1. komponentenweise: 1 + 3 · (4), −1 + 3 · (3), −2 + 3 · (1)
  2. = (13 | 8 | 1)
Ergebnis:
(13 | 8 | 1)

AchtungNoch einmal: Verbindungsvektor falsch herum

So nicht
A(1; 2), B(4; 6): AB = A − B = (−3; −4)
So richtig
A(1; 2), B(4; 6): AB = B − A = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4)

AB = B − A (Spitze minus Fuß).

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    a = (1 | 3 | 4), b = (−2 | 4 | −4). Berechne a + 2 · b.
    So fängst du an:
    komponentenweise: 1 + 2 · (−2), 3 + 2 · (4), 4 + 2 · (−4)
    Lösung zeigen
    1. komponentenweise: 1 + 2 · (−2), 3 + 2 · (4), 4 + 2 · (−4)
    2. = (−3 | 11 | −4)
    Ergebnis:
    (−3 | 11 | −4)
  2. ●5
    a = (2 | 2 | −2), b = (3 | 0 | 4). Berechne a + 2 · b.
    Lösung zeigen
    1. komponentenweise: 2 + 2 · (3), 2 + 2 · (0), −2 + 2 · (4)
    2. = (8 | 2 | 6)
    Ergebnis:
    (8 | 2 | 6)
  3. ★6
    a = (−2 | −4 | −3), b = (3 | 2 | −2). Berechne a + 2 · b.
    Lösung zeigen
    1. komponentenweise: −2 + 2 · (3), −4 + 2 · (2), −3 + 2 · (−2)
    2. = (4 | 0 | −7)
    Ergebnis:
    (4 | 0 | −7)

3Ich berechne Beträge von Vektoren und Abstände von Punkten.

EntdeckenFrage

Wie weit sind zwei Punkte im Raum voneinander entfernt – reicht dafür Pythagoras?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, zweimal angewendet: erst in der Grundfläche, dann in die Höhe. Übrig bleibt die Wurzel aus der Summe der drei Quadrate, also die Länge des Verbindungspfeils.

MerkenBetrag eines Vektors

|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) – Pythagoras in drei Dimensionen.

Abstand zweier Punkte = Betrag des Verbindungsvektors.

BeispielBetrag eines Vektors / Abstand zweier Punkte

Berechne den Betrag von v = (4 | −4 | 7).
x1y1z1a
Schritt für Schritt
  1. |v| = √4² + (−4)² + 7²
  2. = √81 = 9
  1. |v| = √4² + (−4)² + 7²
  2. = √81 = 9
Ergebnis:
9

AchtungBetrag ohne Wurzel

So nicht
|(3; 4)| = 9 + 16 = 25
So richtig
|(3; 4)| = √(9 + 16) = √25 = 5

Nach dem Quadrieren und Addieren die Wurzel nicht vergessen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Berechne den Betrag von v = (−1 | 2 | −2).
    So fängst du an:
    |v| = √(−1)² + 2² + (−2)²
    Lösung zeigen
    1. |v| = √(−1)² + 2² + (−2)²
    2. = √9 = 3
    Ergebnis:
    3
  2. ●8
    Berechne den Betrag von v = (1 | −4 | 8).
    Lösung zeigen
    1. |v| = √1² + (−4)² + 8²
    2. = √81 = 9
    Ergebnis:
    9
  3. ★9
    Berechne den Abstand der Punkte P(−5 | 3 | 3) und Q(−8 | 7 | 3).
    Lösung zeigen
    1. Vektor PQ = Q − P = (−3 | 4 | 0)
    2. |PQ| = √(−3)² + 4² + 0² = √25 = 5
    Ergebnis:
    5 LE

4Ich prüfe Vektoren auf Kollinearität und Punkte auf Lage (Dreieck, Parallelogramm).

EntdeckenFrage

Woran erkennt man, ob drei Masten genau in einer Linie stehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Daran, ob die beiden Verbindungspfeile Vielfache voneinander sind. Ist der eine das Doppelte des anderen, liegen alle drei Punkte auf derselben Geraden.

MerkenKollinear

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

BeispielKollinearität prüfen

Prüfe, ob die Vektoren a = (3 | 1 | 5) und b = (6 | 2 | 10) kollinear sind.
x1y1z1ab
Schritt für Schritt
  1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
  2. Erste Koordinate: λ = 63 = 2
  3. Alle Koordinaten liefern dasselbe λ → kollinear.
  1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
  2. Erste Koordinate: λ = 63 = 2
  3. Alle Koordinaten liefern dasselbe λ → kollinear.
Ergebnis:
ja, b = 2 · a

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Prüfe, ob die Vektoren a = (1 | −2 | 3) und b = (3 | −7 | 9) kollinear sind.
    So fängst du an:
    Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
    Lösung zeigen
    1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
    2. Erste Koordinate: λ = 31 = 3
    3. Zweite Koordinate liefert λ = 3,5 ≠ 3 → nicht kollinear.
    Ergebnis:
    nein
  2. ●11
    Prüfe, ob die Vektoren a = (3 | 3 | 5) und b = (6 | 5 | 10) kollinear sind.
    Lösung zeigen
    1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
    2. Erste Koordinate: λ = 63 = 2
    3. Zweite Koordinate liefert λ = 1,667 ≠ 2 → nicht kollinear.
    Ergebnis:
    nein
  3. ★12
    Prüfe, ob die Vektoren a = (4 | −3 | 2) und b = (12 | −10 | 6) kollinear sind.
    Lösung zeigen
    1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
    2. Erste Koordinate: λ = 124 = 3
    3. Zweite Koordinate liefert λ = 3,333 ≠ 3 → nicht kollinear.
    Ergebnis:
    nein

5Ich berechne das Skalarprodukt und prüfe auf Orthogonalität.

EntdeckenFrage

Warum bremst Gegenwind beim Radfahren viel stärker als Seitenwind?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil nur der Anteil der Kraft in Fahrtrichtung wirkt. Genau das misst das Skalarprodukt: Steht die Kraft senkrecht zur Bewegung, ist es null und sie leistet keine Arbeit.

MerkenSkalarprodukt und Orthogonalität

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Skalarprodukt 0 heißt: die Vektoren stehen senkrecht.

Eselsbrücke: Skalarprodukt null = senkrecht – „Null heißt Neunzig“

BeispielSkalarprodukt und Orthogonalität

Berechne das Skalarprodukt a · b für a = (−4 | 0 | 0), b = (1 | 1 | 3). Sind die Vektoren orthogonal?
x1y1z1ab
Schritt für Schritt
  1. (−4) · 1 + 0 · 1 + 0 · 3 = −4
  2. ≠ 0 → nicht orthogonal
  1. (−4) · 1 + 0 · 1 + 0 · 3 = −4
  2. ≠ 0 → nicht orthogonal
Ergebnis:
−4 → nicht orthogonal

AchtungSkalarprodukt als Vektor

So nicht
(1; 2) · (3; 4) = (3; 8)
So richtig
(1; 2) · (3; 4) = 1 · 3 + 2 · 4 = 11  (eine Zahl, kein Vektor)

Das Skalarprodukt ist eine Zahl, kein Vektor.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne das Skalarprodukt a · b für a = (1 | 1 | 3), b = (1 | −1 | 0). Sind die Vektoren orthogonal?
    So fängst du an:
    1 · 1 + 1 · (−1) + 3 · 0 = 0
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 1 · (−1) + 3 · 0 = 0
    2. Skalarprodukt 0 → orthogonal
    Ergebnis:
    0 → orthogonal
  2. ●14
    Berechne das Skalarprodukt a · b für a = (3 | 2 | 1), b = (2 | −3 | 0). Sind die Vektoren orthogonal?
    Lösung zeigen
    1. 3 · 2 + 2 · (−3) + 1 · 0 = 0
    2. Skalarprodukt 0 → orthogonal
    Ergebnis:
    0 → orthogonal
  3. ★15
    Bestimme den Winkel zwischen a = (4 | 2 | 4) und b = (2 | −4 | 0).
    Lösung zeigen
    1. a · b = 0
    2. |a| = 6, |b| = 4,47
    3. cos φ = 0 : (6 · 4,47) = 0 → φ ≈ 90°
    Ergebnis:
    φ ≈ 90°

6Ich berechne Winkel zwischen Vektoren.

EntdeckenFrage

Die Bindungen im Methanmolekül bilden rund 109,5 Grad. Woher kommt genau diese Zahl?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die vier Wasserstoffatome sitzen wie vier Ecken eines Würfels, etwa bei (1|1|1) und (1|−1|−1), das Kohlenstoffatom in der Mitte. Das Skalarprodukt ist 1 − 1 − 1 = −1, beide Beträge sind √3. Also ist cos α = −1/3 und α ≈ 109,47 Grad.

MerkenWinkel

Der Winkel zwischen zwei Vektoren steckt im Skalarprodukt: cos φ = (a · b) : (|a| · |b|).

Ist das Skalarprodukt 0, stehen sie senkrecht.

BeispielWinkel zwischen zwei Vektoren

Berechne den Winkel zwischen a = (1 | 1 | 1) und b = (1 | 0 | 3).
x1y1z1ab
Schritt für Schritt
  1. a · b = 4
  2. |a| = √3 ≈ 1,732, |b| = √10 ≈ 3,162
  3. cos φ = 4 / (1,732 · 3,162) ≈ 0,7303
  4. φ ≈ 43,1°
  1. a · b = 4
  2. |a| = √3 ≈ 1,732, |b| = √10 ≈ 3,162
  3. cos φ = 4 / (1,732 · 3,162) ≈ 0,7303
  4. φ ≈ 43,1°
Ergebnis:
φ ≈ 43,1°

AchtungTaschenrechner im Bogenmaß statt in Grad

So nicht
Berechne den Winkel zwischen a = (1 | 1 | 1) und b = (1 | 0 | 3) → 0,8°
So richtig
Berechne den Winkel zwischen a = (1 | 1 | 1) und b = (1 | 0 | 3) → φ ≈ 43,1°

Schau oben ins Display: Steht dort R oder RAD? Stell auf DEG um.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Berechne den Winkel zwischen a = (1 | 2 | 1) und b = (1 | 2 | 1).
    So fängst du an:
    a · b = 6
    Lösung zeigen
    1. a · b = 6
    2. |a| = √6 ≈ 2,449, |b| = √6 ≈ 2,449
    3. cos φ = 6 / (2,449 · 2,449) ≈ 1
    4. φ ≈ 0°
    Ergebnis:
    φ ≈ 0°
  2. ●17
    Berechne den Winkel zwischen a = (2 | 0 | 1) und b = (1 | 0 | 1).
    Lösung zeigen
    1. a · b = 3
    2. |a| = √5 ≈ 2,236, |b| = √2 ≈ 1,414
    3. cos φ = 3 / (2,236 · 1,414) ≈ 0,9487
    4. φ ≈ 18,4°
    Ergebnis:
    φ ≈ 18,4°
  3. ★18
    Berechne den Winkel zwischen a = (1 | 1 | 2) und b = (1 | 0 | 1).
    Lösung zeigen
    1. a · b = 3
    2. |a| = √6 ≈ 2,449, |b| = √2 ≈ 1,414
    3. cos φ = 3 / (2,449 · 1,414) ≈ 0,866
    4. φ ≈ 30°
    Ergebnis:
    φ ≈ 30°

7Ich löse geometrische Aufgaben mit Vektoren (Mittelpunkt, Schwerpunkt).

EntdeckenFrage

An welchem Punkt kann man ein dreieckiges Schild auf einer Fingerspitze balancieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine gleich dicke Dreiecksplatte balanciert im Schwerpunkt. Sein Ortsvektor ist der Mittelwert der drei Ecken: (A + B + C) : 3. Für A(0|0), B(6|0) und C(0|3) ist das (2|1). Dort schneiden sich die Seitenhalbierenden.

MerkenMittelpunkt und Schwerpunkt

Mittelpunkt von AB: ½ · (A + B) komponentenweise.

Schwerpunkt des Dreiecks: ⅓ · (A + B + C).

BeispielMittelpunkt und Schwerpunkt

Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB mit A(4 | −4 | 6) und B(4 | 3 | 4).
x1y1z1AB
Schritt für Schritt
  1. M = ½ · (OA + OB)
  2. M = ½ · (8 | −1 | 10) = (4 | −0,5 | 5)
  1. M = ½ · (OA + OB)
  2. M = ½ · (8 | −1 | 10) = (4 | −0,5 | 5)
Ergebnis:
M(4 | −0,5 | 5)

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB mit A(4 | −2 | 4) und B(−1 | −4 | 4).
    So fängst du an:
    M = ½ · (OA + OB)
    Lösung zeigen
    1. M = ½ · (OA + OB)
    2. M = ½ · (3 | −6 | 8) = (1,5 | −3 | 4)
    Ergebnis:
    M(1,5 | −3 | 4)
  2. ●20
    Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB mit A(−4 | 1 | 4) und B(2 | 1 | 5).
    Lösung zeigen
    1. M = ½ · (OA + OB)
    2. M = ½ · (−2 | 2 | 9) = (−1 | 1 | 4,5)
    Ergebnis:
    M(−1 | 1 | 4,5)
  3. ★21
    Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks A(−1 | 1 | 6), B(−1 | −4 | 0), C(−3 | 1 | 2).
    Lösung zeigen
    1. S = ⅓ · (OA + OB + OC)
    2. Summe = (−5 | −2 | 8)
    3. S ≈ (−1,67 | −0,67 | 2,67)
    Ergebnis:
    S ≈ (−1,67 | −0,67 | 2,67)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    a = (−1 | 0 | 2), b = (−3 | 0 | 1). Berechne a − 2 · b.
    Lösung zeigen
    1. komponentenweise: −1 − 2 · (−3), 0 − 2 · (0), 2 − 2 · (1)
    2. = (5 | 0 | 0)
    Ergebnis:
    (5 | 0 | 0)
  2. ●23
    Berechne den Betrag von v = (1 | 2 | 2).
    Lösung zeigen
    1. |v| = √1² + 2² + 2²
    2. = √9 = 3
    Ergebnis:
    3
  3. ●24
    Berechne das Skalarprodukt a · b für a = (−1 | 4 | 3), b = (−2 | 2 | 1). Sind die Vektoren orthogonal?
    Lösung zeigen
    1. (−1) · (−2) + 4 · 2 + 3 · 1 = 13
    2. ≠ 0 → nicht orthogonal
    Ergebnis:
    13 → nicht orthogonal
  4. ●25
    Prüfe, ob die Vektoren a = (3 | −4 | 4) und b = (9 | −11 | 12) kollinear sind.
    Lösung zeigen
    1. Kollinear heißt: b = λ · a für ein λ.
    2. Erste Koordinate: λ = 93 = 3
    3. Zweite Koordinate liefert λ = 2,75 ≠ 3 → nicht kollinear.
    Ergebnis:
    nein
  5. ●26
    Berechne den Winkel zwischen a = (3 | 0 | 0) und b = (2 | 2 | 3).
    Lösung zeigen
    1. a · b = 6
    2. |a| = √9 = 3, |b| = √17 ≈ 4,123
    3. cos φ = 6 / (3 · 4,123) ≈ 0,4851
    4. φ ≈ 61°
    Ergebnis:
    φ ≈ 61°
  6. ●27
    Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB mit A(3 | −3 | 6) und B(−1 | 0 | 1).
    Lösung zeigen
    1. M = ½ · (OA + OB)
    2. M = ½ · (2 | −3 | 7) = (1 | −1,5 | 3,5)
    Ergebnis:
    M(1 | −1,5 | 3,5)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Koordinaten im Raum
P(x₁ | x₂ | x₃): erst nach vorn (x₁, schräg), dann nach rechts (x₂), dann nach oben (x₃).
Mit Vektoren rechnen
Komponentenweise: Vektor AB = B − A. Addition und Vielfache ebenfalls Komponente für Komponente.
Betrag eines Vektors
|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) – Pythagoras in drei Dimensionen.
Kollinear
Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.
Skalarprodukt und Orthogonalität
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Skalarprodukt 0 heißt: die Vektoren stehen senkrecht.
Winkel
Der Winkel zwischen zwei Vektoren steckt im Skalarprodukt: cos φ = (a · b) : (|a| · |b|).
Mittelpunkt und Schwerpunkt
Mittelpunkt von AB: ½ · (A + B) komponentenweise.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich zeichne Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.

    28
    Der Punkt P hat die x₃-Koordinate 3. Lies am Bild die beiden anderen Koordinaten ab und gib P vollständig an.
    x₁x₂x₃111222333444555P
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    P(4 | 2 | 3)

  2. Ich rechne mit Vektoren: Addition, Vielfache, Verbindungsvektoren.

    29
    a = (0 | −4 | −2), b = (2 | 1 | 4). Berechne a + 3 · b.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (6 | −1 | 10)

  3. Ich berechne Beträge von Vektoren und Abstände von Punkten.

    30
    Berechne den Betrag von v = (−2 | −6 | 3).
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

  4. Ich prüfe Vektoren auf Kollinearität und Punkte auf Lage (Dreieck, Parallelogramm).

    31
    Prüfe, ob die Vektoren a = (4 | −4 | 5) und b = (−8 | 7 | −10) kollinear sind.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein

  5. Ich berechne das Skalarprodukt und prüfe auf Orthogonalität.

    32
    Berechne das Skalarprodukt a · b für a = (−4 | −4 | 1), b = (3 | 0 | 3). Sind die Vektoren orthogonal?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    −9 → nicht orthogonal

  6. Ich berechne Winkel zwischen Vektoren.

    33
    Berechne den Winkel zwischen a = (3 | 2 | 0) und b = (2 | 2 | 3).
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    φ ≈ 47,7°

  7. Ich löse geometrische Aufgaben mit Vektoren (Mittelpunkt, Schwerpunkt).

    34
    Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB mit A(4 | 2 | 6) und B(−1 | 4 | 3).
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    M(1,5 | 3 | 4,5)

  8. Ich bereite die Klausur vor.

    35
    a = (0 | 3 | 2), b = (4 | 4 | −1). Berechne a + 3 · b.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    (12 | 15 | −1)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Eine Drohne fliegt 30 m nach Osten, 40 m nach Norden, 10 m hoch, dann 20 m nach Westen und 5 m hoch. Wo ist sie? Beschreib es ohne Zeichnung so, dass eine zweite Drohne genau dorthin fliegt.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vektoren: Verschiebungen mit drei Zahlen rechnen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Navigation, Drohnenflug, Computerspiele. Beruf: Robotik, Spieleentwicklung, Luftfahrt.

Wörter

Vielfaches
das Ergebnis, wenn man mit einer ganzen Zahl malnimmt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Satz des Pythagoras

Darauf baut auf: Geraden und Ebenen

Lösungen

  1. P(3 | 1 | 2)
  2. P(2 | 3 | 1)
  3. P(4 | 2 | 1), Q(4 | −2 | 1), R(4 | 0 | 1)
  4. (−3 | 11 | −4)
  5. (8 | 2 | 6)
  6. (4 | 0 | −7)
  7. 3
  8. 9
  9. 5 LE
  10. nein
  11. nein
  12. nein
  13. 0 → orthogonal
  14. 0 → orthogonal
  15. φ ≈ 90°
  16. φ ≈ 0°
  17. φ ≈ 18,4°
  18. φ ≈ 30°
  19. M(1,5 | −3 | 4)
  20. M(−1 | 1 | 4,5)
  21. S ≈ (−1,67 | −0,67 | 2,67)
  22. (5 | 0 | 0)
  23. 3
  24. 13 → nicht orthogonal
  25. nein
  26. φ ≈ 61°
  27. M(1 | −1,5 | 3,5)
  28. P(4 | 2 | 3)
  29. (6 | −1 | 10)
  30. 7
  31. nein
  32. −9 → nicht orthogonal
  33. φ ≈ 47,7°
  34. M(1,5 | 3 | 4,5)
  35. (12 | 15 | −1)
  36. Q(4 | −4)
  37. A'(1 | 5), B'(6 | 3), C'(−1 | 2)